多彩課堂學(xué)年高中數(shù)學(xué)三個(gè)正數(shù)的算數(shù)幾何平均不等式課件新人教A版選修

1、 本節(jié)課有基本不等式引入三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均數(shù)，再進(jìn)行定理的推導(dǎo)和推廣，尤其定理3的幾種變樣形式。再通過例題鞏固，鞏固過程中確定定理應(yīng)用的條件。 定理的推導(dǎo)和推廣略講，幾種變式詳講。在配湊使得“和”或“積”是定值時(shí)，又會(huì)忘記取等號(hào)的條件，所以以大量的例題和練習(xí)反復(fù)強(qiáng)調(diào)“一正、二定、三相等”，在不能取得等號(hào)的時(shí)候可以考慮函數(shù)的單調(diào)性。定理定理1.如果如果Rba,，那么，那么abba222（當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ba 時(shí)取時(shí)取“=”號(hào)）號(hào)）1指出定理適用范圍：指出定理適用范圍： Rba,2強(qiáng)調(diào)取強(qiáng)調(diào)取“=”的條件：的條件： ba 定理定理2.如果如果 那么那么 ba,是正數(shù)，是正數(shù)， abba2（當(dāng)且

2、僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)ba 時(shí)取時(shí)取“=”號(hào)）號(hào)）注意：注意：1這個(gè)定理適用的范圍這個(gè)定理適用的范圍： , a bR 2語言表述語言表述：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。它們的幾何平均數(shù)。 利用算術(shù)平均數(shù)和集合平均數(shù)定理時(shí)一利用算術(shù)平均數(shù)和集合平均數(shù)定理時(shí)一定要注意定理的條件定要注意定理的條件: 一正一正;二定二定;三相等三相等.有一個(gè)條件達(dá)不到就不能取得最值有一個(gè)條件達(dá)不到就不能取得最值.22222222(1)2( ,)(2)( ,)21(3)2()2(4)()( ,)22(5)+()0ababa bababa bababxbaxabababaRRRbabcab

3、+bc+ca a,b,cR（x0）1.基本不等式及其常用變式v基本不等式給出了兩個(gè)整數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均基本不等式給出了兩個(gè)整數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系，這個(gè)不等式能否推廣呢？例如，對(duì)于數(shù)的關(guān)系，這個(gè)不等式能否推廣呢？例如，對(duì)于3個(gè)個(gè)正數(shù)，會(huì)有怎樣的不等式成立呢？正數(shù)，會(huì)有怎樣的不等式成立呢？3, .,3a b cRabcabcabc類比、猜想：若那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。33333233332222222222223()333()333() ()()3()()23()()1() ()() ()0,2abcabca ba babcabca bca bababca b ca ba b

4、ccab a b ca b caab bac bccaba b c abcab bc caa b ca bb cca +3a+b+c若a,b.cR ,那么abc,3當(dāng)且僅當(dāng)a = b=c時(shí)，等號(hào)成立。定定理理3 3：語言表述：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的 幾何平均。推論推論:),(33Rcbaabccba33 abccba.,等號(hào)成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)cba為定值時(shí)abc) 1 (為定值時(shí)cba)2(3)3(cbaabc.,等號(hào)成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)cba關(guān)于關(guān)于“平均數(shù)平均數(shù)”的概念：的概念：1如果 *12,1na aaRnnN且 則： naaan21 叫做這叫做這n個(gè)正數(shù)的個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)

5、。nnaaa21叫做這叫做這n個(gè)正數(shù)的個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)。2.基本不等式：基本不等式： naaan21 nnaaa21niRaNni1 ,*語言表述：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)1a2=an時(shí)，等號(hào)成立+3已知x，y，zR ，求證：（x + y + z） 27例1、xyz。33xy zxyz 因?yàn)樽C明：，所以3xyz（x+y+z），27327xyz即（x+y+z）例:2(1)當(dāng)0 x 1時(shí),求函數(shù)y = x (1- x)的最大值.解解:, 10 x10,x .274,32,12maxyxxx時(shí)當(dāng)274)3122(43xxx)1 (224)1 (2xxxxxy構(gòu)

6、造三個(gè)數(shù)構(gòu)造三個(gè)數(shù)相加等于定相加等于定值值.2(2)當(dāng)0 x 0)的最小值.x3322243212321232xxxxxxxxy解解:3min3 4y(錯(cuò)解錯(cuò)解:原因是取不到等號(hào)原因是取不到等號(hào))正解正解:33322236232932323232323232xxxxxxxxy.3623,23,2323min2yxxx時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)2222222222222|;()()()22().abababcabbccaabcdacbdababab等1.均值定理的應(yīng)用范圍廣泛,要關(guān)注變量的取值要求和等號(hào)能否成立,還要注意它的變式的運(yùn)用,如:22.等號(hào)成立的條件不能滿足時(shí),可以再從單調(diào)性a的角度考慮,力圖轉(zhuǎn)化為y = x+(a 0)的形式.x3.利用極值求最大(