2015年高考數(shù)學(xué)文真題分類匯編：專題03導(dǎo)數(shù)

1、1.【2015高考福建，文12】“對(duì)任意，”是“”的（ ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C 充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則故在單調(diào)遞增，故，則； 當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，則，故在遞增，故，則綜上所述，“對(duì)任意，”是“”的必要不充分條件，選B【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】本題以充分條件和必要條件為載體考查三角函數(shù)和導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用，根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而研究其圖象與性質(zhì)，是函數(shù)思想的體現(xiàn)，屬于難題2.【2015高考湖南，文8】設(shè)函數(shù)，則是( )A、奇函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù) B、奇函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)C、偶函數(shù)

2、，且在（0,1）上是增函數(shù) D、偶函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)【答案】A【解析】函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1），函數(shù)所以函數(shù)是奇函數(shù) ，在（0,1）上 ，所以在(0,1)上單調(diào)遞增，故選A.【考點(diǎn)定位】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在(a，b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟：(1)求；(2)確認(rèn)在(a，b)內(nèi)的符號(hào)；(3)作出結(jié)論：時(shí)為增函數(shù)；時(shí)為減函數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，首先要明確函數(shù)定義域.3.【2015高考北京，文8】某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況加油時(shí)間加油量（升）加油時(shí)的累計(jì)里程（千米）年月日年月日注：“累計(jì)里程“指汽車從出廠開(kāi)始累計(jì)行駛的路程

3、在這段時(shí)間內(nèi)，該車每千米平均耗油量為（ ）A升 B升 C升 D升【答案】B【解析】因?yàn)榈谝淮梧]箱加滿，所以第二次的加油量即為該段時(shí)間內(nèi)的耗油量，故耗油量升. 而這段時(shí)間內(nèi)行駛的里程數(shù)千米. 所以這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為升，故選B.【考點(diǎn)定位】平均變化率.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是平均變化率，屬于中檔題解題時(shí)一定要抓住重要字眼“每千米”和“平均”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤解此類應(yīng)用題時(shí)一定要萬(wàn)分小心，除了提取必要的信息外，還要運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析和解決問(wèn)題4.【2015高考新課標(biāo)1，文14】已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)的處的切線過(guò)點(diǎn)，則 .【答案】1【解析】試題分析：，即切線斜率，又，切

4、點(diǎn)為（1，），切線過(guò)（2,7），解得1.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線；常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；【名師點(diǎn)睛】對(duì)求過(guò)某點(diǎn)的切線問(wèn)題，常設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，將已知點(diǎn)代入切線方程得到關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，解出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求出切線方程，思路明確，關(guān)鍵是運(yùn)算要細(xì)心.5.【2015高考天津，文11】已知函數(shù) ,其中a為實(shí)數(shù),為的導(dǎo)函數(shù),若 ,則a的值為 【答案】3【解析】因?yàn)?,所以.【考點(diǎn)定位】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則.【名師點(diǎn)睛】本題考查內(nèi)容單一,求出由,再由可直接求得a的值,因此可以說(shuō)本題是一道基礎(chǔ)題,但要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性,由于填空題沒(méi)有中間分,一步出錯(cuò),就得零分,故運(yùn)算要特別細(xì)心

5、.6.【2015高考陜西，文15】函數(shù)在其極值點(diǎn)處的切線方程為_(kāi).【答案】【解析】，令，此時(shí)函數(shù)在其極值點(diǎn)處的切線方程為【考點(diǎn)定位】：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.【名師點(diǎn)睛】1.本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.2.解決導(dǎo)數(shù)幾何意義的問(wèn)題時(shí)要注意抓住切點(diǎn)的三重作用：切點(diǎn)在曲線上；切點(diǎn)在切線上；切點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)值等于切線斜率.7.【2015高考安徽，文21】已知函數(shù)（）求的定義域，并討論的單調(diào)性；（）若，求在內(nèi)的極值.【答案】（）遞增區(qū)間是（-r,r）;遞減區(qū)間為（-，-r）和（r，+）；（）極大值為100；無(wú)極小值.【解析】（）由題意可知 所求的定義域?yàn)?，

6、所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)， 因此，單調(diào)遞減區(qū)間為；的單調(diào)遞增區(qū)間為.（）由（）的解答可知 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因此是的極大值點(diǎn)，所以在內(nèi)的極大值為，內(nèi)無(wú)極小值；綜上，內(nèi)極大值為100，無(wú)極小值.【考點(diǎn)定位】本題主要考查了函數(shù)的定義域、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，以及求函數(shù)的極值等基礎(chǔ)知識(shí).【名師點(diǎn)睛】本題在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意，求導(dǎo)后的分子是一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的一元二次式，在求和時(shí)要注意，本題主要考查考生對(duì)基本概念的掌握情況和基本運(yùn)算能力.8.【2015高考北京，文19】（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)，（I）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（II）證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)【答案】（I）

7、單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；極小值；（II）證明詳見(jiàn)解析.由解得.與在區(qū)間上的情況如下：所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；在處取得極小值.（）由（）知，在區(qū)間上的最小值為.因?yàn)榇嬖诹泓c(diǎn)，所以，從而.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知，若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和函數(shù)的零點(diǎn)，屬于難題利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與極值的步驟：確定函數(shù)的定義

8、域；對(duì)求導(dǎo)；求方程的所有實(shí)數(shù)根；列表格證明函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)的步驟：用零點(diǎn)存在性定理證明函數(shù)零點(diǎn)的存在性；用函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)零點(diǎn)的唯一性9.【2015高考福建，文22】已知函數(shù)()求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）證明：當(dāng)時(shí)，；（）確定實(shí)數(shù)的所有可能取值，使得存在，當(dāng)時(shí)，恒有【答案】() ；（）詳見(jiàn)解析；（）【解析】（I），由得解得故的單調(diào)遞增區(qū)間是（II）令，則有當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，（III）由（II）知，當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有，則，從而不存在滿足題意當(dāng)時(shí)，令，則有由得，解得，當(dāng)時(shí)，故在內(nèi)單調(diào)遞增從而當(dāng)時(shí)，即，綜上，的取值范圍是【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】

9、利用導(dǎo)數(shù)判斷或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過(guò)不等式或求解，但是要兼顧定義域；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再用單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值，從而證得不等式，注意與不等價(jià)，只是的特例，但是也可以利用它來(lái)證明，在2014年全國(guó)卷理科高考21題中，就是使用該種方法證明不等式；導(dǎo)數(shù)的強(qiáng)大功能就是通過(guò)研究函數(shù)極值、最值、單調(diào)區(qū)間來(lái)判斷函數(shù)大致圖象，這是利用研究基本初等函數(shù)方法所不具備的，而是其延續(xù)10.【2015高考廣東，文21】（本小題滿分14分）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)（1）若，求的取值范圍；（2）討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)

10、時(shí)，討論在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【答案】（1）；（2）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)【解析】試題分析：（1）先由可得，再對(duì)的取值范圍進(jìn)行討論可得的解，進(jìn)而可得的取值范圍；（2）先寫(xiě)函數(shù)的解析式，再對(duì)的取值范圍進(jìn)行討論確定函數(shù)的單調(diào)性；（3）先由（2）得函數(shù)的最小值，再對(duì)的取值范圍進(jìn)行討論確定在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)試題解析：（1），因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)，則有，所以.所以.綜上所述，的取值范圍是.（2）對(duì)于，其對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，所以在上單調(diào)遞增；對(duì)于，其對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，所以在上單調(diào)遞減.綜上所述，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）由（2）得在上單調(diào)遞增，

11、在上單調(diào)遞減，所以.(i)當(dāng)時(shí)，令，即（）.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以而在上單調(diào)遞增，所以與在無(wú)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，即?dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).(ii)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， ，而在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，.下面比較與的大小因?yàn)樗越Y(jié)合圖象不難得當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn). 綜上所述，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).考點(diǎn)：1、絕對(duì)值不等式；2、函數(shù)的單調(diào)性；3、函數(shù)的最值；4、函數(shù)的零點(diǎn).【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是絕對(duì)值不等式、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值和函數(shù)的零點(diǎn)，屬于難題零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟：求零點(diǎn)；劃區(qū)間，去絕對(duì)值號(hào)；分別解去掉絕對(duì)值的不等式；取每段結(jié)果的并集，注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端

12、點(diǎn)值判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法：基本初等函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的方法：解方程法；圖象法11.【2015高考湖北，文21】設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). （）求，的解析式，并證明：當(dāng)時(shí)，；（）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（），.證明：當(dāng)時(shí)，故 又由基本不等式，有，即 （）由（）得 當(dāng)時(shí)，等價(jià)于 等價(jià)于 于是設(shè)函數(shù) ，由，有 當(dāng)時(shí)，（1）若，由，得，故在上為增函數(shù)，從而，即，故成立.（2）若，由，得，故在上為減函數(shù)，從而，即，故成立.綜合，得 .【考點(diǎn)定位】本題考查函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性與極值中的應(yīng)用，屬高檔題.【名師點(diǎn)睛】將函數(shù)的奇偶

13、性和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性與極值中的應(yīng)用聯(lián)系在一起，重點(diǎn)考查函數(shù)的綜合性，體現(xiàn)了函數(shù)在高中數(shù)學(xué)的重要地位，其解題的關(guān)鍵是第一問(wèn)需運(yùn)用奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義及性質(zhì)建立方程組進(jìn)行求解；第二問(wèn)屬于函數(shù)的恒成立問(wèn)題，需借助導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值來(lái)解決.12.【2015高考山東，文20】設(shè)函數(shù)fx=x+alnx，g(x)=x2ex. 已知曲線y=f(x) 在點(diǎn)處的切線與直線2x-y=0平行.（）求的值；（）是否存在自然數(shù)，使得方程在內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（）設(shè)函數(shù)（表示，中的較小值），求的最大值.【答案】（I） ；(II) ；(III) .【解析】（I）由題意知，曲線y=f(x

14、)在點(diǎn)處的切線斜率為，所以，又所以.（II）時(shí)，方程在內(nèi)存在唯一的根.設(shè)當(dāng)時(shí)，.又所以存在，使.因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以時(shí)，方程在內(nèi)存在唯一的根.（III）由（II）知，方程在內(nèi)存在唯一的根，且時(shí)，時(shí)，所以.當(dāng)時(shí)，若若由可知故當(dāng)時(shí)，由可得時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；可知且.綜上可得函數(shù)的最大值為.【考點(diǎn)定位】1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值；3.函數(shù)零點(diǎn)存在性定理.【名師點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理等，解答本題的主要困難是（II）(III)兩小題，首先是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，作出判斷，并進(jìn)一

15、步證明函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性，明確方程在內(nèi)存在唯一的根.其次是根據(jù)（II）的結(jié)論，確定得到的表達(dá)式，并進(jìn)一步利用分類討論思想，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值.本題是一道能力題，屬于難題.在考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，考查考生的計(jì)算能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力及分類討論思想.本題是教輔材料的常見(jiàn)題型，有利于優(yōu)生正常發(fā)揮.13.【2015高考四川，文21】已知函數(shù)f(x)2lnxx22axa2，其中a>0.()設(shè)g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性；()證明：存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在區(qū)間

16、(1，)內(nèi)有唯一解.【解析】()由已知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)g(x)f '(x)2(x1lnxa)所以g'(x)2當(dāng)x(0，1)時(shí)，g'(x)0，g(x)單調(diào)遞減當(dāng)x(1，)時(shí)，g'(x)0，g(x)單調(diào)遞增()由f '(x)2(x1lnxa)0，解得ax1lnx令(x)2xlnxx22x(x1lnx)(x1lnx)2(1lnx)22xlnx則(1)10，(e)2(2e)0于是存在x0(1，e)，使得(x0)0令a0x01lnx0u(x0)，其中u(x)x1lnx(x1)由u'(x)10知，函數(shù)u(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增故0u(1

17、)a0u(x0)u(e)e21即a0(0，1)當(dāng)aa0時(shí)，有f '(x0)0，f(x0)(x0)0再由()知，f '(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增當(dāng)x(1，x0)時(shí)，f '(x)0，從而f(x)f(x0)0當(dāng)x(x0，)時(shí)，f '(x)0，從而f(x)f(x0)0又當(dāng)x(0，1時(shí)，f(x)(xa0)22xlnx0故x(0，)時(shí)，f(x)0綜上所述，存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在區(qū)間(1，)內(nèi)有唯一解.【考點(diǎn)定位】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查函數(shù)與方程、

18、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.【名師點(diǎn)睛】本題第()問(wèn)隱藏二階導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)，由于連續(xù)兩次求導(dǎo)后，參數(shù)a消失，故函數(shù)的單調(diào)性是確定的，討論也相對(duì)簡(jiǎn)單.第()問(wèn)需要證明的是：對(duì)于某個(gè)a(0，1)，f(x)的最小值恰好是0，而且在(1，)上只有一個(gè)最小值.因此，本題仍然要先討論f(x)的單調(diào)性，進(jìn)一步說(shuō)明對(duì)于找到的a，f(x)在(1，)上有且只有一個(gè)等于0的點(diǎn)，也就是在(1，)上有且只有一個(gè)最小值點(diǎn).屬于難題.14.【2015高考天津，文20】（本小題滿分14分）已知函數(shù)（I）求的單調(diào)區(qū)間;（II）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為P,曲線在點(diǎn)P處的切線方程為,求證:對(duì)于任意的正實(shí)數(shù),都有;（III）若方程有

19、兩個(gè)正實(shí)數(shù)根且,求證:.【答案】（I） 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是;（II）見(jiàn)試題解析;（III）見(jiàn)試題解析.【解析】（I）由,可得 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是;（II）, ,證明 在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)x, ,對(duì)于任意的正實(shí)數(shù),都有;（III）設(shè)方程 的根為 ,可得,由在 單調(diào)遞減,得 ,所以 .設(shè)曲線 在原點(diǎn)處的切線為 方程 的根為 ,可得 ,由 在在 單調(diào)遞增,且 ,可得 所以 .試題解析:（I）由,可得,當(dāng) ,即 時(shí),函數(shù) 單調(diào)遞增;當(dāng) ,即 時(shí),函數(shù) 單調(diào)遞減.所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是.（II）設(shè) ,則 , 曲線 在點(diǎn)P處的切線方

20、程為 ,即,令 即 則.由于在 單調(diào)遞減,故在 單調(diào)遞減,又因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),所以 在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)x, ,對(duì)于任意的正實(shí)數(shù),都有.（III）由（II）知 ,設(shè)方程 的根為 ,可得,因?yàn)樵?單調(diào)遞減,又由（II）知 ,所以 .類似的,設(shè)曲線 在原點(diǎn)處的切線為 可得 ,對(duì)任意的,有 即 .設(shè)方程 的根為 ,可得 ,因?yàn)?在 單調(diào)遞增,且 ,因此, 所以 .【考點(diǎn)定位】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.考查函數(shù)思想、化歸思想及綜合分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力【名師點(diǎn)睛】給出可導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間,實(shí)質(zhì)是解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,若函數(shù)解析式中不含參數(shù),一般比較容易.不過(guò)要注

21、意求單調(diào)區(qū)間,要注意定義域優(yōu)先原則,且結(jié)果必須寫(xiě)成區(qū)間形式,不能寫(xiě)成不等式形式;利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn),解決此類問(wèn)題的基本思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值破解.15.【2015高考新課標(biāo)1，文21】（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù).（I）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（II）證明：當(dāng)時(shí).【答案】（I）當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn).（II）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（I）先求出導(dǎo)函數(shù)，分與考慮的單調(diào)性及性質(zhì)，即可判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（II）由（I）可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，根據(jù)的正負(fù)，即可判定函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求出函數(shù)的最小值，即可證明其最小值不小于，即證明了所證不等式.試

22、題解析：（I）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí),，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增.又,當(dāng)b滿足且時(shí)，,故當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn).（II）由（I），可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.由于，所以.故當(dāng)時(shí)，.考點(diǎn)：常見(jiàn)函數(shù)導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則；函數(shù)的零點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像與性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；運(yùn)算求解能力.【名師點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，解決此類問(wèn)題，要熟練掌握常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、掌握通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值研究函數(shù)的圖像與性質(zhì).對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)圖像草圖，結(jié)合圖像處理；對(duì)恒成立或能處理成立問(wèn)題，常用參變分離或分類討論來(lái)處理.16.【2015高考浙江，文20】（本題滿分15分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值的表達(dá)式；（2）已知函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】(1)將函數(shù)進(jìn)行配方，利用對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，通過(guò)分類討論確定函數(shù)在給定上的最小值，并用分段函數(shù)的形式進(jìn)行表示；(2)設(shè)定函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)條件表示兩個(gè)零點(diǎn)之間的不等關(guān)系，通過(guò)分類討論，分別確定參數(shù)的取值情況，利用并集原理得到參數(shù)的取值范圍.試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，故其對(duì)稱軸為.