橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程課件（文科）

1、 芳草湖中學(xué) 孫文靜 2014.10.30橢圓定義： 在平面內(nèi) 兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)（2a） 常數(shù)（2a）焦距（2c）21,FF 平面上到兩個(gè)定點(diǎn) 的距離之和為常數(shù)（2a）(大于| |)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.橢圓的定義要注意以下幾點(diǎn)： 21FF 當(dāng)2a2c時(shí)，圖形表示一個(gè)橢圓。 當(dāng)2a=2c時(shí)，圖形表示線段。 當(dāng)2a2c時(shí)，不存在任何圖形。 當(dāng)c=0是，表示一個(gè)圓。注意： 提出了問(wèn)題就要試著解決問(wèn)題.怎么推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？ 求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：1、建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；、建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；2、設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)p（x,y）；）；3、列出關(guān)于

2、點(diǎn)、列出關(guān)于點(diǎn)p的的方程方程 ; 4、化方程為最簡(jiǎn)形式。、化方程為最簡(jiǎn)形式。 探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案OxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyM原則：盡可能使方程的形式簡(jiǎn)單、運(yùn)算簡(jiǎn)單；原則：盡可能使方程的形式簡(jiǎn)單、運(yùn)算簡(jiǎn)單； ( (一般利用對(duì)稱軸或已有的互相垂直的線段所在的一般利用對(duì)稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸直線作為坐標(biāo)軸.).)(對(duì)稱、對(duì)稱、“簡(jiǎn)簡(jiǎn)潔潔”)xF1F2( (x , y) )0y設(shè)P (x, y)是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距|F1F2|=2c(c0)，則F1、F2的坐標(biāo)分別是(c,0)、(c,0) . P與F1和F

3、2的距離的和為固定值2a(2a2c) （問(wèn)題：下面怎樣（問(wèn)題：下面怎樣化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)？）？）aPFPF2|21222221)(| ,)(|ycxPFycxPFaycxycx2)()(2222由橢圓的定義得，限制條件由橢圓的定義得，限制條件：由于由于得方程得方程222222bayaxb 22ba兩邊除以兩邊除以 得得).0(12222babyax設(shè)所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由橢圓定義可知由橢圓定義可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 兩邊再平方，得兩邊再平方，

4、得)()(22222222caayaxca移項(xiàng)，再平方移項(xiàng)，再平方橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程剛才我們得到了焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程，如何推導(dǎo)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？（問(wèn)題：下面怎樣（問(wèn)題：下面怎樣化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)？）？）aPFPF2|21222221)(| ,)(|cyxPFcyxPFacyxcyx2)()(2222由橢圓的定義得，限制條件由橢圓的定義得，限制條件：由于由于得方程得方程aycxycxx2)()(2222軸焦點(diǎn)在).0(12222babyaxOXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特

5、點(diǎn)：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。（3）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上。22221.153xy ，則a ，b ， c ；22222.146xy ，則a ，b ，c ；5346口答：則a ，b ， c ；則a ，b ， c 。 37 169. 322yx6 147. 422yx210334例1.求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，a、b、c的值以及焦距。14) 1 (22 yx154)2(22yx1925)3(22yx解(1)橢圓方程具有形式12222byax其中1, 2ba因此31422

6、bac)0 , 3(),0 , 3( 焦距42 a兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為22(4)110036xy322 c134)6(22 yx434)5(22 yx,10|21 PFPF如圖:求滿足下列條件的橢圓方程解：橢圓具有標(biāo)準(zhǔn)方程12222byax其中102 , 82ac因此91625222cab, 5, 4ac所求方程為192522yx例2. 求出剛才在實(shí)驗(yàn)中畫(huà)出的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程8|21FF例例3：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-2，0），（），（2，0），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ , - )，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。2523焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上？焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上

7、？解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為只要求出只要求出a、b則可求出橢圓的方程則可求出橢圓的方程0 12222babyax2222)23()225()23()225(2a由橢圓的定義知所以10a又因?yàn)閏=2，所以b2 2= =a2 2- -c2 2= =10-4=6.因此，所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: 161022yx你還能用其他的方法求它的方程嗎？哪種方法簡(jiǎn)單？你有什么體會(huì)？102例例3：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-2，0），（），（2，0），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ , - )，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。2523解法二：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在解

8、法二：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為軸，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為0 12222babyax由已知得，由已知得，c=2422ba又由已知得，又由已知得， 1)23()25(2222ba聯(lián)立、解方程組得聯(lián)立、解方程組得6,1022ba因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 161022yx待定系數(shù)法待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一種方法：一種方法：二類方程二類方程:三個(gè)意識(shí)：三個(gè)意識(shí)：求美意識(shí)，求美意識(shí)， 求簡(jiǎn)意識(shí)，前瞻意識(shí)求簡(jiǎn)意識(shí)，前瞻意識(shí) 12222byax0 12222babxay2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上222=+abc平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等的距離的和等于常數(shù)（大于于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡）的點(diǎn)的軌跡12- ,