45分-壓桿穩(wěn)定定稿

1、1第十章第十章壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題2回顧回顧：在緒論中講到關于材料力學要研究的三項內容是構件的在緒論中講到關于材料力學要研究的三項內容是構件的 強度強度、剛度剛度、穩(wěn)定性穩(wěn)定性。 問題問題1 1：什么是穩(wěn)定性？什么是穩(wěn)定性？ 物理學：物理學： “ “穩(wěn)定穩(wěn)定” ”和和“ “不穩(wěn)定不穩(wěn)定” ”是指物體的平衡性質而言。是指物體的平衡性質而言。WFN 干擾干擾WFN 干擾干擾 球受到微小干擾，偏離平衡位置球受到微小干擾，偏離平衡位置后，經(jīng)過幾次擺動，能夠重新回后，經(jīng)過幾次擺動，能夠重新回到原來的平衡位置到原來的平衡位置穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡 球受到微小干擾，偏離其平衡位球受到微小干擾，偏離其平衡位置，

2、不能恢復到原來的平衡位置置，不能恢復到原來的平衡位置非穩(wěn)定平衡非穩(wěn)定平衡強度、剛度已經(jīng)前九章學習，本章研究穩(wěn)定性問題。強度、剛度已經(jīng)前九章學習，本章研究穩(wěn)定性問題。3R 平衡形式的突然變化，統(tǒng)稱為穩(wěn)定失效，簡稱為平衡形式的突然變化，統(tǒng)稱為穩(wěn)定失效，簡稱為失穩(wěn)失穩(wěn)。問題問題2： 什么是構件的穩(wěn)定性？什么是構件的穩(wěn)定性？壓桿壓桿等壓薄壁圓筒等壓薄壁圓筒狹長而窄的載面梁狹長而窄的載面梁 現(xiàn)代建筑、橋梁工程中大量采用桁架結構，其中有很多構件為承壓力的壓現(xiàn)代建筑、橋梁工程中大量采用桁架結構，其中有很多構件為承壓力的壓桿，一旦有一根壓桿失穩(wěn)，因多米諾骨牌效應，會造成整個結構坍塌。例如：桿，一旦有一根壓桿失

3、穩(wěn)，因多米諾骨牌效應，會造成整個結構坍塌。例如：上世紀未，瑞士的一鐵橋，當一輛客車通過時，大橋桁架中的壓桿失穩(wěn)，至使上世紀未，瑞士的一鐵橋，當一輛客車通過時，大橋桁架中的壓桿失穩(wěn)，至使發(fā)生災難性坍塌，約發(fā)生災難性坍塌，約200人遇難；加拿大、俄國也曾發(fā)生因壓桿失穩(wěn)而橋毀人人遇難；加拿大、俄國也曾發(fā)生因壓桿失穩(wěn)而橋毀人亡的災難性事故。亡的災難性事故。4 10-10-1 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念 工程中存在大量的壓桿構件，如建筑、橋梁中的柱、桁架等。工程中存在大量的壓桿構件，如建筑、橋梁中的柱、桁架等。F小小干擾干擾F大大干擾干擾撒出干擾，能夠回到原直撒出干擾，能夠回到原直線平衡位置線平衡位置

4、穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡 撒出干擾，不能回到原直撒出干擾，不能回到原直線平衡位置線平衡位置非穩(wěn)定平衡非穩(wěn)定平衡 臨界載荷臨界載荷Fcr 壓桿由穩(wěn)定平衡過渡到非穩(wěn)定平衡時的軸向壓力。壓桿由穩(wěn)定平衡過渡到非穩(wěn)定平衡時的軸向壓力。壓桿穩(wěn)定條件：壓桿穩(wěn)定條件：c rWFFn工 作學好本章的關鍵是學好本章的關鍵是能夠計算各種類型壓能夠計算各種類型壓桿的臨界載荷桿的臨界載荷5 10-2 10-2 壓桿的臨界載荷壓桿的臨界載荷歐拉臨界力歐拉臨界力在圖示坐標系中，根據(jù)小撓度近似微分方程，在圖示坐標系中，根據(jù)小撓度近似微分方程，得到得到令令得微分方程得微分方程此方程的通解為此方程的通解為yxlFyM(x)=FyFxxy

5、22d yMdxEI 22d yFydxEI 2FkEI2220d yk ydxsincosyAkxBkx（1）兩端鉸支的中心受壓直桿）兩端鉸支的中心受壓直桿6約束條件：約束條件：即即: y=Asinkx必須必須要求要求 kl=n （n=1，2， ）方程的通解方程的通解sincosyAkxBkxyxlF0 |0 0 xyB由 |0 0 0 x lyASinkl由或A0 ，否則，否則 y0 （無意義）（無意義）222 crnEIFl2222: nFklEI或工程中有實際意義的是最小的臨界力值，即取工程中有實際意義的是最小的臨界力值，即取n=1：22 crEIFl歐拉公式歐拉公式Fcr：歐拉臨界力

6、：歐拉臨界力F Fcrcr 與抗彎剛度與抗彎剛度EI EI 成正比，成正比， 與桿長與桿長L L的平方成反比。的平方成反比。7 工程中還存在其它類型的壓桿，如：工程中還存在其它類型的壓桿，如：它們的臨界力可以采用它們的臨界力可以采用幾何類比的方法幾何類比的方法求出。求出。兩端固定的壓桿兩端固定的壓桿一端固定、一端鉸支一端固定、一端鉸支0.7ll一端固定、一一端固定、一端自由的壓桿端自由的壓桿 l8 在幾何形狀上，該壓桿彎曲變形的撓曲線形狀類似兩端在幾何形狀上，該壓桿彎曲變形的撓曲線形狀類似兩端鉸支壓桿的半支撓曲線形狀。鉸支壓桿的半支撓曲線形狀。（2 2）一端固定、一端自由的壓桿）一端固定、一端

7、自由的壓桿yx2lFlF22(2 )crEIFl9（3 3）兩端固定的壓桿）兩端固定的壓桿 在距兩端在距兩端0.250.25l 處各有一個拐點（曲率或彎矩處各有一個拐點（曲率或彎矩0 0，相當鉸，相當鉸支處的情形）支處的情形） 兩拐點之間的桿段，其撓曲兩拐點之間的桿段，其撓曲線形狀類似桿長為線形狀類似桿長為0.50.5l 的兩端的兩端為鉸支的壓桿為鉸支的壓桿Fcr0.5ll22( .5 )crEIFo l10（4 4）一端固定、一端鉸支的壓桿）一端固定、一端鉸支的壓桿 在距固定端在距固定端0.30.3l 處有一個拐點（曲率或彎矩處有一個拐點（曲率或彎矩0 0，相當鉸支，相當鉸支處的情形）處的情

8、形） 拐點至鉸支端之間的桿段，其拐點至鉸支端之間的桿段，其撓曲線形狀類似桿長為撓曲線形狀類似桿長為0.7l 的兩的兩端為鉸支的壓端為鉸支的壓0.7lFcrl22(0.7 )crEIFl11綜合起來，可以得到歐拉公式的一般形式為綜合起來，可以得到歐拉公式的一般形式為 式中，式中，l 稱為相當長度。稱為相當長度。稱為長度系數(shù)，它反映了約束情況對臨界載稱為長度系數(shù)，它反映了約束情況對臨界載荷的影響。桿端的約束愈強，荷的影響。桿端的約束愈強， 則值愈小，壓桿的臨界力愈高。則值愈小，壓桿的臨界力愈高。22()crE IFl需要注意：需要注意：壓桿失穩(wěn)時，總是繞抗彎剛度最小的軸發(fā)生彎曲變壓桿失穩(wěn)時，總是繞

9、抗彎剛度最小的軸發(fā)生彎曲變形。因此，式中的形。因此，式中的I I 應為截面最小的形心主慣性矩。應為截面最小的形心主慣性矩。 12 歐拉公式只有在彈性范圍內才是適用的。為了判斷壓桿失穩(wěn)時歐拉公式只有在彈性范圍內才是適用的。為了判斷壓桿失穩(wěn)時是否處于彈性范圍，以及超出彈性范圍后臨界力的計算問題，必是否處于彈性范圍，以及超出彈性范圍后臨界力的計算問題，必須引入臨界應力及柔度的概念。須引入臨界應力及柔度的概念。 10-3 10-3 歐拉臨界應力與歐拉公式適用范圍歐拉臨界應力與歐拉公式適用范圍臨界應力：臨界應力：2222222()()crcrFEIEiEAlAlIiAlliIA式中：式中： 稱為柔度：稱

10、為柔度：為截面的最小形心主軸慣性矩；為截面的最小形心主軸慣性矩；為截面面積；為截面面積；i 為截面的慣性半徑：為截面的慣性半徑： 柔度柔度又稱為壓桿的又稱為壓桿的長細比長細比，它綜合的反映了，它綜合的反映了壓桿長度壓桿長度、約束約束條件條件、截面尺寸截面尺寸和和形狀形狀對臨界力的影響。對臨界力的影響。132 crpE由2ppE滿足滿足p的壓桿稱的壓桿稱細長桿細長桿或或大柔度桿大柔度桿 對于不同材料的壓桿，因和對于不同材料的壓桿，因和p各不相同，各不相同，p的數(shù)值亦不相的數(shù)值亦不相同。同。 例如：例如：A3鋼，鋼，E=206GPa，p =200MPa，可算得，可算得p =101。 以應力形式討論

11、歐拉公式以應力形式討論歐拉公式的適用范圍很方便的適用范圍很方便 p p sBA crOC22crE可得歐拉公式適用的柔度范圍可得歐拉公式適用的柔度范圍14 10-4 10-4 中小柔度壓桿的臨界應力與臨界應力總圖中小柔度壓桿的臨界應力與臨界應力總圖 在工程中也經(jīng)常遇到在工程中也經(jīng)常遇到p的壓桿，稱的壓桿，稱中中小柔度桿小柔度桿或或非細長桿非細長桿，因其臨界應力因其臨界應力 crp ，歐拉公式已不再適用，而采用建立在實驗，歐拉公式已不再適用，而采用建立在實驗基礎上的經(jīng)驗公式基礎上的經(jīng)驗公式: : cr p s p OC CBAcr=s s a a222crE臨界應力總圖臨界應力總圖(二）二）2c

12、rsa例如：例如： Q235鋼，鋼，cr=2350.006682 16錳鋼，錳鋼， cr=3430.0142215 10-4 10-4 中小柔度壓桿的臨界應力與臨界應力總圖中小柔度壓桿的臨界應力與臨界應力總圖 在工程中也經(jīng)常遇到在工程中也經(jīng)常遇到p的壓桿，稱中的壓桿，稱中小柔度桿或非細長桿，小柔度桿或非細長桿，因其臨界應力因其臨界應力 crp ，歐拉公式已不再適用，而采用建立在實驗，歐拉公式已不再適用，而采用建立在實驗基礎上的經(jīng)驗公式。基礎上的經(jīng)驗公式。1、直線公式、直線公式 cr=a b 為壓桿實際柔度，為壓桿實際柔度，a、b是與材是與材料性質有關的常數(shù)。料性質有關的常數(shù)。 直線經(jīng)驗公式也有

13、一個適用直線經(jīng)驗公式也有一個適用范圍，范圍，由由p cr=a b S: SSab可得 當當S ，稱小柔度桿或短粗桿，稱小柔度桿或短粗桿，此時壓桿失效屬強度問題，此時壓桿失效屬強度問題 p p s cr= sBA S cr=a b crOC22crE小柔度桿小柔度桿中柔度桿中柔度桿大柔度桿大柔度桿強度問題強度問題彈塑性穩(wěn)彈塑性穩(wěn)定問題定問題彈性穩(wěn)定彈性穩(wěn)定問題問題臨界應力總圖臨界應力總圖(一）一）16 10-5 壓桿穩(wěn)定性校核壓桿穩(wěn)定性校核 crcrwwFFnn或 crwnn或n nw w是穩(wěn)定安全系數(shù)。是穩(wěn)定安全系數(shù)。壓桿失穩(wěn)具有突發(fā)性，危害性較大。故壓桿失穩(wěn)具有突發(fā)性，危害性較大。故n nw

14、 w 較強度安全系數(shù)較強度安全系數(shù)n要大些。要大些。為保證壓桿安全工作，壓桿軸向力應滿足：為保證壓桿安全工作，壓桿軸向力應滿足：注意：注意：（1 1）由于壓桿的臨界載荷是從研究整個）由于壓桿的臨界載荷是從研究整個壓桿的彎曲變形來決定的，局部截面的削弱對整壓桿的彎曲變形來決定的，局部截面的削弱對整體變形影響較小，因此當壓桿開有體變形影響較小，因此當壓桿開有孔孔、切糟切糟等，等，穩(wěn)定計算中仍用原有的截面幾何量。（穩(wěn)定計算中仍用原有的截面幾何量。（2 2）但須）但須對削弱了的截面進行強度校核對削弱了的截面進行強度校核17例例1 Q235鋼制成的矩形截面桿受到壓力鋼制成的矩形截面桿受到壓力P=200K

15、N作用。桿兩端作用。桿兩端為柱形鉸，約束情形如圖所示，其中為柱形鉸，約束情形如圖所示，其中a為正視圖，為正視圖，b為俯視圖。在為俯視圖。在A、B兩處用螺栓夾緊。兩處用螺栓夾緊。解：壓桿解：壓桿AB在正視圖在正視圖x-y平面內失穩(wěn)時，平面內失穩(wěn)時，A、B兩處可以自由轉動，兩處可以自由轉動，相當于兩端為鉸鏈約束，相當于兩端為鉸鏈約束， 1。 已知：已知：l = 2.2m, b = 40mm, h = 60mm,材料的彈性模量材料的彈性模量 E = 210GPa, 求此桿的臨界力。求此桿的臨界力。 在俯視圖在俯視圖x-z平面內失穩(wěn)時，平面內失穩(wěn)時，A、B兩處不能自由轉動，可簡化兩處不能自由轉動，可簡

16、化為兩端固定約束，為兩端固定約束， 0.5 。 18已知：已知：F=200KN, l=2.2m, b=40mm, h=60mm, 彈性模彈性模量量 E = 210GPa。求。求Fcr 解：在解：在x-y平面內：平面內： = = 1 354/127.2 10 mm zIbhz51 2200127/7.2 10 /40 60zzlliI A 在在x-z平面內：平面內： = = 0.5354/123.2 10 mmyIhb50.5 220095.24/3.2 10 /40 60yyylliI A19比較：在比較：在x-z平面內：平面內： 此桿的臨界力為此桿的臨界力為280kN 。又，又，Q235鋼的

17、鋼的C=123 ， z C屬于彈性穩(wěn)定問題。屬于彈性穩(wěn)定問題。 z =127 y =95.24，壓桿將首先在壓桿將首先在x-y平面內失穩(wěn)平面內失穩(wěn) 255232.1 107.210280 kN()2.2102zcr2EIFl222350.006682350.00668 95.24174.4 MPacr174.4 40 60418579N418.58 kNcrljFA20FLF解：解：（1） 建立壓桿力學模型建立壓桿力學模型例例2 千斤頂如圖千斤頂如圖a所示，絲杠長度所示，絲杠長度l=375mm,內徑內徑d=40mm,材料是材料是A3鋼，最大起重量鋼，最大起重量F=80KN，規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)，規(guī)

18、定穩(wěn)定安全系數(shù)nw=3。試校核絲杠的。試校核絲杠的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性。 簡化為下端固定上端自由的簡化為下端固定上端自由的壓桿，長度系數(shù)壓桿，長度系數(shù)=2。慣性半徑慣性半徑: /4iI Ad柔度柔度: 2 3757540/4liA3A3鋼鋼C=123，C，絲杠是中柔度壓桿，絲杠是中柔度壓桿 cr=235-0.00668=235-0.00668*752=197MPa穩(wěn)定性校核：穩(wěn)定性校核： 2st197203.1380000crFnnF所以此千斤頂絲杠是穩(wěn)定的所以此千斤頂絲杠是穩(wěn)定的 21 10-7 10-7 提高壓桿承載能力的措施提高壓桿承載能力的措施 1 1合理選材合理選材 提高壓桿的穩(wěn)定性主要從

19、提高提高壓桿的穩(wěn)定性主要從提高 F Fcr cr 或或 cr cr 入手，分析下式入手，分析下式：細長桿細長桿非細長桿非細長桿22/crE2 crcrsaba或可見主要措施有：可見主要措施有：1 1、合理選材、合理選材2 2、減小柔度、減小柔度 對于大柔度桿，臨界應力與材料的彈性模對于大柔度桿，臨界應力與材料的彈性模量量E E成正比。但各種鋼材的成正比。但各種鋼材的E E基本相同，所以基本相同，所以對大柔度桿選用優(yōu)質鋼材比低碳鋼并無多大對大柔度桿選用優(yōu)質鋼材比低碳鋼并無多大差別。差別。 對中小柔度桿，由臨界應力圖可以看到，對中小柔度桿，由臨界應力圖可以看到，材料的屈服極限和比例極限越高，則臨界

20、應材料的屈服極限和比例極限越高，則臨界應力就越大。這時選用優(yōu)質鋼材會提高壓桿的力就越大。這時選用優(yōu)質鋼材會提高壓桿的承載能力。承載能力。222.32.3 選擇合理的截面形狀，提高選擇合理的截面形狀，提高I/AI/A值；值； (1) (1)當壓桿各個方向的約束條件相同時，使截面對兩個形心主軸的慣性矩當壓桿各個方向的約束條件相同時，使截面對兩個形心主軸的慣性矩 I I 盡可能大且相等；盡可能大且相等；2.1 2.1 在結構允許的情況下，盡量減小壓桿長度，或增加中間支座（對于細長桿，在結構允許的情況下，盡量減小壓桿長度，或增加中間支座（對于細長桿， 若在柱子中設置一個支點，則長度減小一半，而承載能力可增加到原來的若在柱子中設置一個支點，則