彈性力學(xué)理論方法

1、第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-1 概述概述3-2 基本方程基本方程3-3 邊界條件與圣維南原理邊界條件與圣維南原理3-4 按位移求解平面問題按位移求解平面問題3-5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-1 3-1 概述概述 巖石巖石力學(xué)（工程力學(xué)）問題求解特點(diǎn)力學(xué)（工程力學(xué)）問題求解特點(diǎn)： 依據(jù)：邊界約束條件依據(jù)：邊界約束條件 平衡微分方程平衡微分方程 幾何方程幾何方程（形變與位移間幾何關(guān)系）（形變與位移間幾何關(guān)系） 物理方程物理方程（應(yīng)力與形變間物理關(guān)系）（應(yīng)力與形變間物理關(guān)系） 求解：應(yīng)力分量、形

2、變分量和位移分量求解：應(yīng)力分量、形變分量和位移分量 目的：研究結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、穩(wěn)定性、破壞、失效等目的：研究結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、穩(wěn)定性、破壞、失效等第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-1 3-1 概述概述第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法 彈性力學(xué)基本假設(shè)：彈性力學(xué)基本假設(shè)： （1）連續(xù)性假設(shè)）連續(xù)性假設(shè) （2）完全彈性假設(shè)）完全彈性假設(shè) （3）均勻性假設(shè)）均勻性假設(shè) （4）各向同性假設(shè)）各向同性假設(shè) （5）小變形假設(shè)）小變形假設(shè)3-1 3-1 概述概述第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法 彈性力學(xué)基本假設(shè)彈性力學(xué)基本假設(shè)11連續(xù)性假設(shè)連

3、續(xù)性假設(shè) 假定整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所假定整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。填滿，不留下任何空隙。 基于連續(xù)性假設(shè)，物體內(nèi)的一些物理量，例如應(yīng)基于連續(xù)性假設(shè)，物體內(nèi)的一些物理量，例如應(yīng)力、形變、位移等等，才可能是連續(xù)的，因而才可能力、形變、位移等等，才可能是連續(xù)的，因而才可能用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示它們的變化規(guī)律。用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示它們的變化規(guī)律。3-1 3-1 概述概述第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法 彈性力學(xué)基本假設(shè)彈性力學(xué)基本假設(shè)22完全彈性假設(shè)完全彈性假設(shè) 彈性，指的是彈性，指的是“物體在引起形變的外力被除去以后物體在

4、引起形變的外力被除去以后能恢復(fù)原形能恢復(fù)原形”這一性質(zhì)。這一性質(zhì)。 完全彈性，指的是物體能完全恢復(fù)原形而沒有任何完全彈性，指的是物體能完全恢復(fù)原形而沒有任何剩余形變。剩余形變。 滿足完全彈性假設(shè)，物體在任一瞬時(shí)的形變就完全決定于它在滿足完全彈性假設(shè)，物體在任一瞬時(shí)的形變就完全決定于它在這一瞬時(shí)所受的外力，與它過去的受力情況無關(guān)。完全彈性體服這一瞬時(shí)所受的外力，與它過去的受力情況無關(guān)。完全彈性體服從虎克定律，也就是形變與引起該形變的應(yīng)力成正比，因而彈性從虎克定律，也就是形變與引起該形變的應(yīng)力成正比，因而彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或形變的大小而變。常數(shù)不隨應(yīng)力或形變的大小而變。3-1 3-1 概述概述第三章

5、第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法 彈性力學(xué)基本假設(shè)彈性力學(xué)基本假設(shè)33均勻性假設(shè)均勻性假設(shè) 整個(gè)物體是由同一材料組成的。整個(gè)物體是由同一材料組成的。 基于均勻性假設(shè)，整個(gè)物體的所有各部分才具有相基于均勻性假設(shè)，整個(gè)物體的所有各部分才具有相同的彈性，因而物體的彈性才不隨位置坐標(biāo)而變，可同的彈性，因而物體的彈性才不隨位置坐標(biāo)而變，可以取出該物體的任意一小部分來加以分析，然后把分以取出該物體的任意一小部分來加以分析，然后把分析的結(jié)果用于整個(gè)物體。如果物體是由兩種或兩種以析的結(jié)果用于整個(gè)物體。如果物體是由兩種或兩種以上的材料組成的，例如混凝土，那么，也只要每一種上的材料組成的，例如

6、混凝土，那么，也只要每一種材料的顆粒遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體而且在物體內(nèi)均勻分布，這材料的顆粒遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體而且在物體內(nèi)均勻分布，這個(gè)物體就可以當(dāng)作是均勻的。個(gè)物體就可以當(dāng)作是均勻的。3-1 3-1 概述概述第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法 彈性力學(xué)基本假設(shè)彈性力學(xué)基本假設(shè)44各向同性假設(shè)各向同性假設(shè) 物體的彈性在所有各個(gè)方向都相同。物體的彈性在所有各個(gè)方向都相同。 基于各向同性假設(shè)，物體的彈性常數(shù)才不隨方向而基于各向同性假設(shè)，物體的彈性常數(shù)才不隨方向而變。顯然，由木材和竹材做成的構(gòu)件都不能當(dāng)作各向變。顯然，由木材和竹材做成的構(gòu)件都不能當(dāng)作各向同性體。至于由鋼材做成的構(gòu)件，雖然它含

7、有各向異同性體。至于由鋼材做成的構(gòu)件，雖然它含有各向異性的晶體，但由于晶體很微小，而且是隨機(jī)排列的，性的晶體，但由于晶體很微小，而且是隨機(jī)排列的，所以，鋼材構(gòu)件的彈性（包含無數(shù)多微小晶體隨機(jī)排所以，鋼材構(gòu)件的彈性（包含無數(shù)多微小晶體隨機(jī)排列時(shí)的統(tǒng)觀彈性），大致是各向同性的。列時(shí)的統(tǒng)觀彈性），大致是各向同性的。3-1 3-1 概述概述第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法 彈性力學(xué)基本假設(shè)彈性力學(xué)基本假設(shè)55小變形假設(shè)小變形假設(shè) 假定物體受力以后各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來假定物體受力以后各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸，而且轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于的尺寸，而且轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1。 基于小

8、變形假設(shè)，在建立物體變形以后的平衡方程基于小變形假設(shè)，在建立物體變形以后的平衡方程時(shí)，用變形以前的尺寸來代替變形以后的尺寸，而不時(shí)，用變形以前的尺寸來代替變形以后的尺寸，而不致引起顯著誤差；并且，在考察物體的形變及位移時(shí)，致引起顯著誤差；并且，在考察物體的形變及位移時(shí)，轉(zhuǎn)角和應(yīng)變的二次方或乘積都可以略去不計(jì)。這就使轉(zhuǎn)角和應(yīng)變的二次方或乘積都可以略去不計(jì)。這就使得彈性力學(xué)里的代數(shù)方程和微分方程都簡(jiǎn)化為線性方得彈性力學(xué)里的代數(shù)方程和微分方程都簡(jiǎn)化為線性方程，而且可以應(yīng)用疊加原理。程，而且可以應(yīng)用疊加原理。3-1 3-1 概述概述 平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題 特點(diǎn)：特點(diǎn)：（1） z=0， zx=0，

9、zy=0。（2） x 、 y 、 xy只是只是x和和y的函數(shù)，不隨的函數(shù)，不隨z而變化。而變化。第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-1 3-1 概述概述 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題 特點(diǎn)：特點(diǎn)：（1） z=0， zx=0， zy=0。（2） x 、 y 、 xy只是只是x和和y的函數(shù)，不隨的函數(shù)，不隨z而變化。而變化。第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-2 3-2 基本方程基本方程平衡微分方程平衡微分方程 平面平衡微分方程平面平衡微分方程00YyxXyxyxyxyx第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法xy3-2 3-2 基

10、本方程基本方程幾何方程幾何方程 平面問題的幾何方程：平面問題的幾何方程：yuxvyvxuxyyx第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法注意：注意：當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形變分量即完全確定。當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形變分量即完全確定。反之，當(dāng)形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。（必須反之，當(dāng)形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。（必須有三個(gè)適當(dāng)?shù)膭傮w約束條件）有三個(gè)適當(dāng)?shù)膭傮w約束條件）3-3-2 2 基本方程基本方程物理方程物理方程1 1、廣義胡克定律：、廣義胡克定律：xzxzyzyzxyxyyxzzxzyyzyxxGGGEEE1,1,1111第三章第

11、三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法）1（2EG2 2、平面應(yīng)力問題的物理方程：、平面應(yīng)力問題的物理方程：xyxyxyxyyyxxEGEE)1 (2111第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3-2 2 基本方程基本方程物理方程物理方程 z=0， zx=0， zy=0 xzxzyzyzxyxyyxzzxzyyzyxxGGGEEE1,1,11113 3、平面應(yīng)變問題的物理方程：、平面應(yīng)變問題的物理方程：xyxyxyyyxxEEE)1 (2111122第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3-2 2 基本方程基本方程物理方程物理方程 z

12、=0， zx=0， zy=0 xzxzyzyzxyxyyxzzxzyyzyxxGGGEEE1,1,11113-3 3-3 邊界條件邊界條件1 1、應(yīng)力邊界條件、應(yīng)力邊界條件 知物體邊界面力知物體邊界面力p（px，py，pz） 建立物體邊界微單元應(yīng)力建立物體邊界微單元應(yīng)力與邊界面力與邊界面力p和邊界方向和邊界方向余弦（余弦（ x， y， z）的關(guān)的關(guān)系。系。第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法REVIEW：從一般空間應(yīng)力狀態(tài)求任意斜截面上的應(yīng)力從一般空間應(yīng)力狀態(tài)求任意斜截面上的應(yīng)力所以，所以，abcabc面上的牽引力分量與面上的牽引力分量與x x、y y、z z坐標(biāo)系坐標(biāo)系

13、下的應(yīng)力矩下的應(yīng)力矩陣和陣和abcabc面外法線的方向余弦的關(guān)系表達(dá)式為：面外法線的方向余弦的關(guān)系表達(dá)式為：zyxzyzxzyzyxyxzxyxzyxttt或 t第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3 3-3 邊界條件邊界條件應(yīng)力邊界條件（在應(yīng)力邊界條件（在S 上）：上）：zzyyzxxzzzyzyyxxyyzxzyxyxxxpppzyxzyzxzyzyxyxzxyxzyxppp第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3 3-3 邊界條件邊界條件平面問題的應(yīng)力邊界條件（在平面問題的應(yīng)力邊界條件（在S 上）：上）：yyxxyyyxyxxxpp第三章

14、第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3 3-3 邊界條件邊界條件2 2、位移邊界條件（在、位移邊界條件（在S Su u上）：上）： 知物體邊界上位移知物體邊界上位移 建立物體邊界上點(diǎn)的位移與給定位移相等的條建立物體邊界上點(diǎn)的位移與給定位移相等的條件。件。wwvvuu,第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3 3-3 邊界條件邊界條件3 3、混合邊界條件：、混合邊界條件： 知物體邊界上部分應(yīng)力、給定位移知物體邊界上部分應(yīng)力、給定位移 建立物體邊界上點(diǎn)的應(yīng)力邊界條件、位移邊界建立物體邊界上點(diǎn)的應(yīng)力邊界條件、位移邊界條件。條件。第三章第三章 彈性力學(xué)基本理

15、論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3 3-3 邊界條件邊界條件4 4、圣維南原理及其應(yīng)用、圣維南原理及其應(yīng)用 如果把物體的如果把物體的一小部分邊界一小部分邊界上的面力，變換為上的面力，變換為分布不同但分布不同但靜力等效靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)于的面力（主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法例例3-1： 設(shè)圖設(shè)圖3-1所示的厚度所示的厚度 =1的梁中，左、右端的梁中，左、右端x= l

16、的邊的邊界面上是正、負(fù)界面上是正、負(fù)x面，其上作用有一般分布的面力：面，其上作用有一般分布的面力： 試用圣維南原理列出邊界條件。試用圣維南原理列出邊界條件。)(),(yfyfyx 圖圖3-1第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法 ）（）（）（）（邊界條件：sflmsfmlySxyyxSxyx例例3-2： 若已給定坐標(biāo)系如圖若已給定坐標(biāo)系如圖3-2所示，試列出圖中各平所示，試列出圖中各平面問題的自由邊界的應(yīng)力邊界條件。面問題的自由邊界的應(yīng)力邊界條件。圖圖3-2第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法 ）（）（）（）（邊界條件：sflmsfmlySxyyxSx

17、yx例例3-3： 設(shè)有圖設(shè)有圖3-3所示三角形水壩，試列出所示三角形水壩，試列出OA面（光面（光滑面）的應(yīng)力邊界條件。滑面）的應(yīng)力邊界條件。圖圖3-3第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法 ）（）（）（）（邊界條件：sflmsfmlySxyyxSxyx習(xí)題之習(xí)題之2：1、試列出圖、試列出圖3-5、圖、圖3-6所示問題的全部邊界條件。所示問題的全部邊界條件。在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。的應(yīng)力邊界條件。圖圖3-6圖圖3-5第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法習(xí)題之習(xí)題之2：2、試用圣維

18、南原理，、試用圣維南原理，列出圖列出圖3-7所示的兩所示的兩個(gè)問題中個(gè)問題中OA邊的三邊的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，并比較兩者條件，并比較兩者的面力是否是靜力的面力是否是靜力等效？等效？圖圖3-7第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3-4 4 按位移求解平面問題按位移求解平面問題第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法xyxyxyyyxxxyyxyXYyxXYxE12E1E13yuxvxvxu20fxy0fyx1）（）（）（、平面應(yīng)力物理方程：，、幾何方程：、平衡微分方程： ）（）（）（）（，、邊界條件：sflmsfml) s ( v)

19、 v() s ( u) u(4ySxyyxSxyxSS 位移法位移法是以位移分量為基本是以位移分量為基本未知函數(shù)，從基本方程和邊未知函數(shù)，從基本方程和邊界條件中消去應(yīng)力分量和形界條件中消去應(yīng)力分量和形變分量，導(dǎo)出只含位移分量變分量，導(dǎo)出只含位移分量的方程和相應(yīng)的邊界條件，的方程和相應(yīng)的邊界條件，并由此解出位移分量，然后并由此解出位移分量，然后再求出形變分量和應(yīng)力分量。再求出形變分量和應(yīng)力分量。3-3-4 4 按位移求解平面問題按位移求解平面問題 1 1、用位移分量表示應(yīng)力分量：、用位移分量表示應(yīng)力分量：yuxvExuyvEyvxuExyyx)1 (21122第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法

20、彈性力學(xué)基本理論與方法xyxyxyyyxxxyyxyXYyxXYxE12E1E13yuxvxvxu20fxy0fyx1）（）（）（、平面應(yīng)力物理方程：，、幾何方程：、平衡微分方程：3-3-4 4 按位移求解平面問題按位移求解平面問題 2 2、用位移分量表示的平衡微分方程：、用位移分量表示的平衡微分方程：0fyxu21xv21yv1E0fyxv21yu21xu1Ey222222x222222第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法yuxvExuyvEyvxuExyyx)1 (211220fxy0fyxyXYyxXYx平衡微分方程：3-3-4 4 按位移求解平面問題按位移求解平面

21、問題 3 3、用位移分量表示的邊界條件：、用位移分量表示的邊界條件：yyx2xyx2fxuyvxvyu211Efxvyu21yvxu1E第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法yuxvExuyvEyvxuExyyx)1 (21122yyxxyyyxyxxxff3-3-4 4 按位移求解平面問題按位移求解平面問題 平衡方程平衡方程 邊界條件邊界條件1,2 幾何方程幾何方程 物理方程物理方程yuxvyvxuxyyx第三章第三章 平面問題的彈性力學(xué)解答平面問題的彈性力學(xué)解答yuxvExuyvEyvxuExyyx)1 (211220fyxu21xv21yv1E0fyxv21yu21x

22、u1Ey222222x222222yyxxyxfxuyvxvyuEfxvyuyvxuE21121122vvuu ,3-3-4 4 按位移求解平面問題按位移求解平面問題 4 4、位移法特點(diǎn)：、位移法特點(diǎn)： （1 1）能夠適應(yīng)各種邊界條件問題的求解；）能夠適應(yīng)各種邊界條件問題的求解； （2 2）求解位移函數(shù)困難（已得出的函數(shù)解答）求解位移函數(shù)困難（已得出的函數(shù)解答很少）。很少）。 （3 3）在各種近似數(shù)值解法中廣泛應(yīng)用。）在各種近似數(shù)值解法中廣泛應(yīng)用。第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法例例3-4： 設(shè)圖設(shè)圖3-4a所示的桿件，在所示的桿件，在y方向的上端固定，而下方向的上端

23、固定，而下端自由，受自重體力作用端自由，受自重體力作用fx=0，fy= g的作用。的作用。 試用位移法求解此問題。試用位移法求解此問題。圖圖3-4第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法例例3-4：解：根據(jù)所給條件，本題是一個(gè)一維問題，位解：根據(jù)所給條件，本題是一個(gè)一維問題，位移移v只是只是y的函數(shù)。的函數(shù)。 把把u=0， =0，fx=0，fy= g代入位移表示的代入位移表示的平衡微分方程，其中第一式自然滿足，而第平衡微分方程，其中第一式自然滿足，而第二式成為：二式成為：Egdyvd22第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法0fyxu21xv21yv1E0

24、fyxv21yu21xu1Ey222222x222222例例3-4： 由此式解出：由此式解出：上下邊界條件要求：（上下邊界條件要求：（v）y=0=0，（，（ y）y=h=0 代入上式得：代入上式得：B=0，A= gh/E由此得解答：由此得解答：v= g（2hy-y2）/2E， y= g（h-y）Egdyvd22BAyyEgv22第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法yuxvExuyvEyvxuExyyx)1 (21122對(duì)于圖3-9b?3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 按應(yīng)力求解的方法，稱應(yīng)力法。按應(yīng)力求解的方法，稱應(yīng)力法。 它是以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)

25、，從它是以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移分量和形變分方程和邊界條件中消去位移分量和形變分量，導(dǎo)出只含應(yīng)力分量的方程和相應(yīng)的邊量，導(dǎo)出只含應(yīng)力分量的方程和相應(yīng)的邊界條件，并由此解出應(yīng)力分量，然后再求界條件，并由此解出應(yīng)力分量，然后再求出形變分量和位移分量。出形變分量和位移分量。第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 1、應(yīng)變分量表示的幾何方程（、應(yīng)變分量表示的幾何方程（形變協(xié)調(diào)方程、相容形變協(xié)調(diào)方程、相容方程方程）yxxyxyyx22222yuxvyvxuxyyx求求 x對(duì)對(duì)y的的二階導(dǎo)數(shù)；二階導(dǎo)數(shù)；求求

26、 y對(duì)對(duì)x的的二階導(dǎo)數(shù)；二階導(dǎo)數(shù)；第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 1、應(yīng)變分量表示的幾何方程（、應(yīng)變分量表示的幾何方程（形變協(xié)調(diào)方程、相容形變協(xié)調(diào)方程、相容方程方程）yxxyxyyx22222連續(xù)體的形變分量連續(xù)體的形變分量 x、 y、 xy不是互相獨(dú)立的，不是互相獨(dú)立的，而是相關(guān)的，它們之間必須滿足相容方程，而是相關(guān)的，它們之間必須滿足相容方程，才能保證對(duì)應(yīng)的位移分量才能保證對(duì)應(yīng)的位移分量u和和v的存在。的存在。第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解

27、平面問題 2、用應(yīng)力分量表示的相容方程：、用應(yīng)力分量表示的相容方程：yfxfyxyxyx12222平面應(yīng)力情況：yfxfyxyxyx112222平面應(yīng)變情況：第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法xyxyxyyyxxE12E1E1）（）（）（yxxyxyyx222220fxy0fyxyXYyxXYx3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題yfxfyxyxyx12222平面應(yīng)力情況：yfxfyxyxyx112222平面應(yīng)變情況：0fyx0fyxyyxyxxyxyyxxyyyxyxxxpp平衡方程；平衡方程；相容方程；相容方程；邊界條件。邊界條件。第三章第三章 彈性

28、力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 單連體：只有一個(gè)連續(xù)邊界的物體單連體：只有一個(gè)連續(xù)邊界的物體 多連體：具有兩個(gè)或兩個(gè)以上的連續(xù)邊多連體：具有兩個(gè)或兩個(gè)以上的連續(xù)邊界的物體。（還必須滿足位移單值條件）界的物體。（還必須滿足位移單值條件）第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 3、常體力情況下的簡(jiǎn)化、常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)：應(yīng)力函數(shù)：02222yxyxyfxfyxyxyx12222平面應(yīng)力情況：yfxfyxyxyx112222平面應(yīng)變情況：在常體力情況，即體力

29、分在常體力情況，即體力分量是常量，不隨坐標(biāo)量是常量，不隨坐標(biāo)x、y而變下，兩種平面問題的而變下，兩種平面問題的相容方程都簡(jiǎn)化為：相容方程都簡(jiǎn)化為：第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 3、常體力情況下的簡(jiǎn)化、常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)：應(yīng)力函數(shù)：02222yxyx02yx第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-7 3-7 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 3、常體力情況下的簡(jiǎn)化、常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)：應(yīng)力函數(shù)：02yx0fyx0fyxyyxyxxyxyyxxyyyxyxxxpp 平衡方

30、程；平衡方程； 相容方程；相容方程； 邊界條件。邊界條件。第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-7 3-7 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 當(dāng)體力為常量時(shí)當(dāng)體力為常量時(shí), 在單連體的應(yīng)力邊界問題中在單連體的應(yīng)力邊界問題中,如果兩個(gè)彈性體具有相同的邊界形狀如果兩個(gè)彈性體具有相同的邊界形狀, 并受到同并受到同樣分布的外力樣分布的外力, 那么那么,就不管這兩個(gè)彈性體的材料就不管這兩個(gè)彈性體的材料是否相同是否相同, 也它們是在平面應(yīng)力情況或是在平面也它們是在平面應(yīng)力情況或是在平面應(yīng)變情況下應(yīng)變情況下, 應(yīng)力分量的分布是相同的；應(yīng)力分量的分布是相同的； 但是，兩種平面問題中

31、的應(yīng)力分量，以及形變和但是，兩種平面問題中的應(yīng)力分量，以及形變和位移卻不一定相同。位移卻不一定相同。第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-7 3-7 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 3、常體力情況下的簡(jiǎn)化、常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)：應(yīng)力函數(shù)：0fyx0fyxyyxyxxyx00yxyxyxyxyx平衡方程是一個(gè)非齊次微分方程組，平衡方程是一個(gè)非齊次微分方程組，它的解答包括它的任意一個(gè)特解和它的解答包括它的任意一個(gè)特解和對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解。對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解。第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-7 3-7 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)

32、力求解平面問題 3、常體力情況下的簡(jiǎn)化、常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)：應(yīng)力函數(shù)：0fyx0fyxyyxyxxyx特解：特解： x=-fxx， y=-fyy， xy=0；或：或： x=0， y=0， xy= -fxy fyx；或或： x= -fxx fyy； y= -fxx fyy； xy=0；等等等等第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法書書P38錯(cuò)誤更正錯(cuò)誤更正!3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 3、常體力情況下的簡(jiǎn)化、常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)：應(yīng)力函數(shù)：求解齊次方程通解需要用到求解齊次方程通解需要用到“偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)具有相容性具有相容性”微分方程理

33、論：微分方程理論：00yxyxyxyxyx)xf(y)yf(x第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 3、常體力情況下的簡(jiǎn)化、常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)：應(yīng)力函數(shù)：通解：稱通解：稱 為平面問題的應(yīng)力函為平面問題的應(yīng)力函數(shù)，又稱艾里應(yīng)力函數(shù)。數(shù)，又稱艾里應(yīng)力函數(shù)。00yxyxyxyxyxyxxyxyyx22222,第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 3、常體力情況下的簡(jiǎn)化、常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)：應(yīng)力函數(shù)：代入相容方程，代入相容方程，得到：得

34、到：yxxyxyyx22222,00(020422442244422222222或應(yīng)力函數(shù)相容方程）yyxxyxyx第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法02222yxyx3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 conclusion：按應(yīng)力求解平面問題，可以按應(yīng)力求解平面問題，可以歸納為求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù)歸納為求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù) ，它必須滿足，它必須滿足相容方程，邊界條件；在多連體中，還必相容方程，邊界條件；在多連體中，還必須滿足位移單值條件。從上述條件求解出須滿足位移單值條件。從上述條件求解出應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) 后，便可依次求出應(yīng)力分量，后，便可依次求出應(yīng)力分量，

35、應(yīng)變分量和位移分量。應(yīng)變分量和位移分量。第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題4、逆解法與半逆解法、逆解法與半逆解法 多項(xiàng)式解答多項(xiàng)式解答 逆解法：先設(shè)定各種形式的、滿足相容方程的逆解法：先設(shè)定各種形式的、滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)，再由此求得應(yīng)力分量，然后根據(jù)邊界應(yīng)力函數(shù)，再由此求得應(yīng)力分量，然后根據(jù)邊界條件，看這些應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)于邊界上什么樣的面條件，看這些應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)于邊界上什么樣的面力，從而得知所選取應(yīng)力函數(shù)可以解決的問題。力，從而得知所選取應(yīng)力函數(shù)可以解決的問題。 討論：討論：.ay;cybxyax;cybxa322第

36、三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法yxxyxyyx22222,3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題4、逆解法與半逆解法、逆解法與半逆解法 多項(xiàng)式解答多項(xiàng)式解答 半逆解法：先針對(duì)所要求解的問題，根據(jù)彈性半逆解法：先針對(duì)所要求解的問題，根據(jù)彈性體的邊界形狀和受力情況，假設(shè)部分或全部應(yīng)力體的邊界形狀和受力情況，假設(shè)部分或全部應(yīng)力分量的函數(shù)形式；并推出應(yīng)力函數(shù)形式；然后代分量的函數(shù)形式；并推出應(yīng)力函數(shù)形式；然后代入相容方程，求出應(yīng)力函數(shù)的具體表達(dá)式；再求入相容方程，求出應(yīng)力函數(shù)的具體表達(dá)式；再求出應(yīng)力分量，并考察其是否滿足全部邊界條件。出應(yīng)力分量，并考察其是否滿足

37、全部邊界條件。直到所有條件全部滿足。直到所有條件全部滿足。第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法xyxyxyyyxxxyyxyXYyxXYxE12E1E13yuxvxvxu20fxy0fyx1）（）（）（、平面應(yīng)力物理方程：，、幾何方程：、平衡微分方程： ）（）（）（）（，、邊界條件：sflmsfml) s ( v) v() s ( u) u(4ySxyyxSxyxSSyxxyxyyx22222,艾里應(yīng)力函數(shù)艾里應(yīng)力函數(shù) 00024224422444或yyxx3-3

38、-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題5、矩形梁的純彎曲、矩形梁的純彎曲 設(shè)有矩形截面的長(zhǎng)梁（長(zhǎng)度設(shè)有矩形截面的長(zhǎng)梁（長(zhǎng)度L 遠(yuǎn)大于深度遠(yuǎn)大于深度h），），它它的寬度遠(yuǎn)小于深度和長(zhǎng)度（近似平面應(yīng)力問題）的寬度遠(yuǎn)小于深度和長(zhǎng)度（近似平面應(yīng)力問題）或者遠(yuǎn)大于深度和長(zhǎng)度（近似平面應(yīng)變問題），或者遠(yuǎn)大于深度和長(zhǎng)度（近似平面應(yīng)變問題），在兩端受相反的力偶而彎曲，體力可以不計(jì)。在兩端受相反的力偶而彎曲，體力可以不計(jì)。第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題5、矩形梁的純彎曲、矩形梁的純彎曲 解：采用逆解法。解：采用逆解法。 （1

39、）設(shè)定應(yīng)力函數(shù)：）設(shè)定應(yīng)力函數(shù)： =ay3； （2）求應(yīng)力分量：求應(yīng)力分量： x=6ay； y=0； xy= yx=0 （3）考察邊界條件，定系數(shù)：考察邊界條件，定系數(shù)： 上下邊界：上下邊界： （ y）y=h/2=0；（；（ xy） y=h/2 =0第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法）（）（）（）（，sflmsfmlsvvsuuySxyyxSxyxSS)()()()(3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題5、矩形梁的純彎曲、矩形梁的純彎曲 解：解：（3）考察邊界條件，定系數(shù)：考察邊界條件，定系數(shù)： 左右端邊界：左右端邊界： （ xy） x=0 =0； （

40、xy） x=l =0；第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法Mydydyhhlxxhhlxx22,022,0)(0)(Mdyyadyyahhhh22222606 x=6ay； y=0； xy= yx=03hM2a ）（）（）（）（，sflmsfmlsvvsuuySxyyxSxyxSS)()()()(3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題5、矩形梁的純彎曲、矩形梁的純彎曲 解：解：（4）求取應(yīng)力：求取應(yīng)力： 第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法 x=6ay=12My/h3=My/I； y=0； xy= yx=03hM2a 討論！討論！3-3

41、-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題5、矩形梁的純彎曲、矩形梁的純彎曲 解：解：（5）求取形變分量：求取形變分量： 將上述應(yīng)力分量代入物理方程，解之得形變將上述應(yīng)力分量代入物理方程，解之得形變分量：分量： 0,xyyxyEIMyEIM第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法xyxyxyyyxxE12E1E1）（）（）（yIMx3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題5、矩形梁的純彎曲、矩形梁的純彎曲 解：解：（6）求取位移分量：求取位移分量： 將上述形變分量代入幾何方程，得：將上述形變分量代入幾何方程，得： 最后根據(jù)邊界條件得：最后根據(jù)邊界條件得：0,y

42、uxvyEIMyvyEIMxu22)(2,)2(yEIMxxlEIMvylxEIMu第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法yuxvyvxuxyyx3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題6、簡(jiǎn)支梁受均布荷載、簡(jiǎn)支梁受均布荷載 設(shè)有矩形截面的簡(jiǎn)支梁，寬度為設(shè)有矩形截面的簡(jiǎn)支梁，寬度為1個(gè)單位，深度為個(gè)單位，深度為h，長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為2l，體力可以不計(jì)，受均布荷載體力可以不計(jì)，受均布荷載q，由由兩端的反力兩端的反力ql 維持平衡。維持平衡。第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題6、簡(jiǎn)支梁受均布荷載、簡(jiǎn)支梁受均布荷載 解：應(yīng)用半逆解法求解。解：應(yīng)用半逆解法求解。 （1）假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式：）假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式： y=f（y） （2）推求應(yīng)力函數(shù)形式：推求應(yīng)力函數(shù)形式：)()()(2)(21222yfyxfyfxyfx第三章第三章 彈性力學(xué)基本理論與方法彈性力學(xué)基本理論與方法3-3-5 5 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題6、簡(jiǎn)支梁