三角形教材分析9

1、 解三角形內(nèi)容分析及教學(xué)建議北京市立新學(xué)校北京市立新學(xué)校 朱朋朱朋提綱 整體思考 教學(xué)片段 經(jīng)典習(xí)題知知識(shí)識(shí)結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)近幾年北京高考試題情況：近幾年北京高考試題情況：年份年份2013理科題號(hào)理科題號(hào)15文科題號(hào)文科題號(hào)5說明說明文理差別較大文理差別較大20121111文理略不同文理略不同201199文理略不同文理略不同20101010文理題目題號(hào)都相同文理題目題號(hào)都相同200912后一空、后一空、15 13后一空后一空文理題目相同，題號(hào)不同文理題目相同，題號(hào)不同2008無無4理無，文有理無，文有20071112文理題目相同，題號(hào)不同文理題目相同，題號(hào)不同20061213文理題目略不同，題號(hào)不同文

2、理題目略不同，題號(hào)不同2005無無12理無，文有理無，文有把握考題題號(hào)位置和題目的難度，注意文理區(qū)別，題目相同時(shí)，文科填空設(shè)計(jì)臺(tái)階初、高中解三角形問題對(duì)比：初、高中解三角形問題對(duì)比：初中初中高中高中方式方式 構(gòu)造構(gòu)造直角三角形直角三角形直接計(jì)算直接計(jì)算范圍范圍特殊性特殊性一般性一般性工具工具內(nèi)角和內(nèi)角和勾股定理勾股定理銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)內(nèi)角和內(nèi)角和正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理任意角三角函數(shù)任意角三角函數(shù)方法方法幾何法幾何法代數(shù)法代數(shù)法解三角形解三角形正、余弦定理正、余弦定理主要問題主要問題程序化程序化交匯交匯長度長度角度角度面積面積整整體體定定位位兩個(gè)兩個(gè)銜接：銜接：三角形全等、

3、解直角三角形三角形全等、解直角三角形三個(gè)三個(gè)結(jié)合結(jié)合：三角函數(shù)、向量、解析法三角函數(shù)、向量、解析法四個(gè)滲透：四個(gè)滲透：一般與特殊化一般與特殊化思想、思想、分類討論分類討論思想、思想、 數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸轉(zhuǎn)化與化歸思想思想五個(gè)提升：五個(gè)提升：4. 研究對(duì)象從靜態(tài)圖形擴(kuò)展到動(dòng)態(tài)圖形；研究對(duì)象從靜態(tài)圖形擴(kuò)展到動(dòng)態(tài)圖形；2. 從幾何法到代數(shù)法；從幾何法到代數(shù)法；3. 從定性分析到定量分析從定性分析到定量分析 ； 1. 從特殊到一般；從特殊到一般； 5. 由解題到實(shí)操由解題到實(shí)操.余弦定理教學(xué)片斷 三角形三角形是最簡單的平面圖形，也是認(rèn)識(shí)是最簡單的平面圖形，也是認(rèn)識(shí)許多其他圖形的基礎(chǔ)

4、許多其他圖形的基礎(chǔ): :一角一個(gè)要素一邊兩角兩個(gè)要素 兩邊一角一邊SSSSASASAAAS三個(gè)要素實(shí)際是三角形全等的判定定理問題1：一般從哪些角度研究三角形問題？問題2：要確定一個(gè)三角形至少需要幾個(gè)要素？4,3,60 ,abCc引例：知求邊已3 333sin60,3cos6022ADCD52BDBCCD2213ABADBDABC,a bCc變式：在中，已及求邊知設(shè)計(jì)意圖：喚醒學(xué)生的記憶，為一般情形做鋪墊設(shè)計(jì)意圖：喚醒學(xué)生的記憶，為一般情形做鋪墊ABCD,ABCa bCcC在中，已知及，求邊 的長(為了方便起見，假設(shè).為最大的角)ABC,a bCc變式：在中，已及求邊知方法1：1C（） 為直角2

5、22cabC（2） 為鈍角222sinC- cos)cab aC（） （2222coscababCABCDabcABCabcC（3） 為銳角222sinC- cos)cab aC（） （ABCDabcA 為銳角A 不是銳角ABCDabc222sinC- cos)cba bC（） （設(shè)計(jì)意圖1. 符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想：化斜為直；2. 凸顯勾股定理是余弦定理的特殊情況；3. 分類討論，訓(xùn)練學(xué)生思維的邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性.ABC,a bCc變：在中，已知求邊及方法2(解析法）( cos, sin)aC aC,0b222-cos0- sin)cbCaC（） （根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式2222cosc

6、ababC設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖意圖1. 1. 溝通溝通了三角函數(shù)與三角形的聯(lián)系，數(shù)與形完美統(tǒng)一；了三角函數(shù)與三角形的聯(lián)系，數(shù)與形完美統(tǒng)一；2. 2. 從從定性分析提升到定量計(jì)算；定性分析提升到定量計(jì)算；3. 3. 用用代數(shù)方法研究幾何問題的典范，解析法的初步代數(shù)方法研究幾何問題的典范，解析法的初步嘗試嘗試. .問學(xué)生思考能否避免討論？問學(xué)生思考能否避免討論？ABCabcyx思考：解析法是如何避免討論的？思考：解析法是如何避免討論的？ABC,a bCc變：在中，已知求邊及方法3(向量法）設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)意圖1. 1. 體現(xiàn)了向量的工具性作用；體現(xiàn)了向量的工具性作用；2 2. . 揭示揭示了三角形、三角函數(shù)、

7、向量的內(nèi)在了三角形、三角函數(shù)、向量的內(nèi)在統(tǒng)一性統(tǒng)一性. .2222|()cABABCBCA 222CBCB CACA 222cosababC 向量有兩個(gè)要素：一個(gè)是方向（角度），一個(gè)是向量有兩個(gè)要素：一個(gè)是方向（角度），一個(gè)是模的大?。撮L度），而三角形的邊角關(guān)系恰好涉及模的大小（即長度），而三角形的邊角關(guān)系恰好涉及三角形的內(nèi)角及邊長兩個(gè)量，能否用向量證明？三角形的內(nèi)角及邊長兩個(gè)量，能否用向量證明？ABCabc三角形的內(nèi)角可以看成兩個(gè)向量的夾角，邊長可以三角形的內(nèi)角可以看成兩個(gè)向量的夾角，邊長可以看成向量的模看成向量的模. .(2011(2011陜西高考）陜西高考）敘述并證明余弦定理敘述并證明

8、余弦定理1 1、三角形問題數(shù)與形緊密結(jié)合，解析法與向量法只是、三角形問題數(shù)與形緊密結(jié)合，解析法與向量法只是從不同的角度實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合從不同的角度實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合; ;2 2、處理解三角形問題時(shí)，多畫圖，解題后思考一下、處理解三角形問題時(shí)，多畫圖，解題后思考一下數(shù)據(jù)背后的幾何背景；數(shù)據(jù)背后的幾何背景；3 3、不要就題論題，而是要將習(xí)題承載的數(shù)學(xué)思想、不要就題論題，而是要將習(xí)題承載的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法形成數(shù)學(xué)方法形成高位高位理解理解, ,可以遷移到其它背景之中可以遷移到其它背景之中. .余弦定理：余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的

9、余兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的弦的積的兩倍兩倍.2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC延伸：延伸：bcacbA2cos222222cos2cabBca222cos2abcCab222Cabc為直角222Cabc為銳角222Cabc為鈍角SSSSAS題型SSS（）SAS（）abc3(6,5), ( 2,8)(4,1)0.1ABCABCA例 、如圖，的頂點(diǎn)為和，求 （精確到）.2( 8,3),( 2, 4)2cos|36584.0ABACAB ACAABACA 法 ：( 1,0), (4,0) (0, )(1)(2)3.ABCABCcAC

10、BCccACB 已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，若，求 的值；若，求的余弦值正弦定理教學(xué)片斷,sinacA,sinbcBsinsinsinabcABCABCDbacABCabc直角三角形銳角三角形鈍角三角形ABCDsinsinbAaBsinsinabAB同理sinsinacAC兩條思維主線1、特殊到一般2、化斜為直sin,CDbAsinCDaB問題1：在銳角三角形中，上述結(jié)論成立嗎？問題2：在鈍角三角形中，上述結(jié)論成立嗎？111sinsinsin222abCbcAcaB由方法2：(面積法)換個(gè)視角可得到三角形的面積公式：1sin,2SabC1sin ,2SbcA1sin2SacBABCabcABCD

11、ABCDbacsinsinsinabcABC得：sinsinsinabckABC設(shè) 上述結(jié)論說明三角形任意一邊與對(duì)角的正弦之比為同一個(gè)常數(shù).反過來常數(shù)k由三角形一個(gè)內(nèi)角及其對(duì)邊即可確定. 但滿足一個(gè)角及其對(duì)邊相等的三角形有無數(shù)多個(gè)，這無數(shù)個(gè)三角形有什么特殊關(guān)系？這個(gè)常數(shù)k具有什么特殊含義？=sinckC比如：ABCCsinsinsinabckABC設(shè) 上述結(jié)論說明三角形任意一邊與對(duì)角的正弦之比為同一個(gè)常數(shù).反過來常數(shù)k由三角形一個(gè)內(nèi)角及其對(duì)邊即可確定.=sinckC比如：ABCC探求過程：特殊探求過程：特殊-一般一般-特殊特殊2sinsincckRCC上述求上述求k k的過程實(shí)際上提供了一種新

12、的證明方法的過程實(shí)際上提供了一種新的證明方法方法3：幾何法(設(shè)ABC為銳角三角形,鈍角三角形用類似的方法討論)：ABCODabc2 sincRC上述求上述求k k的過程實(shí)際上提供了一種新的證明方法的過程實(shí)際上提供了一種新的證明方法方法3：幾何法(設(shè)ABC為銳角三角形,鈍角三角形用類似的方法討論)：ABCODabc2 sincRCABCODabc2 sinbRB上述求上述求k k的過程實(shí)際上提供了一種新的證明方法的過程實(shí)際上提供了一種新的證明方法方法3：幾何法(設(shè)ABC為銳角三角形,鈍角三角形用類似的方法討論)：ABCODabc2 sincRCABCODabc2 sinbRBABCOabcD2

13、sinaRA方法4:(向量法)建議不講1. 不容易想到；2. 證法比較繁瑣.2sinsinsinabcRABC2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC例：判斷下列三角形是否有解，如果有做出解答(1)7,8,105 ;(2)10,5 6,60 ;(3)2 3,6,30abAbcCabA策略一：運(yùn)用正弦定理策略一：運(yùn)用正弦定理難點(diǎn)：如何判斷解的個(gè)數(shù)？難點(diǎn)：如何判斷解的個(gè)數(shù)？題型：已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，解三角形. 策略二：運(yùn)用余弦定理策略二：運(yùn)用余弦定理質(zhì)疑：是否會(huì)產(chǎn)生增根或丟根？質(zhì)疑：是否會(huì)產(chǎn)生增根或丟根？具體實(shí)施：學(xué)生板演具體實(shí)施：學(xué)生板演小組討論小組討論糾錯(cuò)糾錯(cuò)總結(jié)總結(jié)策略

14、一：運(yùn)用正弦定理；策略一：運(yùn)用正弦定理；難點(diǎn)：如何判斷解的個(gè)數(shù)？難點(diǎn)：如何判斷解的個(gè)數(shù)？1.直接解答，然后檢驗(yàn)解的合理性；2.畫圖，預(yù)判解的個(gè)數(shù)；策略一：運(yùn)用正弦定理；策略一：運(yùn)用正弦定理；難點(diǎn)：如何判斷解的個(gè)數(shù)？難點(diǎn)：如何判斷解的個(gè)數(shù)？1.直接解答，然后檢驗(yàn)解的合理性； 3.利用“大邊對(duì)大角”，預(yù)判解的個(gè)數(shù).2.畫圖，預(yù)判解的個(gè)數(shù)；,ABCa bA在中，已知和 時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式解個(gè)數(shù)一二一一sinabAsinbA a b abab(1)7,8,105 ;abA1(78sin105sin8sinsin1051.17BB方法 直接解）據(jù)正弦定理，無解baBA方法

15、2（大邊對(duì)大角），不可能A1058b 7a C方法3（畫圖分析）21sin0.382,58 (21BBB舍）(3)2 3,6,30abA策略一：運(yùn)用正弦定理策略一：運(yùn)用正弦定理2 36sin30sin3sin2601206090 ,4 312030 ,2 3BBBBCcBCc根據(jù)正弦定理或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí),策略二：運(yùn)用余弦定理策略二：運(yùn)用余弦定理2222 3 =626cos304 32 34 360902 312030cccccBCcBC 根據(jù)余弦定理（）解得，或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí),，思考思考：運(yùn)用余弦定理，是否會(huì)產(chǎn)生增根或丟根呢？：運(yùn)用余弦定理，是否會(huì)產(chǎn)生增根或丟根呢？ABC2 3,6,30BabA變式：

16、已知中，求角 用余弦定理 得到的一元二次方程的正根的個(gè)數(shù)就是三角形解的個(gè)數(shù)：.cos2),(, 222解的個(gè)數(shù)問題解的個(gè)數(shù)問題確定三角形個(gè)數(shù)問題確定三角形個(gè)數(shù)問題為銳角為銳角設(shè)設(shè)由由AbxxbaAxcbAa , 0 )cos2(222 abxAbxAbxxbacos2222 ),sin (4222Aba ,*,sin0）有有兩兩個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根方方程程（Aba 個(gè)個(gè)；兩兩根根異異號(hào)號(hào)，三三角角形形有有一一若若, ba 角角形形有有一一個(gè)個(gè)；只只有有一一正正根根一一零零根根，三三若若, ba ACbba BaACbba Ba兩兩個(gè)個(gè)；兩兩根根均均為為正正，三三角角形形有有若若,sinbaAb ACb

17、Absinaa.cos2),(, 222解的個(gè)數(shù)問題解的個(gè)數(shù)問題確定三角形個(gè)數(shù)問題確定三角形個(gè)數(shù)問題為銳角為銳角設(shè)設(shè)由由AbxxbaAxcbAa , 0 )cos2(222 abxAbxAbxxbacos2222 ),sin (4222Aba ., 0cos*,sin0三角形有一個(gè)三角形有一個(gè)）有兩個(gè)相等實(shí)根）有兩個(gè)相等實(shí)根方程（方程（ AbxAba ACbBacx .*,sin0三角形不存在三角形不存在）沒有實(shí)根）沒有實(shí)根方程（方程（Aba ACbacx 用余弦定理 得到的一元二次方程的根的個(gè)數(shù)就是三角形解的個(gè)數(shù)：26()924 2 2 6335cIcIc 錯(cuò)解：據(jù)余弦定或理解得 3c 為增

18、根120133,2 6,2.cos( ).ABCabBAAc 、（北京理）在中,()求的值； 求 的值3,2 6,232 6sinsin22sincos2 66cos.sin33abBAABCAAAAAA 解：()因?yàn)樗栽谥?，由正弦定理得所以，故錯(cuò)因何在？錯(cuò)因何在？63cos,sin332 2,sinsinsin370140AAabBABBB另法：（符合大由得或邊對(duì)大角）32 62 23CD 2 6b CAD1B2B2BA sinsin2BA？2226cos,35327075(2 6)32 2 6 3cos75AABACc 近似計(jì)算：269242 2 633 3 5 5 ccccc 修正1：

19、據(jù)余弦定理解得或經(jīng)檢驗(yàn)不合題意222212 ,cos2cos132 6 (32 3cos35) 5BABAccBccc 修正2：據(jù)余弦定理或解得想一想：修正想一想：修正2 2為什么不會(huì)產(chǎn)生增根？為什么不會(huì)產(chǎn)生增根？222212 ,cos2cos1332 2sin,sin33coscos()cos()6coscossi ()nsin932 62 3 2 6cos255BABAABCABABABABcCc 修正3：據(jù)余弦定理標(biāo)準(zhǔn)答案標(biāo)準(zhǔn)答案22263( )cos,sin1 cos.3312,cos2cos1.32 2sin1 cos.35 3sinsin()sincoscossin.9sin5.s

20、inAAABABABBABCCABABABaCcA 由知所以又因?yàn)樗栽谥?所以思考：以上四種解法哪個(gè)解法最簡潔？思考：以上四種解法哪個(gè)解法最簡潔？評(píng)注：此題評(píng)注：此題“看似平常，有點(diǎn)味道！看似平常，有點(diǎn)味道！”題后反思：題后反思：4. 養(yǎng)成養(yǎng)成“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合”好習(xí)慣好習(xí)慣 2. 要加強(qiáng)對(duì)題目條件的分析；要加強(qiáng)對(duì)題目條件的分析；3.“數(shù)數(shù)”應(yīng)該反應(yīng)出應(yīng)該反應(yīng)出“形形” ； 1. 死記硬背有問題；死記硬背有問題；ABC21330A :1:42, :1: 39 ABCA BPa bABC、（課本習(xí)題）在中，已知，求的三個(gè)內(nèi)角22013, , , ,2 ,1,3,ABCA B Ca b cBA

21、abc、（山東文）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為若則（ ）A.2 3.2B.1D. 2C32012, , , ,5 ,2 ,ABCA B Ca b cbc CBC、（天津理）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是已知8則cos（ ）7A. 257B. 257C. 2524D. 2513sinsin2AA3cos2A2cos2cos1CB30 ,60 ,90ABC反思反思：要加強(qiáng)課本習(xí)題的挖掘：要加強(qiáng)課本習(xí)題的挖掘例題對(duì)應(yīng)的練習(xí)：6,6 3,120 ,.ABCbaAB1、在中，求角24,30 ,.ABCbAaB2、在中，當(dāng) 為下列各值時(shí)，求角(1)12a (3)8 3a (2)8a (4)12( 62)a 解三角形問題梳

22、理解三角形問題梳理SSSSASASS三邊（）解三角形 兩角一邊兩邊一角余弦定理正弦定理余弦定理均可 例例2. 如圖在如圖在ABC中，中，A的平分線的平分線AD與邊與邊BC相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)D，求證：，求證：BDABDCAC180 DABC證明：在證明：在ABD和和CAD中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得sinsinBDABsinsin(180)DCACBDABDCACDABC 例例2. 如圖在如圖在ABC中，中，A的平分線的平分線AD與邊與邊BC相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)D，求證：，求證：BDABDCAC證明：在證明：在ABD和和CAD中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得sinsinBDABsinsin

23、(180)DCACBDABDCACDABCEABDECDBDABDCEC,BDABACECDCAC又定量分析定量分析定性分析定性分析, , ,(2)coscos .12,1,.6ABCA B Ca b cacBbCBDBCCADCDc在中，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且（）求角 的大小；（ ）若點(diǎn) 為邊的中點(diǎn)，求 的值DABC60c30111sin30sinADACDC在中，1sin(90)sin60ADABDC在中，3sin22C090 ,3060CC或30=1Cc當(dāng)時(shí)，；60=2.Cc當(dāng)時(shí)，60B 應(yīng)用舉例教學(xué)片斷實(shí)際問題應(yīng)用模型實(shí)際問題應(yīng)用模型 “解三角形應(yīng)用解三角形應(yīng)用”解題解題流程：流程：1.

24、 實(shí)際實(shí)際問題數(shù)學(xué)化；問題數(shù)學(xué)化；2. 利用利用現(xiàn)有儀器設(shè)計(jì)解現(xiàn)有儀器設(shè)計(jì)解決方案；決方案；3. 實(shí)際實(shí)際數(shù)據(jù)測(cè)量；數(shù)據(jù)測(cè)量；4.數(shù)據(jù)處理計(jì)算數(shù)據(jù)處理計(jì)算.ABCDABCC B DD 先不先不考慮測(cè)角儀的高度考慮測(cè)角儀的高度ABCC B DD ABCDBCD 分析限制條件：2.可用儀器：測(cè)角儀，皮尺。1.地形限制：底部不可到達(dá)；常見測(cè)量模型例例4、AP1Q2Q1(120300sin15sin20120sinsin159.9QxAx方法 解三角形）據(jù)正弦定理由，得Q139.7 或Q40.3 （舍）代入，得222()( 150,150 3)10 2QP10 25( 150 10 2 )(150 3

25、10 2 )1209.9119.06Axtyttt 方法2 解析法直線的參數(shù)方程為解得APQxy東北45601530012020 x 練習(xí)題P14 練習(xí)A 1,2,3P20 6俯角、仰角、方位角經(jīng)典習(xí)題（一）重視基礎(chǔ)題目的落實(shí)（一）重視基礎(chǔ)題目的落實(shí)（二）（二）選擇適當(dāng)?shù)倪x擇適當(dāng)?shù)倪吔寝D(zhuǎn)化邊角轉(zhuǎn)化策略策略（2）在ABC中，若acosAbcosB， 試判斷三角形的形狀.（課本P6習(xí)題）例2 （1）在ABC中，若bcosAacosB，試判斷三角形的形狀.coscossin2s222218in9002aAbBAABABBABCABC或解法一（邊化角）或?yàn)榈妊切位蛑苯侨切?222222222222222222222coscos22()()()()0aAbBbcaacbabbcaca bcab acbababcababcABC 解法二（角化邊）展開整理，可得或?yàn)榈妊切位蛑苯侨切?22sinsinsin316ABCABCP例 、（）（課本習(xí)題改編）在中