2018年高考立體幾何復習題型歸納

1、2018高考復習立體幾何最新題型總結（文數(shù)）題型一：空間幾何體的結構、三視圖、旋轉體、斜二測法了解柱、錐、臺、球體及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中的簡單物體的結構。能畫出簡單空間幾何體的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖。能用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間幾何體的三視圖與直觀圖。了解空間幾何體的不同表示形式。會畫某建筑物的視圖與直觀圖。例1.將正三棱柱截去三個角（如圖1所示分別是三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側視圖（或稱左視圖）為（ ）EFDIAHGBCEFDABC側視圖1圖2BEABEBBECBE

2、D俯視圖例2.由大小相同的正方體木塊堆成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中正方體木塊的個數(shù)是 正視圖 左視圖例3.已知一個正四面體的俯視圖如圖所示，其中四邊形ABCD是邊長為2的正方形，則該正四面體的內切球的表面積為（）A6B54C12D48例4：如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積為( )ABC D 主視圖 左視圖 俯視圖例5：四棱錐的頂點P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三視圖如圖，則四棱錐的表面積為( ) A. B. C. D. 例6：三棱柱ABCA1B1C1的體積為V，P、Q分別為AA1、CC1上的點，且滿足AP=C1Q，則四棱錐BAPQC的體積是_例7：

3、如圖，斜三棱柱ABC中，底面是邊長為a的正三角形，側棱長為 b，側棱AA與底面相鄰兩邊AB、AC都成450角，求此三棱柱的側面積和體積例8：如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)（單位：cm），可知幾何體的體積是_ 22主視圖22側視圖211俯視圖真題：【2017年北京卷第6題】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（A）60 （B）30 （C）20 （D）10【2017年山東卷第13題】由一個長方體和兩個圓柱構成的幾何體的三視圖如右圖,則該幾何體的體積為 .【2017年浙江卷第3題】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：）是A. B. C. D. 【2017

4、年新課標II第6題】如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為A.90 B.63 C.42 D.36 1、 （2016年山東高考）一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為（A） （B） （C） （D）【答案】D3、（2016年天津高考）將一個長方形沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側（左）視圖為（ ） 【答案】B4、（2016年全國I卷高考）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它

5、的表面積是（A）17 （B）18 （C）20 （D）28 【答案】A6、（2016年全國II卷高考）如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（ ）（A）20 （B）24 （C）28 （D）32【答案】C7、（2016年全國III卷高考）如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（A） （B） （C）90 （D）81【答案】B1、（2016年北京高考）某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為_.【答案】2、（2016年四川高考）已知某三菱錐的三視圖如圖所示，則該三菱錐的體積 。【答案】3、（2016年浙江高考）某幾何體的三視

6、圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是_cm2,體積是_cm3.斜二測法：例9：一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底角為，腰和上底邊均為1的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是（ ） A B C D 例10：對于一個底邊在軸上的三角形，采用斜二測畫法作出其直觀圖，其直觀圖面積是原三角形面積的（ ）A 倍 B倍 C倍 D倍例11：如圖，已知四邊形ABCD的直觀圖是直角梯形A1B1C1D1，且A1B1B1C12A1D12，則四邊形ABCD的面積為( )A3 B3 C6 D6例12：用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形為如下圖的一個正方形，則原來圖形的形狀是（）旋轉體：例13：下列幾何體

7、是旋轉體的是（ ） A B C D例14：如圖，在四邊形中，求四邊形繞AD旋轉一周所成幾何體的表面積及體積.真題：【2015高考山東，文9】已知等腰直角三角形的直角邊的長為,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( )（A） （B） （C）2 （D）4 題型二：定義考察類題型 例15：已知直線、,平面，則下列命題中假命題是( )A若，,則 B若，,則C若，,則 D若，,則例16：給定下列四個命題：若一條直線與一個平面平行，那么過這條直線的平面與這個面相較，則這線平行于交線若一條直線與一個平面垂直，那么這條直線垂直于這個平面內的任一直線若兩個平面平行，那么分別在這

8、兩個平面內的兩條直線平行若兩個平面垂直，那么分別在這兩個平面內的兩直線垂直其中，為真命題的是( ) A和 B和 C和 D和例17：已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（ ）A若，m,則mBC D例18：已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，有下列命題： 若，則； 若，則； 若，則； 若，則； 其中真命題的個數(shù)是（ ） A1個 B2個 C3個 D4個例19：如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結論中不正確的是（ ）A、ACSB B、AB平面SCDC、SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D、AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角例20

9、：已知為不同的平面，A、B、M、N為不同的點，為直線，下列推理錯誤的是（）A. B.C. D.且A、B、M不共線重合 真題：【2016年浙江高考】已知互相垂直的平面 交于直線l.若直線m，n滿足m，n，則（ ）A.mlB.mnC.nlD.mn【答案】C【2015高考浙江，文4】設，是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，且，（ ）A若，則 B若，則C若，則 D若，則【2015高考廣東，文6】若直線和是異面直線，在平面內，在平面內，是平面與平面的交線，則下列命題正確的是（ ）A至少與，中的一條相交 B與，都相交C至多與，中的一條相交 D與，都不相交【2015高考湖北，文5】表示空間中的兩條直線，若p

10、：是異面直線；q：不相交，則（ ）Ap是q的充分條件，但不是q的必要條件 Bp是q的必要條件，但不是q的充分條件Cp是q的充分必要條件 Dp既不是q的充分條件，也不是q的必要條件題型三：直線與平面、平面與平面平行的判定與性質證明平行的方法：線線平行：相似，全等；平行線判斷定理（內錯角相等，同旁內角互補等），（高中階段一般不考，只作為轉化的一個橋梁）。線面平行：（1）根據(jù)定理證明（）；（2）通過面面平行的性質定理（）FABCPDE面面平行：（1）平面中分別有兩條相交線與平面的兩條相交線平行 （2）平面的法向量與平面的法向量平行例21：如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側面，且，若、分別為、

11、的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面 平面.例22：如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點，求證：MN平面A1BD.BCAA1B1C1DE例23：如圖，直棱柱中，D，E分別是AB，的中點，=AC=CB=AB。（）證明：/（）求A到面ACD的距離例24：如圖所示，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，ABC=, OA底面ABCD,OA=2,M為OA的中點，N為BC的中點（）證明：直線MN平面OCD；（）求異面直線AB與MD所成角的大小； （）求點B到平面OCD的距離。例25：如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點，分別在對角線，

12、上，且，求證：平面例26：如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分別是C1C、B1C1、C1D1的中點，求證：平面MNP平面A1BD.例27：已知四棱錐P-ABCD中, 底面ABCD為平行四邊形. 點M、N、Q分別在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD. 求證：平面MNQ平面PBC. NMPDCQBA題型四：線與面、面與面的垂直的證明方法三垂線定理：如果在平面內的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，則它也和這條直線垂直。三垂線逆定理：如果：如果在平面內的一條直線與平面的一條斜線垂直，則它也和這條直線在這個平面內的射影垂直。例28：直三棱柱ABC-

13、A1B1C1中，E是A1C的中點，且交AC于D， DEA1CBAC1B1（I）證明：平面；（II）證明：平面例29：如圖所示，已知四棱錐的底面是菱形；平面,，點為的中點（）求證：平面；（）求證面例30：如圖，在棱長為的正方體中，分別FGEDCABA1B1D1C1··是 的中點。（1）求證：平面平面；（2）求證：平面例31：如圖，在三棱柱中，側面，均為正方形，,點是棱的中點.ABCC1B1A1D（）求證：平面；（）求證：平面；例32：如圖所示，四棱錐PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點。(1)求證：BM平面PAD；

14、(2)在側面PAD內找一點N，使MN平面PBD；(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦。例33：在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，,分別為、的中點，且 （）求證：平面; （）求三棱錐例34：如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC，點D是AB的中點。（1）求證：（2）求證：平面平面例35：如圖所示，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，將矩形沿對角線BD把ABD折起，使A移到點，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上（）求證：；（）求證：平面平面；（）求三棱錐的體積 真題：【2016年上海高考】如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為BC、BB1的中點，則下列直線

15、中與直線EF相交的是（ ）(A)直線AA1 (B)直線A1B1 (C)直線A1D1 (D)直線B1C1【2017年新課標I卷第6題】如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直接AB與平面MNQ不平行的是（ ）【2017年新課標III卷第10題】在正方體中，E為棱CD的中點，則ABCD【2015高考山東，文18】 如圖，三棱臺中，分別為的中點.（I）求證：平面；（II）若求證：平面平面. 題型五：空間中的夾角知識點：夾角的分類：線線夾角、線面夾角、面面夾角三者在計算或證明時的轉換關系：面面 線面 線線計算三種夾角的方法：勾股定理、向量、坐

16、標等，對于夾角問題我們一般分為三個步驟：找角，證明所找的角，計算所找角的大小（切記不可找出來之后不證明就開始計算）異面直線的夾角問題：例36：在四棱錐PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，與底面成30°（1）若為垂足，求證：；（2）在（1）的條件下，求異面直線AE與CD所成角的正切值；例37：如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別是AB、PC的中點（1）求證：MN/平面PAD；（2）若，求異面直線PA與MN所成的角的大小例38：如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且MD=NB=1，E為BC的中點，求異面直線NE與AM所成角的余弦值例39：如圖，在正方體中，、

17、分別是、的中點，則異面直線與所成的角的大小是_。例40：已知正四面體中，各邊長均為，如圖所示，分別為的中點，連接，求異面直線所成角的余弦值。例41：已知S是正三角形ABC所在平面外的一點，如圖SASBSC，且ASBBSCCSA，M、N分別是AB和SC的中點求異面直線SM與BN所成的角的余弦值BMANCS例42：已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為（ ）（A） （B） （C） (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例43：如圖,在正方體中，分別是的中點。（1）若為的中點，證明：平面平面 （2）求異面直線與所成的角來源:Z+xx+k.C

18、om例44：如圖，四面體ABCD中，ABBC，ABBD，BCCD，且ABBC6，BD8，E是AD中點，求BE與CD所成角的余弦值。 線面夾角（了解）：例45：如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，AC=2，PA=AD=2，E是PC上的一點， 設二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小。 例46：如圖，直三棱柱中，,D、E分別是，的中點,平面.（1）證明：AB=AC（2）設二面角A-BD-C為，求與平面BCD所成的角的大小 真題：【2016年全國I卷高考】如平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，,，則m，n所成角的正弦值為（A）（B

19、）（C）（D）【2015高考浙江，文18】如圖，在三棱錐中，在底面ABC的射影為BC的中點，D為的中點.（1）證明：； （2）求直線和平面所成的角的正弦值.【2014高考，文18】如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，是上的一點，。（）證明：平面；（）設二面角為，求與平面所成角的大小。【2015高考湖南，文18】（本小題滿分12分）如圖4，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點。（I）證明：平面平面；（II）若直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積。題型六：距離問題：點線距離（定義法、等體積法、向量法、空間坐標法）；線面距離；面面距離。例47：已知正四棱柱的地面邊長為1，則棱場為2，點E為

20、的中點，求點到平面BDE的距離。例48：已知正四棱柱中 ，為的中點，則直線與平面的距離為（ ） A. B. C. D.例49：在中,AB=15，若所在平面外一點P到A、B、C的距離都是14，則P到的距離是（ ） A.13 B.11 C.9 D.7例50：如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，, , ,為的中點，為的中點（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大?。?（）求點B到平面OCD的距離。例51：為平面，AB=5,A,B在棱l上的射影分別為A，B，AA3，BB2.若二面角的大小為，求，點B到平面的距離為_ 例52：P為矩形ABCD所在平面外一點，且PA平面ABCD，P到B，C，

21、D三點的距離分別是，則P到A點的距離是（ ） A.1 B.2 C. D.4例53：如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，, , ,為的中點，為的中點（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大小；（）求點B到平面OCD的距離例54：如圖,直四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AB/CD,ADAB,AB=2,AD=,AA1=3,E為CD上一點,DE=1,EC=3(1)證明:BE平面BB1C1C;(2)求點B1 到平面EA1C1 的距離例55：如圖，已知多面體ABCDEFG中，AB、AC、AD兩兩互相垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1

22、。（1）試判斷CF是否與平面ABED平行？并說明理由；（2）求多面體ABCDEFG的體積。例56：如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，（I）求證：平面BCD；（II）求點E到平面ACD的距離。例57：如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。(1) 求證：PCBC；(2) 求點A到平面PBC的距離。題型七：求體積問題例58：如圖，為多面體，平面與平面垂直，點在線段上，OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形。（）證明直線；（）求棱錐的體積.例59：如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側棱垂直底面，ACB=90&#

23、176;，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點()證明：平面BDC1平面BDC（）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.CBADC1A1真題：【2017年新課標I卷第18題】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB/CD，且（1）證明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC,且四棱錐P-ABCD的體積為，求該四棱錐的側面積.【2017年新課標II第18題】如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD, BAD=ABC=90°。（1） 證明：直線BC平面PAD;（2） 若PAD面積為2，求四棱錐P-ABCD的體積。 【2

24、017年新課標III卷第19題】如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD（1）證明：ACBD；（2）已知ACD是直角三角形，AB=BD若E為棱BD上與D不重合的點，且AEEC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比【2016年全國I卷高考】如圖，已知正三棱錐P-ABC的側面是直角三角形，PA=6，頂點P在平面ABC內的正投影為點D，D在平面PAB內的正投影為點E，連結PE并延長交AB于點G.（I）證明：G是AB的中點；（II）在圖中作出點E在平面PAC內的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積【2016年全國II卷高考】如圖，菱形的對角線與交于點，點、分別在，上，交

25、于點，將沿折到的位置.（）證明：；（）若,求五棱錐體積.【2016年全國III卷高考】如圖，四棱錐中，平面，為線段上一點，為的中點（I）證明平面；（II）求四面體的體積.【2015高考新課標1，文18】（本小題滿分12分）如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點，（I）證明：平面平面；（II）若， 三棱錐的體積為，求該三棱錐的側面積.【2015高考北京，文18】（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，分別為，的中點（I）求證：平面；（II）求證：平面平面；（III）求三棱錐的體積【2015高考重慶，文20】如題（20）圖，三棱錐P-ABC中，平面PAC平面ABC，

26、ABC=，點D、E在線段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，點F在線段AB上，且EF/BC.()證明：AB平面PFE. ()若四棱錐P-DFBC的體積為7，求線段BC的長.題型八：翻折與展開問題及探索問題例60：如圖所示，等腰的底邊，高，點是線段上異于點的動點，點在邊上，且，現(xiàn)沿將折起到的位置，使，記，表示四棱錐的體積PEDFBCA（1）求的表達式；（2）當為何值時，取得最大值？（3）當取得最大值時，求異面直線與所成角的余弦值例61：在直角梯形中（圖中數(shù)字表示線段的長度），將直角梯形沿折起，使平面平面，連結部分線段后圍成一個空間幾何體， （）求證：平面；（）求三棱錐的體積例62：正

27、方形ABCD的邊長為1，分別取邊BC、CD的中點E、F，連接AE、EF、AF.以AE、EF、FA為折痕，折疊這個正方形，使點B、C、D重合于一點P，得到一個四面體，如圖(2)所示(1)求證：APEF；(2)求證：平面APE平面APF.例63：如圖4,在邊長為1的等邊三角形中,分別是邊上的點,是的中點,與交于點,將沿折起,得到如圖5所示的三棱錐,其中.(1) 證明:/平面; (2) 證明:平面;(3) 當時,求三棱錐的體積. 例68：如圖甲，在直角梯形中，是的中點. 現(xiàn) 沿把平面折起，使得（如圖乙所示），、分別為、邊的中點.（1）求證：平面；圖甲圖乙（2）求證：平面平面；（3）試探究在上是否存在

28、一點，使得平面,并說明理由. 真題：【2015高考陜西，文18】如圖1，在直角梯形中，是的中點，是與的交點，將沿折起到圖2中的位置，得到四棱錐.(I)證明：平面；(II)當平面平面時，四棱錐的體積為，求的值.【2014高考，文19】如圖所示：邊長為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED/AF且DAF=90°。（1） 求BD和面BEF所成的角的余弦；（2）線段EF上是否存在點P使過P、A、C三點的平面和直線DB垂直，若存在，求EP與PF的比值；若不存在，說明理由?！?015高考安徽，文19】如圖，三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，.（）求三棱錐P

29、-ABC的體積；（）證明：在線段PC上存在點M，使得ACBM，并求的值.【2015高考福建，文20】如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，垂直于圓所在的平面，且（）若為線段的中點，求證平面；（）求三棱錐體積的最大值；（）若，點在線段上，求的最小值題型九：球類問題專項練習一：外接球的有關問題棱錐的內切、外接球問題例69：正四面體的外接球和內切球的半徑是多少？ 例70：設棱錐的底面是正方形，且，如果的面積為1，試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.例71：一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為1,2,3，則此球的表面積為_例72：已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為

30、16，則這個球的表面積為（ ）A. B. C. D. 例73：一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個球的體積為_例74：正四棱錐的底面邊長和各側棱長都為，點都在同一球面上，則此球的體積為_.例75：表面積為 的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為 A B C D二：球類的截面問題例76：球面上有三點、組成這個球的一個截面的內接三角形三個頂點，其中，、，球心到這個截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積例77：過球表面上一點引三條長度相等的弦、，且兩兩夾角都為，若球半徑為，求弦的長度例78：已知球的面

31、上四點A、B、C、D，則球的體積等于_.例79：已知點A、B、C、D在同一個球面上，若，則球的體積是_.例80：球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的，經過3個點的小圓的周長為，求這個球的半徑例81：一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（ ）A B C D 例82：直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于 例83：正三棱柱內接于半徑為的球，若兩點的球面距離為，則正三棱柱的體積為 例84：用兩個平行平面去截半徑為的球面，兩個截面圓的半徑為，兩截面間的距離為，求球的表面積三：球面距離例85： 過球面上兩點作球的大圓，可能的個數(shù)是（）A有且只有一個 B一個或無窮多個 C無數(shù)個 D以上均不正確例86：已知、是半徑為的球的球面上兩點，它們的球面距離為，求過、的平面中，與球心的最大距離是多少？例87：在球心同側有相距的兩個平行截面，它們的面積分別為和求球的表面積例88：如圖球O的半徑為2，圓是一小圓，A