新意不斷亮點頻現(xiàn)高考數(shù)學函數(shù)題解析

1、.新意不斷 亮點頻現(xiàn)-2007年高考函數(shù)題賞析許曉進 共青團安溪縣委員會 362400“以能力立意”是新高考數(shù)學命題的指導思想高考在考查數(shù)學基礎知識的同時，注重數(shù)學學科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性，不刻意追求知識的覆蓋面從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網(wǎng)絡的“交匯點”處設計試題，是2007年高考數(shù)學命題的一大亮點，而函數(shù)作為高中數(shù)學的核心內(nèi)容，許多知識都可與其建立聯(lián)系，從而圍繞這根紅線設計出了一大批內(nèi)涵豐富、立意新穎、表述脫俗、背景鮮活、設問獨特的好試題下面分析函數(shù)試題的幾個新亮點 亮點1：以圖像和表格形式呈現(xiàn)函數(shù)問題，考查學生對函數(shù)定義本質(zhì)的理解函數(shù)的表示形式主要有三種形式，即表

2、格、圖像和解析式，而表格和圖像兩種形式表達函數(shù)則較為直觀、形象，這樣命題既考查考生對函數(shù)定義的理解，又考查考生的閱讀理解能力和分析、轉化、解決問題的能力，似有“返璞歸真”之意，體現(xiàn)高考對基礎知識的考查力度和考查形式（毫克）（小時）例1（湖北文理）為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關系式為（為常數(shù)），如圖所示據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（I）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）之間的函數(shù)關系式為；（II）據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，學生

3、方可進教室，那么， 藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時后，學生才能回到教室解析：（I）由題意和圖示，當時，可設（為待定系數(shù)），由于點在直線上，將其代入解得；同理，當時，可得 為所求（II）由題意可得，即得或或，由題意至少需要經(jīng)過小時后，學生才能回到教室點評：本題屬于閱讀理解型試題，主要考查正比例函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、分段函數(shù)的基本知識以及數(shù)形結合思想和待定系數(shù)的方法，考查考生的閱讀理解能力、識圖能力、運算能力和運用函數(shù)思想解決實際應用問題的能力本題圖文并茂，形象直觀，以圖像呈現(xiàn)內(nèi)容，讓考生從圖像當中提煉出有用信息，并加以解決，避免知識單一化，實現(xiàn)知識的整合例2（北京理）已知函數(shù)，分別由下表給出1231

4、31123321則的值為；滿足的的值是解析：=；當x=1時，不滿足條件；當x=2時，滿足條件；當x=3時，不滿足條件 只有x=2時，符合條件點評：本題形式新穎、靈活，以表格形式出現(xiàn)，主要考查考生對圖表的識別和理解能力，考查函數(shù)的基本問題，屬于送分題亮點2：以立體幾何為載體考查函數(shù)問題，實現(xiàn)知識間的“交匯融合”例3（廣東理）如圖1所示，等腰三角形ABC的底邊AB=，高CD=3，點E是線段BD上異于B、D的動點，點F在BC邊上，且EFAB，現(xiàn)沿EF將BEF折起到PEF的位置，使PEAE，記BE，表示四棱錐P-ACEF的體積 （1）求的表達式； （2）當為何值時，V(x)取得最大值？ （3）當取得最

5、大值時，求異面直線AC與PF所成角的余弦值 圖1解析：（1）由折起的過程可知，PE平面ABC，易得：，V(x)=（）（2），所以時， ，V(x)單調(diào)遞增；時 ，單調(diào)遞減；因此時，取得最大值（3）過F作MF/AC交AD與M,則，PM=，在PFM中， ，異面直線AC與PF所成角的余弦值為點評：本題主要考查函數(shù)、函數(shù)極值、導數(shù)及其應用、幾何體體積計算、空間兩異面直線所成角的計算等基礎知識，考查數(shù)形結合思想以及空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力本題以立體幾何搭建平臺，首先建立函數(shù)關系，是解決本題的關鍵，然后以導數(shù)作為工具求最值，實現(xiàn)知識的遷移和應用，思維跨度比較大，但順利自然，貼切而又生動，真正

6、實現(xiàn)了知識之間的融合與交匯，考查了學生的綜合思維品質(zhì)和駕馭數(shù)學知識解決數(shù)學問題的能力另外，第（3）問還可以用向量方法去解決，此處略例4（湖南理）如圖2，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風景點和居民區(qū)的公路，點所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為（），且，點到平面的距離（km）沿山腳原有一段筆直的公路可供利用從點到山腳修路的造價為萬元/km，原有公路改建費用為萬元/km當山坡上公路長度為km（）時，其造價為萬元已知，（I）在上求一點，使沿折線修建公路的總造價最?。唬↖I） 對于（I）中得到的點，在上求一點，使沿折線修建公路的總造價最?。↖II）在上是否存在兩個不同的點，使沿折線修建公路

7、的總造價小于（II）中得到的最小總造價，證明你的結論AEDBHP圖2解析：（I）如圖3，由三垂線定理逆定理知，所以是山坡與所成二面角的平面角，則，設，則記總造價為萬元，據(jù)題設有當，即時，總造價最?。↖I）設，總造價為萬元， 圖3根據(jù)題設有則，由，得當時，在內(nèi)是減函數(shù)；當時，在內(nèi)是增函數(shù)故當，即（km）時總造價最小，且最小總造價為萬元（III）解法1：不存在這樣的點，事實上，在上任取不同的兩點，為使總造價最小，顯然不能位于 與之間故可設位于與之間，且=，總造價為萬元，則類似于（I）、（II）討論知，當且僅當，同時成立時，上述兩個不等式等號同時成立，此時，取得最小值，點分別與點重合，所以不存在這樣

8、的點 ，使沿折線修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價解法2：同解法1得當且僅當且，即同時成立時，取得最小值，以上同解法1點評：本題以實際問題為出發(fā)點，以立體幾何為背景和載體，主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)及用導數(shù)求極值的思想方法，考查應用能力和計算能力這種命題形式打破了以往純立體幾何和純函數(shù)問題命題的格局，使學生思考的方法和范圍超越了固有的思維空間，使問題本身的綜合性得到進一步加強，是一道具有較高區(qū)分度的試題，也為高校選拔優(yōu)秀人才提供了很好的素材將函數(shù)問題嵌入立體幾何問題中，使問題情景生動而又別致新穎，使函數(shù)的基礎知識提升到一個新的高度，真正體現(xiàn)了函數(shù)與其它知識“交匯”的新特點，這是未來高考

9、對函數(shù)考查的一個新方向亮點3：以解析幾何為背景考查函數(shù)問題，實現(xiàn)知識間的縱向整合與碰撞例5（北京理）如圖4，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（II）求面積的最大值 圖4 圖5解析：（I）依題意，以的中點為原點建立直角坐標系（如圖5），則點的橫坐標為，點的縱坐標滿足方程，解得，其定義域為（II）記，則令，得因為當時，；當時，所以是的最大值因此，當時，也取得最大值，最大值為，即梯形面積的最大值為點評：本題是一道靚題，以解析幾何為原材料，考查函數(shù)的基礎

10、知識及導數(shù)的應用，考查最值的求法，將函數(shù)與解析幾何兩塊主體內(nèi)容有機地滲透和聯(lián)系在一起這種在交匯點設計的試題，注重內(nèi)容的聯(lián)系性和知識的綜合性，既能增加知識的考查點，又能從學科整體的高度和思維價值的高度考慮問題，能對基礎知識考查達到必要深度，可謂視角獨特、回味無窮亮點4：以函數(shù)為主線和出發(fā)點，考查函數(shù)、不等式、導數(shù)、二項式定理、組合數(shù)計算公式等多個內(nèi)容，實現(xiàn)知識大聚會例6（四川理）設函數(shù)()當x=6時,求的展開式中二項式系數(shù)最大的項；()對任意的實數(shù)x,證明；()是否存在,使得恒成立?若存在,試證明你的結論并求出a的值；若不存在,請說明理由解析：（）利用二項展開式的有關結論知，該展開式中二項式系數(shù)

11、最大的項是第4項，這項是（）證法1：因證法2：因，而，故只需對和進行比較令，有，由，得因為當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，所以在處有極小值故當時，從而有，亦即，故有恒成立所以，原不等式成立（）對，且，有又因，故，從而有成立，即存在，使得恒成立點評：本題將函數(shù)、不等式、導數(shù)、二項式定理、組合數(shù)計算公式等多個內(nèi)容融為一體，考查綜合推理論證與分析解決問題的能力及創(chuàng)新意識本題打破“條件完備，結論明確”的命題框架，設計“條件不完備或結論不明確”的開放性試題，重在考查學生的思維品質(zhì)和進行探究性學習的能力，屬于難度較大，綜合性較強，知識點較多的試題已知函數(shù)的結構特征注定了后繼問題的設置，這樣既看到了函數(shù)的“

12、大度”和“包容”，又開拓了函數(shù)內(nèi)容的“視野”廣泛性，這些都無不顯示出命題者的智慧，也為今后高考函數(shù)部分的命題提供了一個思維方向和模板亮點5：以函數(shù)為生命線，與方程聯(lián)袂，考查函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等知識例7（浙江文）已知 (I)若k2，求方程的解； (II)若關于x的方程在(0，2)上有兩個解x1，x2，求k的取值范圍，并證明解析：（）當k2時，當時，即或時，方程化為，解得，因為，故舍去，所以當時，即時，方程化為，解得由得當k2時，方程的解所以或 (II)不妨設0x1x22，因為，所以在（0,1上是單調(diào)函數(shù)，故在（0,1上至多一個解若1x1x22，則x1x20，故不符題意，因此0x11x22由

13、得，所以；由得，所以；故當時，方程在(0，2)上有兩個解當0x11x22時，由此兩式消去k 得，即，因為x22，所以點評：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)、方程與函數(shù)的關系等基礎知識，以及綜合運用所學知識、分類討論等思想方法分析和解決問題的能力需要考生有較扎實的理論知識及較強的分析問題的能力，同時要具備良好的運算能力本題以函數(shù)作為主線，與方程聯(lián)袂，以求參數(shù)的取值范圍和證明不等式為最終歸宿，充分體現(xiàn)了主干知識在高考中的地位和要求，考查考生的綜合數(shù)學素養(yǎng)和各種能力例8（廣東文）已知函數(shù),是方程的兩個根(),是的導數(shù),設 (1)求的值；(2)已知對任意的正整數(shù)有,記,求數(shù)列的前項和解析：(1)由已知條件及

14、求根公式得, (2)， 數(shù)列是首項,公比為2的等比數(shù)列， 點評：本題主要考查函數(shù)、導數(shù)、一元二次方程、對數(shù)、數(shù)列等基礎知識，考查合情推理、化歸與轉化、特殊與一般的數(shù)學思想方法以及抽象概括能力、邏輯推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識等本題以考生熟悉的一元二次方程作為基礎，聯(lián)系函數(shù)、導數(shù)和數(shù)列知識，使問題的綜合性得到進一步加強，真正體現(xiàn)優(yōu)秀考題的選拔功能亮點6：以函數(shù)作平臺，以導數(shù)作工具，考查線性規(guī)劃問題例9（全國卷文）已知函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，且（）證明；（）若，求的取值范圍解析：求函數(shù)的導數(shù)（）由函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個根所以，當時，為增函數(shù)，由，得（）在

15、題設下，等價于即，化簡得，此不等式組表示的區(qū)域為平面上三條直線，和所圍成的的內(nèi)部，其三個頂點分別為：和，在這三點的值依次為，所以的取值范圍為ba2124O點評：本題主要考查了函數(shù)導數(shù)、極大值與極小值、方程的根解問題以及利用線性規(guī)劃來求取值范圍問題，考查了運算求解能力、知識遷移能力和數(shù)形結合的數(shù)學思想方法本題選取了全新的角度，以函數(shù)的知識作為平臺，引入極值，借導數(shù)這一工具來考查線性規(guī)劃問題，將函數(shù)、導數(shù)、線性規(guī)劃融為一體，使得新增的導數(shù)和線性規(guī)劃知識有機結合，既使問題有了新意，又增加了題目的含金量，更顯示出高考壓軸題目的“高端”之處全新的問題情景，對學生獨立獲取信息、加工信息和信息遷移的能力是一個考驗，具有極大的挑戰(zhàn)性，充分體現(xiàn)了“學會捕捉問題中的有用信息，進