不等式的證明(一)

1、就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。1、作差比較法的依據(jù)：、作差比較法的依據(jù)： （實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)）（實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)）0aba b 0a ba b 作差比較法的步驟：作差比較法的步驟： 作差作差變形變形定號(hào)定號(hào)（差值差值 的符號(hào)的符號(hào)）結(jié)論結(jié)論 0a ba b 6.2 6.2 不等式的證明不等式的證明1、比較法、比較法就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。2、作商比較法的原理及步驟：111bRaabbaabbaabb若步驟：作商步驟：作商變形（化簡(jiǎn)）變形（化簡(jiǎn)）判斷判斷 （商值與實(shí)數(shù)商值

2、與實(shí)數(shù)1的大小關(guān)系的大小關(guān)系）得出結(jié)論得出結(jié)論就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。例1. 已知 都是正數(shù)，并且 ， , a bab求證： 552332aba ba b證明：證明：552332()()aba ba b532523()()aa bba b322322()()aabbab2233()()abab222()() ()ab abaabb , a b都是正數(shù)， 220,0abaabb又2,()0abab222()() ()0ab abaabb即：552332aba ba b就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又

3、怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。 1.綜合法的定義：綜合法的定義： 利用已知條件和某些已知證明過的不等式（例如平均值利用已知條件和某些已知證明過的不等式（例如平均值定理）和不等式的性質(zhì)等推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這定理）和不等式的性質(zhì)等推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法種證明方法通常叫做綜合法 2.綜合法證題方法：綜合法證題方法： 由已知推出結(jié)論，證明思路是由已知推出結(jié)論，證明思路是“由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч边@里已知這里已知可以是已知條件、已知的重要不等式，也可以是已知的不等可以是已知條件、已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性質(zhì)式性質(zhì).用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系用綜合法證明

4、不等式的邏輯關(guān)系用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： AB1B2BnB (A為已知的為已知的或已經(jīng)證明過的不等式，或已經(jīng)證明過的不等式，B為要證的不等式為要證的不等式)即綜合法是即綜合法是“由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч?2.綜合法綜合法就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。3.用綜合法證題過程中要適當(dāng)將原不等式變用綜合法證題過程中要適當(dāng)將原不等式變形，使其轉(zhuǎn)化為易證的不等式形，使其轉(zhuǎn)化為易證的不等式. 4.運(yùn)用不等式的性質(zhì)和已證過的不等式時(shí)，要注運(yùn)用不等式的性質(zhì)和已證過的不等式時(shí)，要注意他們各自成立的條件，這樣才能使推理正

5、確，意他們各自成立的條件，這樣才能使推理正確，結(jié)論無誤結(jié)論無誤. 就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。)0(2);0(2;2)4(22;4)(;2)3(;0)2(;0)1(:,2222222 ababbaababbaabbababaabbaabbaaa它它的的變變形形形形式式又又有有它它的的變變形形形形式式又又有有常常用用的的不不等等式式有有不不等等式式的的使使用用應(yīng)應(yīng)注注意意對(duì)對(duì)已已證證時(shí)時(shí)利利用用綜綜合合法法證證明明不不等等式式就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。例例2.已知已知

6、a,b,c R+,求證：求證：222222a bb cc aabcabc2222242222222222222222a bb ca b cab cb cc aabcc aa ba bc證明：三式相加得三式相加得 2(a2b2+b2c2+c2a2)2(a2bc+ab2c+abc2 ) =2abc(a+b+c) 222222a bb cc aabcabc000a 、b、c就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。.1111.abcabcabcabc例3已知 、 、 為不相等正數(shù)，且，求證：1111abcabcbccaababc證法1:、 、 為不相

7、等正數(shù)，且，222bccacaababbc222abca bcab c.abcabc ca abcabc b 就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。1111abcabcabcbccaab證 法 2:、 為 不 相 等 正 數(shù) ， 且，111111222bccaab111.abc.1111.abcabcabcabc例3已知 、 、 為不相等正數(shù)，且，求證：就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。用分析法證證明的格式是：用分析法證證明的格式是： 欲證命題欲證命題B B為真，為真， 只需證命題只

8、需證命題B B1 1為真，為真， 只需證命題只需證命題B B2 2為真，為真， 只需證命題只需證命題B Bn n為真，為真， 只需證命題只需證命題A A為真，為真， 已知命題已知命題A A為真，為真， 故命題故命題B B為真。為真。用簡(jiǎn)要的形式寫為：用簡(jiǎn)要的形式寫為：B B B B1 1 B B2 2 B Bn n A A 結(jié)論結(jié)論 （尋求不等式成立的充分條件）條件或已知的不等式（尋求不等式成立的充分條件）條件或已知的不等式 分析法的思路是分析法的思路是“執(zhí)果索因執(zhí)果索因”，即從，即從求證的不等式出發(fā)，求證的不等式出發(fā)，不斷地充分條件來代不斷地充分條件來代替前面的不等式，直替前面的不等式，直至

9、找到已知的不等式至找到已知的不等式為止。為止。3分析法分析法就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。例例4.已知已知abc，求證：，求證：0111 accbba只需要證明只需要證明cacbba 111abc a c0 ，a b0,b c0111abbcac證明一：為了證明證明一：為了證明0111 accbba0111 accbba1 ()()abbcab bcac即證1 ()()acab bcac即證2()()() acab bc只要證2222 aaccabacbbc即證2220 abcabbcac也即證2222(0 abcabbcac也即證

10、 ）222() +()()0abbcca即證222() +()()0abbcca就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。4、放縮法5、反證法、6、判別式法、7、構(gòu)造法8、換元法、就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。利用均值不等式放縮利用均值不等式放縮 求證：lg8lg121 而而 lg96lg100=2 lg8lg121.放縮法放縮法證明：lg80，lg120說明：本題應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性利說明：本題應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性利用不等式平均值，不等式兩次放大，使用不等式平均值，不等式兩次放大，

11、使不等式獲證。不等式獲證。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。*22211112()23nNnL1、求證：)1(13212111131211222nnn提示：將分子分母放大或縮小將分子分母放大或縮小 放縮法放縮法. 212)111()3121()2111(1nnn就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。2223,1111?23nL探 索 第 1題 從 第項(xiàng) 起 放 大 后小 于 多 少.47147121411)111()3121(411)1(13212111413121122222nnn

12、nnnn提示：放縮法放縮法就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。通過配方放縮通過配方放縮 設(shè)0 x，0y，0z，求證：0z，求證：zyxzyzyyxyx2222 證明： 2222zyzyyxyx zyxzyyx)2()2( 放縮法放縮法222243)2(43)2(yzyyyx 就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。 4241(41) 112aaa 424122bb 424132cc4()64141412abcabc 4141415abc 5141414cba 例、設(shè)a+b+c=1,且a、

13、b、cR+,求證證明：（方法一） a、b、cR+得a+b+c=1就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。141414cba方法二、144144144222ccbbaa222) 12() 12() 12(cba3)(2121212cbacba5141414cbaa+b+c=15141414cba 例、設(shè)a+b+c=1,且a、b、cR+,求證就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。a+b+c=133222cbacba方法三：31414143141414cbacba5213343141414cba

14、33)(4cba 原式成立 5141414cba 例、設(shè)a+b+c=1,且a、b、cR+,求證就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。ba21 22221cbcb 32221acac322223accbba求證：已知求證：已知0a,b,c1,b(2-c)1,c(2-a)10a,b,c0,2-c0,2-a0+得：3a+b判別式法判別式法證明：記 f(a)=a2+b2+ab+1-(a+b)0383133231412222bbbbbb=a2-(1-b)a+b2-b+1 f(a)0 a2+b2+1+ab-a-b0a2+b2+ab+1a+b就算天再高，

15、那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造函數(shù)法22101039xyx求證: 證：設(shè)) 3(92txt 則ttytf1)(2 用定義法可證：f (t)在 用定義法可證：f (t)在), 3 上單調(diào)遞增 令：3t1t2 則Q 1103333f tf就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。換元法換元法211122xx求證: 11x 令 x = cos , 0, 則2sin21sincos12xx證明： 11x 令 x = cos , 0, 則2sin21sincos12xx 211212xx2sin21sincos12xx 211212xx 1sin 21 Q就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。就算天再高，那又怎樣！踮起腳尖，就更靠近陽光。小小結(jié)結(jié)：若0 x1，則可令x = sin (20)或x = sin2 (22)。 若122 yx，則可令x = cos , y = sin (20)。 若122 yx，則可令x = sec, y = tan (20)。 若x1，則可令x = sec (20)。 若xR，則可令x = tan (22)。