還原法倒推法解決假設(shè)法方程法解決問題

1、數(shù)學(xué)廣角：雞兔同籠知識點一：“雞兔同籠”問題的特點例題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有35個頭，從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有多少只？題型特點：雞兔同籠是已知雞、兔的總頭數(shù)和總腳數(shù)，求其中雞和兔務(wù)有多少只的問題。請你用“”畫出下面題中相當(dāng)于總頭數(shù)的數(shù)據(jù)，用“”畫出下面題中相當(dāng)于總腳數(shù)的數(shù)據(jù)。1、 大油瓶每瓶裝4千克，小油瓶2瓶裝1千克，現(xiàn)有100千克油裝了共60個瓶子。問大小油瓶各多少個？2、 動物園里里飼養(yǎng)一群丹頂鶴和一群猴子，數(shù)眼睛共46只，數(shù)腳72只，丹頂鶴和猴子各多少只？知識點二：“雞兔同籠”問題的解題方法例題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和

2、兔各有多少只？方法一：列表法。（先從雞是8只，兔是0只開始，雞的只數(shù)逐漸減少，兔的只數(shù)逐漸增加，直到出現(xiàn)答案為止）雞的只數(shù)876543210兔的只數(shù)012345678總腳數(shù)161820222426283032通過列表，得出雞有3只，兔有5只。溫馨提示：用列表法可以解決問題，但當(dāng)數(shù)據(jù)較大時，過程就很繁瑣。請你試一試：1、雞兔同籠，頭共12個，足共34只，求雞與兔各有多少只？雞的只數(shù)兔的只數(shù)總腳數(shù)通過列表，得出雞有（ ）只，兔有（ ）只。2、鶴龜同池，鶴比龜多12只，鶴龜足共72只，求鶴龜各有多少只？通過列表，得出龜有（ ）只，鶴有（ ）只。3、在知識競賽中，有10道判斷題，評分規(guī)定：每答對一題得

3、2分，答錯一題要倒扣一分。小明同學(xué)雖然答了全部的題目，但最后只得了14分，請問，他答錯了幾題？通過列表，可知道小明答錯了（ ）題。方法二：假設(shè)法。（可以假設(shè)籠子里全是雞，或者假設(shè)籠子里全是兔）例題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有多少只？假設(shè)籠子里全是雞：（假設(shè)全是雞時可得出兔的只數(shù)）兔的只數(shù)：（262×8）÷（42） （總腳數(shù)2×雞兔總數(shù)）÷（42） =（2616）÷2 =10÷2 =5（只）雞的只數(shù)：85=3（只） （總只數(shù)兔的只數(shù)）假設(shè)籠子里全是兔：（假設(shè)全是兔時可得出雞的只數(shù)）雞的只數(shù)

4、：（4×826）÷（42） （4×雞兔總數(shù)總腳數(shù)）÷（42） =（3226）÷2 =6÷2 =3（只）兔的只數(shù)：83=5（只） （總只數(shù)雞的只數(shù)）你能行！1、 雞兔同籠，雞兔共35個頭，94條腿，問雞兔各多少只？2、小華買了2元和5元紀(jì)念郵票一共34張，用去98元錢。求小華買了2元和5元的紀(jì)念郵票各多少張？3、在一個停車場上，停了汽車和摩托車一共32輛。其中汽車有4個輪子，摩托車有3個輪子，這些車一共有108個輪子。求汽車和摩托車各有多少輛？方法三：列方程解。（可以設(shè)雞為X只，也可以設(shè)兔為X只）例題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有

5、8個頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有多少只？解：設(shè)雞有X只 解：設(shè)兔有X只4×（8X）2X=26 4X2×（8X）=26324X2X=26 4X162X=26 2X=6 2X=10 X=3 X=583=5（只） 85=3（只）答：雞有3只，兔有5只。你能列方程解答嗎？1、 大油瓶每瓶裝4千克，小油瓶2瓶裝1千克，現(xiàn)有100千克油裝了共60個瓶子。問大小油瓶各多少個？2、 班主任張老師帶五年級（2）班50名同學(xué)栽樹，張老師栽5棵，男生每人栽3棵，女生每人栽2棵，總共栽樹120棵，問幾名男生，幾名女生？3、 雞兔同籠，兔比雞少20只，腳數(shù)共262只。雞、兔各有多少只？小結(jié)：

6、“雞兔同籠”問題的解題方法1、列表法如果籠中全是雞，那么共有腳2×816（只）；如果籠中全是兔，那么共有腳4×832（只），而題目所給的腳數(shù)是28只，接近于雞而遠離于兔的腳數(shù)，可見雞少兔多。我們可以以雞為例，由小到大列出下表： 總數(shù) 增 減 數(shù)種 類 頭腳頭腳頭腳 8 30 10 28826兔 7 28 624520 雞 1 2 2436由表可知答案，兔5只，雞3只。3、還有置換法假設(shè)籠中全是雞，則總腳數(shù)為2×816（只），這與所給的26只腳不符，說明籠中必有兔。現(xiàn)可用置換法進行調(diào)整，用一只兔換出一只雞，頭數(shù)不變，腳數(shù)卻增加2只，于是在腳的差數(shù)261610（只）中

7、，包含幾個2只，就需要用幾只兔換出幾只雞，由于10÷25，所以兔5只，雞3只，其兔數(shù)列綜合算式為：（262×8）÷（42）。3、計算的方法假設(shè)每只雞一只腳，每只兔兩只腳，這樣，雞、兔總腳數(shù)為26÷213（只），由于雞一頭一腳，兔一頭兩腳，這時腳頭數(shù)的差是1385（只），這便是兔的只數(shù)，列綜合算式為：26÷28，即兔5只，雞3只。假設(shè)把籠中的每只雞兔的腳都砍去2只，則剩余腳數(shù)為26（2×8）10（只），這時雞的腳砍完了，余下的10只腳全是兔的，因為每只兔4只腳，砍去2只腳，還剩下2只腳，于是兔為10÷25（只），雞有853（只

8、）4、方程法解：設(shè)兔有x只，則雞有（10x）只。 4x2×(8x)26 4x162x 26 2x16 26 2x1616 2616 2x 10 2x÷2 10÷2 X 5 85 3(只)解方程得兔5只，雞3只。知識點三：“雞兔同籠”問題的例題分析例1 小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個，數(shù)腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？分析：假設(shè)16只都是雞，那么就應(yīng)該有2×1632（只）腳，但實際上有44只腳，比假設(shè)的情況多了44-3212（只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當(dāng)作雞了。如果我們以同樣數(shù)量的兔去換同樣數(shù)量的雞，那么每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)增加了

9、2只。因此只要算出12里面有幾個2，就可以求出兔的只數(shù)。解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有雞16-610（只）。答：有6只兔，10只雞。當(dāng)然，我們也可以假設(shè)16只都是兔子，那么就應(yīng)該有4×1664（只）腳，但實際上有44只腳，比假設(shè)的情況少了644420（只）腳，這是因為把雞當(dāng)作兔了。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)減少了4-22（只）。因此只要算出20里面有幾個2，就可以求出雞的只數(shù)。有雞（4×16-44）÷（4-2）=10（只），有兔16106（只）。由例1看出，解答雞兔同籠問題通常采用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞

10、，然后以兔換雞；也可以先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。因此這類問題也叫置換問題。例2 100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃。問：大、小和尚各有多少人？分析與解：本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設(shè)法來解。假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃300個，比實際多300140160（個）?，F(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個總?cè)藬?shù)不變，而饃就要減少312（個），因為160÷280，故小和尚有80人，大和尚有1008020（人）。同樣，也可以假設(shè)100人都是小和尚，同學(xué)們不妨自己試試。在下

11、面的例題中，我們只給出一種假設(shè)方法。例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套？分析與解：我們設(shè)想有一只“怪雞”有1個頭11只腳，一種“怪兔”有1個頭19只腳，它們共有16個頭，280只腳。這樣，就將買文化用品問題轉(zhuǎn)換成雞兔同籠問題了。假設(shè)買了16套彩色文化用品，則共需19×16304（元），比實際多30428024（元），現(xiàn)在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用19118（元），所以買普通文化用品 24÷8=3（套），買彩色文化用品 16313（套）。例4 雞、兔共100只，雞腳比兔

12、腳多20只。問：雞、兔各多少只？分析：假設(shè)100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實際上只多20只，這說明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實際上多20020=180（只）?，F(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會減少426（只），而180÷630，因此有兔子30只，雞1003070（只）。解：有兔（2×10020）÷（24）30（只），有雞10030=70（只）。答：有雞70只，兔30只。例5 現(xiàn)有大、小油瓶共50個，每個大瓶可裝油4千克，每個小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克

13、。問：大、小瓶各有多少個？分析：本題與例4非常類似，仿照例4的解法即可。解：小瓶有（4×50-20）÷（42）30（個），大瓶有50-3020（個）。答：有大瓶20個，小瓶30個。例6 一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。利用假設(shè)法，假設(shè)只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下4×36=144（噸）。根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9（輛）小卡車。這樣每輛小卡車能裝1

14、44÷916（噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。解：4×36÷（45-36）×45720（噸）。答：這批鋼材有720噸。例7 樂樂百貨商店委托搬運站運送500只花瓶，雙方商定每只運費0.24元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運費，而且還要賠償1.26元，結(jié)果搬運站共得運費115.5元。問：搬運過程中共打破了幾只花瓶？分析：假設(shè)500只花瓶在搬運過程中一只也沒有打破，那么應(yīng)得運費0.24×500=120（元）。實際上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬運站每打破一只花瓶要損失0.241.261.5（元）。因此共打破

15、花瓶4.5÷1.53（只）。解：（0.24×500115.5）÷（0.241.26）3（只）。答：共打破3只花瓶。例8 小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？分析與解：利用假設(shè)法，假設(shè)小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數(shù)減少了12×（23）60（下）?？汕蟪鲂访糠昼娞?8060）÷（233）90（下），小樂一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小樂共多跳780270×2240（下）。  練習(xí)13

16、1雞、兔共有頭100個，腳350只，雞、兔各有多少只？2學(xué)校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個學(xué)生進行活動。問：象棋與跳棋各有多少副？3班級購買活頁簿與日記本合計32本，花錢74元?；铐摬久勘?.9元，日記本每本3.1元。問：買活頁簿、日記本各幾本？4龜、鶴共有100個頭，鶴腿比龜腿多20只。問：龜、鶴各幾只？5小蕾花40元錢買了14張賀年卡與明信片。賀年卡每張3元5角，明信片每張2元5角。問：賀年卡、明信片各買了幾張？6一個工人植樹，晴天每天植樹20棵，雨天每天植樹12棵，他接連幾天共植樹112棵，平均每天植樹14棵。問：這幾天中共有幾個雨天？7振興小學(xué)六

17、年級舉行數(shù)學(xué)競賽，共有20道試題。做對一題得5分，沒做或做錯一題都要扣3分。小建得了60分，那么他做對了幾道題？8有一批水果，用大筐80只可裝運完，用小筐120只也可裝運完。已知每只大筐比每只小筐多裝運20千克，那么這批水果有多少千克？9蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀?，F(xiàn)有三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀。問：每種小蟲各有幾只？10雞、兔共有腳100只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳92只。問：雞、兔各幾只？知識點四：“雞兔同籠”問題解法的應(yīng)用1、全班46人去劃船，共乘12只船，其中大船每只坐5人，小船每只坐3人，求大船和小船各有多少只？2、 王老師圓珠

18、筆和鋼筆共買了15支，圓珠筆每支1.5元，鋼筆每支4.5元，共花了49.5元，圓珠和鋼筆各買了幾支？3、小剛買回8分郵票和4分郵票共100張，共付出6.8元，問，小剛買回這兩種郵票個多少張？各付出多少元？4、鶴龜同池，鶴比龜多12只，鶴龜足共72只，求鶴龜各有多少只？5、小毛參加數(shù)學(xué)競賽，共做20道題，得64分，已知做對一道得5分，不做得0分，錯一題扣1分，又知道他做錯的題和沒做的同樣多。問小毛做對幾道題？6.有蜘蛛，蜻蜓，蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對（蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，2對翅膀；蟬6條腿，1對翅膀），三種動物各幾只？7、東風(fēng)小學(xué)有3名同學(xué)去參加數(shù)學(xué)競賽，一份試卷共10道題，答對一題得10分，答錯一道不但不得分，還要扣去3分，這3名同學(xué)都回答了所有的題目，小明得74分，小華得22分，小紅得87分，他們?nèi)斯泊饘Χ嗌兕}？ 8、某運輸隊為超市運送暖瓶500箱，每箱裝有6個暖瓶。已知每10個暖瓶的運費為5元，損壞一個的話不但不給運費還要陪成本10元，運后結(jié)算時，運輸隊共得1350元的運費。問、共損壞了多少只暖瓶？9、蜘蛛有8條腿，蜻蜓