直線和平面的位置關系課件

1、直線和平面 在日常生活中，我們可以觀察到直線與平面在日常生活中，我們可以觀察到直線與平面的位置關系共有三種。的位置關系共有三種。即：平行、相交、在平面內(nèi)。即：平行、相交、在平面內(nèi)。其中直線在平面內(nèi)，由基本性質(zhì)其中直線在平面內(nèi)，由基本性質(zhì)1決定。決定。 對于直線和平面的前兩種位置關系，分別給對于直線和平面的前兩種位置關系，分別給出下面的定義。出下面的定義。定義定義1 如果一條直線和一個平面沒有公共點，那如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么稱這條直線和這個平面平行。么稱這條直線和這個平面平行。定義定義2 如果一條直線和一個平面有且只有一個公如果一條直線和一個平面有且只有一個公共點。那么稱這條直線

2、和這個平面相交。共點。那么稱這條直線和這個平面相交。ll，l即即記作記作平行平行與平面與平面直線直線,/QlQ，l記作記作相交于相交于與平面與平面直線直線直線和平面aaaa位置關系位置關系圖圖 示示表示方法表示方法公共點個數(shù)公共點個數(shù)直線在平面內(nèi)直線在平面內(nèi) a 無數(shù)個無數(shù)個直直線線不不在在平平面面內(nèi)內(nèi)直線與平面直線與平面平行平行a 沒有沒有直直線線與與平平面面相相交交直線與直線與平面斜平面斜交交a=A一個一個直線與直線與平面垂平面垂直直a一個一個一、直線和平面平行一、直線和平面平行1、直線和平面平行的判定、直線和平面平行的判定直線直線 和平面平行的判定定理和平面平行的判定定理 如果平面外一條

3、直線如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。個平面平行。lm /：,ll/mml求求證證且且如如圖圖已已知知.mlP/：,ll/mml求求證證且且如如圖圖已已知知.,Plll則則因因為為不不平平行行于于平平面面假假設設直直線線用用反反證證法法證證明明。:.,/設該平面為可以確定一個平面所以因為，ml、ml.,mm所以因為.，.mPP，PPlP即所以因為得由././lmlP，ml所以矛盾這與因此例例1 1。已知：空間四邊形。已知：空間四邊形ABCDABCD，E E、F F分別是分別是ABAB、ADAD的中點的中點求證：

4、求證：EF平面平面BCD證明：連接證明：連接BD，在，在 ABD中，中，E E、F F分別是分別是ABAB、ADAD的中點，的中點，EF EF BD BDEF EF 平面平面BCDBCDBD BD 平面平面BCD BCD ABCDEF又又EF EF 平面平面BCDBCD， 3。 兩個全等的正方形兩個全等的正方形ABCD、ABEF不在同不在同 一平面內(nèi)一平面內(nèi),M、N是對角線是對角線AC、BF的中點的中點求證：求證：MN 面面BCE分析：分析：連接連接AE,CE 由由M、N是中點知：是中點知： MN CEDANMCBFE所以：所以：MN 面面BCE2、直線和平面平行的性質(zhì)、直線和平面平行的性質(zhì)直

5、線和平面平行的性質(zhì)定理直線和平面平行的性質(zhì)定理 如果一條直線和一個如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。那么這條直線就和交線平行。mlP./:.,/;:mlmll、m，l、求證平面直線已知,/,:l因因為為如如圖圖所所示示證證明明.沒有公共點和所以l,m又又因因為為,內(nèi)內(nèi)在在同同一一個個平平面面和和而而沒沒有有公公共共點點和和所所以以mlml./,ml因此因此ABCDMNNBCPCMBAPABBBBPDCBAABCD平面平面求證：求證：）、（異于（異于中，點中，點長方體長方體/,11111111 AB

6、A1DB1D1PCC1MNABA1DB1D1PCC1MN111111111111/CACACAACACCACCAACAAC面面面面長方體中長方體中、連結連結 MNBCAACPNBCPCMPABAACPACBCAAC 111111/面面面面面面面面ABCDACABCDMNMNAC面面面面 /ABCDMN面面/NCPNMAPM 111111AACCCCPBNCPNNCCPBNAAPBMAPMMAAPBM ABCDACABCDMNMNAC面面面面 /ABCDMN面面/ABA1DB1D1PCC1MNxyo課件cabO直線與平面有那些位置關系？直線與平面有那些位置關系？a/ /b c=Oabcoa a與

7、與c c是異面直線是異面直線abd如果平面內(nèi)的直線如果平面內(nèi)的直線d 平行于平行于b，那么，那么d與與a 垂直垂直直線直線a與平面與平面 相交，相交，a與平面與平面 內(nèi)的直線有幾種位置關系？內(nèi)的直線有幾種位置關系？若直線若直線d不在平面不在平面 內(nèi)，上述結論還成立嗎？內(nèi)，上述結論還成立嗎？仍成立仍成立過一點能作幾條與已知直線垂直的直線？過一點能作幾條與已知直線垂直的直線？mOabcdA所作的垂線是在同一平面內(nèi)嗎？所作的垂線是在同一平面內(nèi)嗎？是是直線直線m與此平面給我們什么形象？與此平面給我們什么形象？直線垂直平面的形象直線垂直平面的形象M直線和平面垂直的定義直線和平面垂直的定義 如果一條直線（

8、如果一條直線（ ）和一個平面（）和一個平面（ ）內(nèi)的任何）內(nèi)的任何一條直線都垂直，一條直線都垂直， 則說這條直線（則說這條直線（ ）和這個平面）和這個平面（ ）互相垂直互相垂直,記為記為 .直線直線 叫平面叫平面 的的垂線垂線，平面平面 叫直線叫直線 的的垂面垂面， 垂線和垂面的交點叫做垂線和垂面的交點叫做垂線垂線足或垂足足或垂足（Q）。）。 lllllQl直線與平面垂直的判定定理直線與平面垂直的判定定理 lnlmlPnmnm,如果直線如果直線 和平面和平面 內(nèi)的兩條相交直線內(nèi)的兩條相交直線m,nm,n都垂直，那么直線都垂直，那么直線 垂直平面垂直平面 。ll即：即：mnPl線不在多，重在相交

9、線不在多，重在相交1 1、直線和平面垂直的判定、直線和平面垂直的判定 直線直線 與平面與平面 相交，但不和平面垂直，相交，但不和平面垂直，叫做直線叫做直線 與平面與平面 斜交，稱直線斜交，稱直線 是平是平面面 的斜線，交點為斜足。的斜線，交點為斜足。 lll求證：與三角形的兩條邊同時垂直的直線求證：與三角形的兩條邊同時垂直的直線 必與第三條邊垂直。必與第三條邊垂直。ABCaABaBCaACa 求求證證假假設設.,實際上，這為證明實際上，這為證明“線線垂直線線垂直”提供了一種方法提供了一種方法如圖如圖,PA 園園O所在平面所在平面,AB是園是園O的直徑的直徑,C是園周上一點是園周上一點,那那末末

10、,圖中有幾個直角三角形圖中有幾個直角三角形? PABCO分析分析: :問題的焦點是三角問題的焦點是三角形形PBCPBC是不是直角三角形是不是直角三角形? ? AACPABCPABCACABCBCABCPA平平面面平平面面 PACPCPACBC平平面面平平面面 PCBC是是直直角角三三角角形形PBC故共有四個直角三角形故共有四個直角三角形故共有四個直角三角形故共有四個直角三角形如圖，點如圖，點P是平行四邊形是平行四邊形ABCD所在平面外一點，所在平面外一點，O是對角線是對角線AC與與BD的交點，且的交點，且PA=PC，PB=PD。求證：求證：PO 平面平面ABCD 提示提示ABCDOP AO=C

11、O，PA=PC， PO AC。同理同理PO BD，又又 AC BD=O， PO 平面平面ABCD。 在空間四邊形在空間四邊形ABCD中，中，AB=AD，CB=CD，求證：對角線求證：對角線AC BD。提示ABCDEACBDACEACACEBDECEAEBDCEDCBCBDAEADABCEAEEBD ,平面平面又連接的中點取小結小結直線與平面直線與平面垂直的判定垂直的判定定義法定義法間接法間接法直接法直接法 如果兩條如果兩條平行直線中的平行直線中的一條垂直于一一條垂直于一個平面，那么個平面，那么另一條也垂直另一條也垂直于同一個平面。于同一個平面。 如果一條直線垂于一個如果一條直線垂于一個平面內(nèi)的

12、任何一條直線平面內(nèi)的任何一條直線此直線垂直于這個平面此直線垂直于這個平面判定定理判定定理 如果一條直如果一條直線垂直于一個線垂直于一個平面內(nèi)的平面內(nèi)的兩條兩條相交相交直線，那直線，那么此直線垂直么此直線垂直于這個平面。于這個平面。唯一性公理一唯一性公理一mA過一點有且只有一條直線和已知平面垂直過一點有且只有一條直線和已知平面垂直唯一性公理二唯一性公理二過一點有且只有一個平面和已知直線垂直過一點有且只有一個平面和已知直線垂直mAB2、直線和平面垂直的性質(zhì)、直線和平面垂直的性質(zhì)直線與平面垂直的性質(zhì)定理直線與平面垂直的性質(zhì)定理 如果兩條直線同垂直于一個兩面，那么這兩如果兩條直線同垂直于一個兩面，那么

13、這兩條直線互相平行。條直線互相平行。已知已知: 求證求證: ,baba/b證明：反證法證明：反證法.abo./.abOO，bba點作點作過過不平行不平行與與設設.,/baba./.abOO，bba點作點作過過不平行不平行與與設設).( :. 2如圖的距離相等上各點到平面直線求證平行和一個平面已知一條直線例llABAB. B, A, BB, AABA,:分別為垂足的垂線分別引平面上任意兩點過直線證明l. /, BB,AABBAA. BA=, BBAA的平面為和設經(jīng)過直線. B/A,/l l. . BB= AA等上各點到平面的距離相即直線ll1、斜線在平面內(nèi)的射影、斜線在平面內(nèi)的射影（1）點在平面

14、內(nèi)的射影）點在平面內(nèi)的射影過一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個過一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平面內(nèi)的射影平面內(nèi)的射影.P Q一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直時，這條直線叫做時，這條直線叫做平面的斜線平面的斜線，斜線和平面的交，斜線和平面的交點叫點叫斜足斜足.從平面外一點向平面引斜線，這點與斜從平面外一點向平面引斜線，這點與斜足間的線段叫做這點到這個足間的線段叫做這點到這個平面的斜線段平面的斜線段. QP 從斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足從斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影和斜足的直線

15、叫做斜線在平面內(nèi)的射影垂足與斜足間的線段叫做這點到平面的斜線段在垂足與斜足間的線段叫做這點到平面的斜線段在這個平面內(nèi)的射影這個平面內(nèi)的射影.PQP斜線段在平面內(nèi)的射影斜線段在平面內(nèi)的射影 2、直線和平面所成的角、直線和平面所成的角平面的平面的和它在這個平面內(nèi)的射影所成和它在這個平面內(nèi)的射影所成的的，叫做這條，叫做這條斜線斜線和這個平面所成的角和這個平面所成的角.BA a AOB（記為（記為 ）是）是a與與 所成的角所成的角最小角定理最小角定理斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中的最小角內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中的最小

16、角COD進一步：斜線和平面所成的角，是這條斜線和進一步：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中的最小角這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中的最小角直線和平面垂直：所成的角是直角直線和平面垂直：所成的角是直角直線和平面平行或在平面內(nèi)直線和平面平行或在平面內(nèi) =00 00 90000900證明：設直線證明：設直線OD是是 內(nèi)與內(nèi)與a不不同的任意一條直同的任意一條直線線,過點過點A引引AC垂直垂直O(jiān)D垂足為垂足為C.因為因為AB AC，所以所以AB/AO AC/AO即即sinsin AOC.因此因此AOC小結小結（1）點在平面內(nèi)的射影）點在平面內(nèi)的射影2、直線和平面所成的角、直線和

17、平面所成的角1、斜線在平面內(nèi)的射影、斜線在平面內(nèi)的射影PAOBPA、PO、P，P斜線斜線的垂線的垂線平面平面分別作分別作過過外一點外一點是平面是平面如圖如圖例例.10,16, 8.PBPAPO是斜足是斜足，A、BOPB是垂足是垂足,PA、求求直直線線）。（精精確確到到分分所所成成的的角角的的度度數(shù)數(shù)分分別別和和平平面面PBOA、PA、內(nèi)內(nèi)的的射射影影分分別別是是在在平平面面因因為為解解PB,OBPBOPAO、PBPA所成的角分別是所成的角分別是和平面和平面所以所以.，PAO中中在在21168PAPOPAOsin30PAO108PBPOPBOsin:同理同理853 PBO性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理

18、線面垂直線線垂直線面垂直線線垂直PO平面PAOaPOPAaPAaAOaa平面PAOPAaPAaPOaa平面PAOAO平面PAOaAOPCBA例例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一點，外一點， PA平面平面ABC ，AC BC， 求證：求證： PC BC證明：證明： P 是平面是平面ABC 外一點外一點 PA平面平面ABC PC是平面是平面ABC的斜線的斜線 AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC 平面平面ABC 且且AC BC 由三垂線定理得由三垂線定理得 PC BC例2直接利用三垂線定理證明下列各題：(1)PA正方形ABCD所在平面，O為對角線BD的中點求證：POBD，PCBD(3)在正方體AC1中，求證：A1CB1D1，A1CBC1(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中點，求證：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1)PA正方形ABCD所在平面，O為對角線BD的中點，求證：POBD，PCBDPOABCD證明:ABCD為正方形 O為BD的中點AOBD又AO是PO