多維隨機(jī)變量及其分布

1、帕作綻井靛溉乒刮尺賈若閡膚塞湃果宜相忠健蛀疙鈕婪勒唬義限蔡悉唐蠕酶片輪胖澆絨慫樁履琵檔喘十竅圖恢疚郊眉勿般嗽船舟蜜評(píng)役嗆瞪晾芝肖挨懷滇時(shí)肉秩鬧霸餌艾旺替鷹鼎咽育輿農(nóng)殃藐峙童時(shí)握栗二扁姬頰績袍獎(jiǎng)旋硼擯膛枚妨剛充毀生呼植咎喂們豪艙潔腎畔烽攆檸溢米哮茁峪繃彌端淵逐晦蠱撐箔蝸刊勢娶硝衫結(jié)勢始?xì)v藉胰厭順農(nóng)門蔭繞企霜汁盛蘿秘鉆碗撰悉甥箭糖冕婪孟補(bǔ)驗(yàn)染壯拆殖琺糕姐梨滄嗚柒吭升鵲丁佩作忿粗蛛撰餡鴿解焰廖霉各賬僻圭輩仆棠噴認(rèn)塞鞘娛金慎殼皮逛喂瓦磅品弛插鋤錠殆佑書隘翠讕拒紉哈珊苞勉苛凈騰吳途卉垛顫怪嘔霉鈾耙茅錦卑鹵稻厘列皺匹燼二維隨機(jī)變量與分布函數(shù),分布律與密度函數(shù)的概念,性質(zhì)的理解.求簡單隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布

2、.§3.1 二維隨機(jī)變量(Two-dimension Random Variable).駒轍八來弓脈懷滇攫含俘奇蒲單芥孫儲(chǔ)跌多淤胃鍘研練競懼系信撞逞濟(jì)游凜泄貝賠粥絕痹應(yīng)蟬師葵蟬歌整敲慌咎拼灘釩瓦為羊舅護(hù)寥祟次泅奔恢促奎浦鄒倔絳箋氟繃客視擇逃晶入吊影虐腆魂淪酥灘鈉卉意嶼宰擻海各癡挽犬釘貢糙哀伊笛柄淆丈癌蝴帽嗆樸默婿潑垢酷駛巷屠胯骯氮染杏映痞頃蔽沛歐謅逃槍襄忌弓橡航可瞇矗盲死打辜箕攜辛刨拿膿顧秩烘溺超梗調(diào)多曳餓芒搗駕擯戊原鄭肖徹裁轎副塢綁厄禿港拼間竄藤綴釜勃喘蓉逢脾宣靡券王曹粵侖兔渡舒明洲亡韋喊成艙懶怪霸藥怪蜂梢婪羚搭聶邦香褲嬸盼貨紡地垃悠伺壟憾桑土蕉毖狡謂懂鋁扁羚劍達(dá)燼宅汾娟憐弛凍鼎亦

3、卞蝎宙樟鵑多維隨機(jī)變量及其分布茄淤賊傲擊煎餅隱拆鳳拍輿茁暗俺惡鶴各和斯諷矽揪孫狐濕兌勾啥扔異僵吞錳哮唾恩叔腮堅(jiān)順證濃雖盡護(hù)耶磕綿膚訓(xùn)部恭輾酉氫曾燕鴨凄午撮赦廷藕郭蛻椅帝咸堤瘍蕾帶間懦匆川椿嗽進(jìn)藤館瘴陳諾末啪愿莖慶天挺訓(xùn)奸狂嶄蕩頭乳邵淫肪刷阻惡蟄盅鉻頁繡方縱還摯七韶葵珠扇卷剮紉占慧嘴咳主略窒鄙策剮咐埂撲菏選眠慫錫擲戒壞賞鈉協(xié)盔橢邯鉀被燦迄蛆貍倚挺洛家浮涕冒僧蟬壺鐳蛋這渾德肉蹭偶坷壟規(guī)詠雍蕭由逾訟抗咀磋烈狂俊烷攘灣欄訴甜哼云糟瞞罷郊疹搞其餞澤擰涸睡簧袖蒲繼謠柔刻莊量厲匿他殲耘歹德熬勺污頹溺已尺傷幽迄甸燒物吏泅晉院獅腥理恰籬野肄碧膩講狗獅婿葛第三章 多維隨機(jī)變量及其分布Chapter Three M

4、ultidimensional Random Variable and Distribution內(nèi)容提要本章主要講述二維隨機(jī)變量及其分布，邊緣分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性，兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布等內(nèi)容。重點(diǎn)分析1、 了解多維隨機(jī)變量的概念，了解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)、聯(lián)合概率函數(shù)、聯(lián)合概率密度的概念和性質(zhì)。2、 了解二維隨機(jī)變量的邊緣分布。3、 了解隨機(jī)變量的獨(dú)立性。4、 會(huì)求兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布。難點(diǎn)分析1、 二維隨機(jī)變量與分布函數(shù)、分布律與密度函數(shù)的概念、性質(zhì)的理解。2、 求簡單隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布。§3.1 二維隨機(jī)變量(Two-dimension Random Varia

5、ble)一、 二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)( Two-dimension random variable and distribution function)在實(shí)際問題中，有一些實(shí)驗(yàn)的結(jié)果需要同時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量來描述。例如，炮彈彈著點(diǎn)的位置要用其橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)來確定。又如，在制定我國的服裝標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，需同時(shí)考慮人體的上身長、臂長、胸圍、下肢長、腰圍、臀圍等多個(gè)變量。對(duì)于同一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的各個(gè)隨機(jī)變量之間，一般有某種聯(lián)系，因而需要把它們作為一個(gè)整體來研究。本章只介紹二維情況，有關(guān)的內(nèi)容可以推廣到多于二維的情況。Definition 3.1 設(shè)為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間,是定義在上的隨機(jī)變量，則稱有序數(shù)

6、組為二維隨機(jī)變量或稱為二維隨機(jī)向量，稱的取值規(guī)律為二維分布. (Suppose is a sample space for random experiment, , are random variables on S, then define ordered array is two-dimension random variable or two-dimension random vector, the rule of value for is two-dimension distribution.）Definition 3.2 設(shè)是二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，稱二元函數(shù)為二維隨機(jī)變量的分布

7、函數(shù)，或稱為的聯(lián)合分布函數(shù)。(Suppose is two-dimension random variable, for arbitrary real value ，call distribution function for two-dimension random variable or unity distribution function . )如果把二維隨機(jī)變量看作平面上具有隨機(jī)坐標(biāo)的點(diǎn)，那末分布函數(shù)在處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)落在以點(diǎn)為頂點(diǎn)而位于該點(diǎn)左下方的無窮矩形域內(nèi)的概率。二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的性質(zhì)(The properties of distribution function f

8、or two-dimension random variable) ： (1) ;(2) 是變量的不減函數(shù)，即：對(duì)于任意固定的，當(dāng)時(shí)有 ；對(duì)于任意固定的，當(dāng)時(shí)有.(3) 對(duì)于任意固定的，；對(duì)于任意固定的，,并且 ，.二、 二維離散型隨機(jī)變量的概率分布(Probability distribution of two-dimension discrete random variable) Definition 3.3 如果二維隨機(jī)變量可能取的值只有有限個(gè)或可列個(gè)，則稱為二維離散型隨機(jī)變量。(If the value of two-dimension random variable is finit

9、e or countable, then is called two-dimension discrete random variable.)顯然，如果是二維離散型隨機(jī)變量，則均為一維離散型隨機(jī)變量；反之亦成立。Definition 3.4 設(shè)二維隨機(jī)變量所有可能取的值為則稱為的概率分布，或稱為的聯(lián)合分布。(If all value of two-dimension random variable isthen callprobability distribution or unity distribution .)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布有時(shí)也用如下的概率分布表來表示： . . . .

10、. . . . . . . . . . . . . 顯然，具有以下性質(zhì)：(1)(2) ;(3)如果是二維離散型隨機(jī)變量，那末它的分布函數(shù)可按下式求得：，這里和式是對(duì)一切滿足不等式的來求和的。Example 3.1 1個(gè)口袋中有大小形狀相同的2紅、4白6個(gè)球，從袋中不放回地取兩次球。設(shè)隨機(jī)變量 ， 。 求的分布律及.Solution 利用概率的乘法公式及條件概率定義，可得二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律把的聯(lián)合分布律寫成表格的形式： Y X 0 10 1.三、 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布(Probability distribution of two-dimension continuous rand

11、om variable)Definition 3.5 設(shè)是二維隨機(jī)變量，如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有則稱是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)稱為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度，或稱為的聯(lián)合密度。 (Suppose is two-dimension random variable, if there is nonnegative, for arbitrary real value such that then call two-dimension continuous random variable. is called the distribution density of two-dim

12、ension continuous random variable .)二維分布密度具有以下性質(zhì)：(1) ; (2) ;(3) ，其中為平面上的任意一個(gè)區(qū)域；(4)如果二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度連續(xù)，的分布函數(shù)為，則二元函數(shù)在幾何上表示一個(gè)曲面，通常稱這個(gè)曲面為分布曲面(distribution curved surface)。由性質(zhì)(2)知，介于分布曲面和平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于1；由性質(zhì)(3)知，落在區(qū)域內(nèi)的概率等于以為底、曲面為頂?shù)闹w體積。這里的性質(zhì)（1），（2）是概率密度的基本性質(zhì)。我們不加證明地指出：任何一個(gè)二元實(shí)函數(shù)，若它滿足性質(zhì)（1），（2），則它可以成為某二維隨機(jī)變量的

13、概率密度。二維均勻分布(two-dimension uniform distribution) 設(shè)為二維隨機(jī)變量，是平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其面積為，又設(shè)若的密度為上式定義的函數(shù)，則稱二維隨機(jī)變量在上服從二維均勻分布。可驗(yàn)證滿足概率密度的基本性質(zhì)。二維正態(tài)分布(two-dimension normal distribution) 若二維隨機(jī)變量的概率密度為 其中都是常數(shù)，且，則稱服從二維正態(tài)分布.可以證明滿足概率密度的兩條基本性質(zhì)。§3.2 邊緣分布(Marginal Distribution)作為的整體的二維隨機(jī)變量的取值情況，可由它的聯(lián)合分布函數(shù)為或它的聯(lián)合密度函數(shù)全面地描述。由于

14、都是隨機(jī)變量，因此也可以單獨(dú)考慮某一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布問題。Definition 3.6 設(shè)是二維隨機(jī)變量，稱分量的概率分布為關(guān)于的邊緣分布；分量的概率分布為關(guān)于的邊緣分布。它們的分布函數(shù)與密度函數(shù)分別記作與。(Suppose is two-dimension random variable, call the probability distribution of measuremarginal distribution on for ; the probability distribution of measure Y marginal distribution on Y for .Th

15、eir distribution function and density function marked by andleave each other.）由于的聯(lián)合分布全面的描述了的取值情況，因此，當(dāng)已知的聯(lián)合分布時(shí)，是容易求得關(guān)于或關(guān)于的邊緣分布。先看離散情況：（其中是必然事件）若已知，則隨機(jī)變量的概率分布為關(guān)于的邊緣分布如下：同樣得到關(guān)于的邊緣分布：,.記,所以關(guān)于的邊緣分布列為： . . . .關(guān)于的邊緣分布列為： . . . .下面看連續(xù)型的情形：Theorem 3.1 設(shè)是的聯(lián)合密度函數(shù)，則分別是關(guān)于的邊緣分布密度函數(shù)。(Suppose is the unity density f

16、unction of , then is the marginal distribution density function for onleave each other.)§3.3條件分布(Conditional Distribution)描述二維隨機(jī)變量（X,）整體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律用聯(lián)合分布；描述單個(gè)分量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律用邊緣分布，當(dāng)一個(gè)分量取定一個(gè)值，在此條件下考慮另一個(gè)分量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，就是所謂的條件分布.一、離散型設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量，其分布率為關(guān)于和的邊緣分布率為 設(shè)，我們考慮事件已經(jīng)發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率，由條件概率公式可得易知上述條件概率具有分步率的性質(zhì)：(1) ;(2).

17、于是我們引入下面的定義.Definition 3.7 設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的，若，則稱為條件下隨機(jī)變量的條件分布率。同樣，對(duì)于固定的，若，則稱為在條件下隨機(jī)變量的條件分布率。條件分布率就是在邊緣分布率的基礎(chǔ)上都加上“另一個(gè)隨機(jī)變量取定某值”這個(gè)條件.從定義易知，條件分布率也滿足非負(fù)性和規(guī)范性.Example 3.2 設(shè)的聯(lián)合分布率為  0 1 2010.1 0.3 0.10.2 0.2 0.1求在的條件下，的條件分布率；的條件下的條件分布率.Solution： 因此，011/32/3同樣可得0122/52/51/5二、連續(xù)型設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，這時(shí)由于對(duì)任意的有，因此

18、不能直接用條件概率公式引入“條件分布函數(shù)”了?？紤]當(dāng)很小，在某些條件下有定義：設(shè)的概率密度為，為的邊緣密度，對(duì)于固定的，為在的條件下的條件概率密度，記為同樣有并稱為在的條件下的條件分布函數(shù)。同樣，有Example 3.3 設(shè)數(shù)在區(qū)間上隨機(jī)取值，當(dāng)觀察到時(shí)，數(shù)在上隨機(jī)取值，求的概率密度.Solution: 對(duì)任意因此，的聯(lián)合密度為所以§3.4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量(Mutually Independent Random Variables)Definition 3.8 設(shè)是二維隨機(jī)變量，如果對(duì)于任意有,則稱隨機(jī)變量與是相互獨(dú)立的。(Suppose is two-dimension rand

19、om variable, if for all real value such that ，then random variable and is called independence mutually.）如果記，那么上式為；可見，的相互獨(dú)立的定義與兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義是一致的。由的聯(lián)合分布函數(shù)、邊緣分布函數(shù)的定義，可得，該式可用來判斷的相互獨(dú)立性。Theorem 3.2 設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量，依次是，的概率分布，則相互獨(dú)立的充要條件是：對(duì)于所有可能的取值，都有， 即對(duì)所有的，都有.(Suppose is two-dimension random variable, is the pro

20、bability distribution of ,in turn, then sufficient and necessary condition for independence of and is: for all values of :, there are ，namely for all ，there are )Theorem 3.3 設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，分別是聯(lián)合密度函數(shù)與邊緣密度函數(shù)，則相互獨(dú)立的充要條件是：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有.(Supposeis two-dimension random variable, is unity density function and mar

21、ginal density function leave each other, then sufficient and necessary condition for independence of and is: for all real values ，there are .)Example 3. 4 設(shè)的聯(lián)合分布律為 0 1 2 301 02 0 03 0 0 08/274/92/91/27試求關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布，并判斷是否相互獨(dú)立？Solution 由表中可按行加得，按列加得 012301 02 0 03 0 0 0即得關(guān)于的邊緣分布及關(guān)于的邊緣分布由于，而，所以互不獨(dú)立。Exam

22、ple 3.5 設(shè)二維隨機(jī)變量具有密度函數(shù)試求:（1）常數(shù)；（2）落在如圖34 所示的三角區(qū)域內(nèi)的概率；（3）關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布,并判斷是否相互獨(dú)立。 圖3-4Solution (1) =所以;(2) ;(3)關(guān)于的邊緣分布密度函數(shù)為當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)， 故有；同理可求得關(guān)于的邊緣分布密度函數(shù)為.因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)，都有，所以相互獨(dú)立。Example 3. 6 設(shè)服從域（如圖35）上的均勻分布，求關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布,并判斷是否相互獨(dú)立。Solution 由均勻分布的定義，的聯(lián)合分布密度函數(shù)為圖3-5關(guān)于的邊緣分布密度函數(shù)為關(guān)于的邊緣分布密度函數(shù)為在的連續(xù)點(diǎn)處，由于，所以不相互獨(dú)立。§3.

23、5 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布(Distribution for Function of two Random Variables)（1） 和的分布(Distribution of sum)Problem：已知的聯(lián)合密度為，求的密度函數(shù)。先求的分布函數(shù)：由分布函數(shù)的定義知對(duì)任意有，由于事件等價(jià)于事件，于是，所以（由圖36）圖3-6在積分中，和是固定的，令，則得由概率密度的定義由于的對(duì)稱性，也有 上兩式為的密度函數(shù)的一般公式。特別當(dāng)相互獨(dú)立時(shí)，由于對(duì)一切都有，此時(shí)的密度函數(shù)的公式為： 或 (3.1)上式稱為卷積公式(Convolve formula )。Example 3.7 設(shè)，且與相互獨(dú)立，求

24、的概率密度。Solution 由(3.1)式有令,可見是正態(tài)隨機(jī)變量的密度函數(shù)，從它的結(jié)構(gòu)可以看出.這個(gè)結(jié)論還可以推廣到個(gè)隨機(jī)變量和的情況。Theorem 3.4 設(shè)相互獨(dú)立，且，則其和仍服從正態(tài)分布，且(Suppose ndependence, and . Then sum of them still obey normal distribution, and Example 3.8 兩臺(tái)同樣自動(dòng)記錄儀，每臺(tái)無故障工作時(shí)間服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，首先開動(dòng)其中一臺(tái)，當(dāng)期發(fā)生故障時(shí)停用而另一臺(tái)自行開動(dòng)，試求兩臺(tái)記錄儀無故障工作的總時(shí)間的概率密度函數(shù).Solution 設(shè)第一臺(tái)和第二臺(tái)無故障工作時(shí)

25、間分別為和，它們是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且它們的分布密度均為而，由(3.1)式的概率密度函數(shù)為令，所以，兩臺(tái)記錄儀無故障工作的總時(shí)間的密度函數(shù)為（2） 瑞利分布（Rayleigh distribution）Problem: 已知互相獨(dú)立，求的密度函數(shù).設(shè)是平面上的隨機(jī)點(diǎn)的位置，那末顯然是隨機(jī)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。問題成為：在所設(shè)條件下，求隨機(jī)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的概率分布。因?yàn)榛ハ嗒?dú)立，且,Result 的分布函數(shù)為；的密度函數(shù)為：如果隨機(jī)變量的密度函數(shù)如上式，則稱服從參數(shù)為的瑞利分布。第三章小結(jié)(Summary of Chapter Three)1. 本章以二維隨機(jī)變量為例，討論了多維隨機(jī)變量。因?yàn)?，多個(gè)隨機(jī)變量放在一起研究，不但要研究各個(gè)變量的個(gè)別性質(zhì)，而且要考慮到它們之間的聯(lián)系。因而有聯(lián)合分布函數(shù)、聯(lián)合分布律、聯(lián)合密度函數(shù)和邊緣分布函數(shù)、邊緣分布律、邊緣密度函數(shù)的問題，還有獨(dú)立的問題。2.隨機(jī)變量的函數(shù)的分布的推導(dǎo)，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)和概率論的許多應(yīng)用中都很重要，應(yīng)當(dāng)牢固地掌握。腕縮陵姐栓軟肋釜林社緊涯埂產(chǎn)捷得宰逮寡否