中考數(shù)學復(fù)習：二次函數(shù)角度的存在性問題

1、1中考數(shù)學復(fù)習：二次函數(shù)角度的存在性問題2axbxc與x軸父于A(1,0)、B(4,0)兩點，與y軸交于點C(0,2);【例1】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y2(1)求拋物線的表達式;(2)求證：CAOBCO;(3)若點P是拋物線上的一點，且PCBACBBCO,求直線CP的表達式.1c5【參考答案】(1)yxx2；(2)證明略；(3)y思路點撥1.設(shè)求拋物線的交點式比較簡便.2.第(2)題求兩個銳角的正切值相等，可以得到兩個銳角相等.3.第(3)題先把3個角的關(guān)系， 轉(zhuǎn)化為/PC%Z2,再按點 P 與 CB 的位置關(guān)系分兩種情況討論.滿分解答(1)因為拋物線與 x 軸交于 A(1,0

2、)、B(4,0)兩點，所以 y=a(x1)(x4).1-.2y1(x1)(x4)=1x2x2.222代入點 C(0,2)，得a所以拋物線的表達式為(2)如圖2,tanZCA&匹=2.如圖3,tanZBC&理=-=2,所以 ZCAOZBCOOC2(3)如圖2,因為 ZPC 珍 ZAC%ZBCO 所以 zPC 序 ZBC3ZAC%Z1=Z2./PC%在兩種情況：如圖4,當點 P 在 CB 的右側(cè)時，由/PCE=Z2,得 CP/x 軸.圖3角的余角相等，得Z3此時直線 CP 的解析式為 y=2.如圖 5,當點 P 在 CB 的左側(cè)時，設(shè) CP 與 x 軸交于點 D.由 ZPd2,得D

3、C=DB.設(shè) D(x,0)，根據(jù) DC=D 瓦列方程 x2+22=(4x)2.解得 x 己.所以 D(-0).22由 C（0,2）、D（30），得直線 CP 的解析式為y4x2.23考點伸展如果第（3）題的條件不變，求點P的坐標.第一種情形，如圖 4,當 CP/x 軸時，點 P 與點 C 關(guān)于拋物線的對稱軸交x軸于點B,點P在拋物線上，且位于拋物線對稱軸的右側(cè);（1）當ABBD時（如圖），求拋物線的表達式;（2）在第（1）小題的條件下，當DP/AB時，求點P的坐標;1一,-ABD,求ABG的面積.2第二種情形，如圖6,設(shè) P(12x,x5x2)223作 Pdy 軸于 E,那么 ODCO.所以2

4、EPCEx解得 x=0,或 x7所以P(7,33922(2x25x2)5,x-對稱，所以R5,2)【例2】已知在直角坐標系中，拋物線2yax8ax3(a0)與y軸父于點（3）點G在對稱軸BD上，且AGB圖4圖54【參考答案】191,、(1)y1x2x3;(2)(10,-);(3)10或22.思路點撥1.拋物線的解析式中隱含了對稱軸（點B）和點 A 的坐標，根據(jù) AABD 求出點 D 的坐標，再代入解析式求待定系數(shù) a.5考點伸展第(3)題也可以從/ABD 勺平分線開始思考:2. 看著1/ABD 結(jié)合 BABD 不由得讓人聯(lián)想起“三線合一”.23.以 ZAB0 外角，構(gòu)造等腰三角形 BAGB8B

5、A 這樣就滿足/AB2ZAGB4. 根據(jù)對稱性，/AGB 勺頂點 G 存在兩種情況.滿分解答(1)所以將點由 y=ax28ax+3,可得 A(0,3),拋物線的對稱軸為直線B(4,0),AA5.當BAA5時，D(4,5).得 a1.所以 y8D(4,5)代入y=ax28ax+3,如圖 2,作 PRBWE.設(shè)點 P 的坐標為(x,當 DP/AB 時，EEP3-EP.4所以 ED解方程 512-x8所以x=10,或x=4x=4.12x8OAOB3)34(x一24)，整理，得x14x+40=0.(與點 D 重合，舍去).所以 P(101).，2(3)如圖 3,在 DB 的延長線上截取 B 序 B*5

6、,那么/AGB/BAG又因為/AB6/AG&/BAG 所以此時/AG 序 1/ABD2此時S/ABB10.如圖 4,作 AFUBWH,點 G 關(guān)于直線 AH 的對稱點為 G,那么 GH=G8.所以 BG=B 卅 G比11.此時 SKG=22.圖2圖3圖4圖56如圖 5,作 ZABD 勺平分線與 y 軸交于點 C.因為 Z1=Z2,Z1=ZC,所以/2=ZC.所以 ACA45.過點 A 作 BC 的平行線交拋物線的對稱軸于點 G,那么四邊形 CAGBI 平行四邊形.所以 Z1=ZG,BGAA5.所以/AGB1/ABD 此時斗AB10.2求點 G的過程同上.32-xbxc與y軸角于點A(0

7、,3)，與 x 軸的正半軸交于點5B(5,0)，點 D 在線段 OB 上，且OD1,聯(lián)結(jié) AD 將線段 AD 繞著點 D 順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段 DE 過點E 作直線lx軸，垂足為 H,交拋物線于點 F.(1)求這條拋物線的解析式；(2)聯(lián)結(jié)DF,求cotEDF的值；(3)點 G 在直線l上，且EDG45，求點 G 的坐標.好答案：(1)y35212x一x3；(2)COtEDF2.55;(3)E(4,6)或(4,-)2滿分解答(1)因為拋物線與x 軸交于點巳5,0)，設(shè) y35(x5)(xm)，代入點 A(0,3),得一3m3.所以m-1.所以 y35(x5)(x1)32-x512x53.(2

8、)如圖2,由AOBADHE 得 D 田 AO3,E 出DO1.所以 E(4,1),3由 f(4)(x5)(x1)3,得 F(4,3)5【例3】在平面直角坐標系中，拋物線y7F(4,3)、E(4,1)，可得 ZDF?45,DA3 扼，E 巳2.如圖 3,作 E/DF 于 M 那么 ElF 眼后由 D(1,0)8在 RtDEI,ElVt72,D 降 DFF/2J2,所以 DE 而.DM2、.；22.5所以cos/ED 巳=一.=丁DE105【例4】已知頂點為A(2,1)的拋物線經(jīng)過點B(0,3)，與x軸交于C、D兩點(點C在點D的左側(cè))；(1)求這條拋物線的表達式；(2)聯(lián)結(jié)AB、BD、DA,求A

9、BD的面積；(3)點P在x軸正半軸上，如果APB45，求點P的坐標.(3)符合條件的點G有兩個：1如圖 4,當點 GDE方時，由/EDGZEF45,/DE 催公共角，可得ED(AEFG 所以 ED=EF EG 所以10=2EG 所以 EO5.此時G4,6).2如圖 5,當 G在 Db 方時，GDG 是直角三角形.此時 D=HG HG.所以9=6HG.所以 HG=3.此時 G(4,2).圖2圖3圖4圖59參考答案：(1)Vx24x3；(2)3;(3)(3把,0).滿分解答(1) 設(shè)拋物線的頂點式為 V=a(x2)21,代入點 B(0,3)，得 a=1.所以這條拋物線的解析式為 y=(x2)2-1

10、=x24x+3.2(2) 由y=x4x+3=(x1)(x-3),得 C(1,0),D(3,0).如圖2,由 A(2,-1)、B(0,3)、D(3,0)，可得/BDO=45,ZADO45,BA&/2,AA匝.所以SFD=1ADBD=1423扼=3.22(3)如圖3,以AB為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形GAB以G為圓心、GB 為半徑畫圓，與 x 軸交于點 P(圓與 x 軸右側(cè)的一個交點)，根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，可知 ZAP 序45。.如圖 4,由BMAGNA 得 BM=GNMG=NA設(shè) G(mn),那么旺n+1,3n=nv2.解得n3,n=2.所以 G(3,2).設(shè) P(x,0)

11、.根據(jù) GB=GP,列方程32+12=(x-3)2+22.解得(3 扼,0)，或(3 扼,0)(這是圓與x軸左側(cè)的交點的橫坐標，此時 ZAPA135。).所以點 P的坐標為(3J6,0).10【裴文通老師和顧曉琴老師提供的解法】因為 ZBDO=45=Z1+Z3,所以Z1=Z2,Z3=Z4.DP所以PBIAAPD 所以DLDBZAPS45=Z2+Z3,ZADO=45=Z2+Z4,DADP是DP=DA DA23,2=6.所以 Dd 扼，O43J6.所以 P(3J6,0).【例5】已知在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)mxn的圖像經(jīng)過點A(3,0),B(m,m1),且與y軸相交于點C；(1)求這個二

12、次函數(shù)的解析式并寫出其圖像頂點D的坐標;(2)求CAD的正弦值;(3)設(shè)點P在線段DC的延長線上，且PAO求點P的坐標.圖2圖311yl參考答案：(1)yX22x3，頂點(1,4);(2)瑚010滿分解答(1)將 A(3,0)、B(mnu1)兩點分別代入y=x2+m解得m2,n=3.所以 y=-x2+2x+3=(x-1)2+4.所以Q0,3)，頂點 D(1,4).(2)如圖2,作DHy軸于E.由 A(3,0)、C(0,3)、D(1,4)，可得ZAC&ZDCE=45,AO冷,DOR.(3)33.5,Z),(6,3)-n,3mn0,m1.所以ZACD=90.所以 AD=AC+DC=18+2

13、=20.所以 AA2崩.所以tanZCAP 匹=互=1,sinZCAP 匹=互=匝.AC3,23AD2_510(3)直線 CD 勺解析式為y=x+3,于是可設(shè) P(x,x+3).作 PMx 軸于 H,當ZPAOZCAIM,由tanZPAO=tanZCAD 得引1AH31當 P 在 x 軸上方時，-31.解得 x.此時 P(3,-)(如圖2所示).3x32222當 P 在 x 軸下方時，(x3)1.解得x=6.此時R6,-3)(如圖3所示).圖2圖31213【例6】如圖，在平面直角坐標系中 xOy 中，拋物線yx2bxc與 x 軸相交于點 A(-1,0)和點B,與y 軸相交于點 C(0,3)，拋

14、物線的頂點為點 D,聯(lián)結(jié) ACBGDBDC(1)求這條拋物線的表達式及頂點D的坐標；(2)求證：ACADBG(3)如果點 E 在 x 軸上，且在點 B 的右側(cè)，ZBCE=ACO 求點 E 的坐標.滿分解答(1)由拋物線y=x2+bx+c 與 x 軸相交于點A1,0)，設(shè)y=(x+1)(xm).代入點 C(0,3)，得3.所以y=(x+1)(x-3)=-(x22x3)=x2+2x+3=(x-1)2+4.所以點 B 的坐標為(3,0)，頂點 D 的坐標為(1,4).(2)如圖2,由 B(3,0)、C(0,3)、R1,4)，可知 B、C 兩點間的水平距離、豎直距離都是3,GD 兩點間的水平距離、豎直

15、距離都是1.因此 BCDC 與 y 軸的夾角都是45。.DC所以ZBCD=90,tanZDBG-DCBC所以 ZAC&ZDBC 所以ACtADBC壁=13;23由 A(1,0)、C(0,3)，得 O 任1,O3,所以tanZAC&A=-OC3G 是 BD 的中點.所以G2,2).3.解得Ed6.所以 E(6,0).14(3) 設(shè) CE 與 BD 交于點 G.由 ZBC&ZACOZDBC 得 G 序 GC于是可得 C 饑RtDBC 斗邊上的中線，點作 G 血 y 軸與 H,那么也四，即-GHEO2152axbx5(a0)經(jīng)過點A(4,5)，與x軸的負半軸交于點B，與y軸交

16、于點C，且OC5OB，拋物線的頂點為D.(1)求這條拋物線的表達式；(2)聯(lián)結(jié)AB、BC、CD、DA,求四邊形ABCD的面積；(3)如果點E在y軸的正半軸上，且BEOABC，求點E的坐標.【1】如圖，拋物線y(1)拋物線yax2bx5與y軸交于點C,C(0,5),.OC5.OC5OB,OB1.又點B在x軸的負半軸上,B(1,0).拋物線經(jīng)過點A(4,5)和點B(1,0),16a4b,這條拋物線的表達式為yx24x5.(2)由y2x4x5，得頂點D的坐標是(2,9).聯(lián)結(jié)AC.點A的坐標是(4,5),點C的坐標是(0,5),10,8,確邊形ABCDSABCSACD18-(3)過點C作CHAB，垂

17、足為點H.圖2圖3圖4D【參考答案】16-SABC1ABCH10,AB5而,217BHC90,BC26,BHJBC2CH2娘,BO2._33，得EO-,.點E的坐標為(0,).EO322【2】如圖，拋物線y=x2+bx+5與x軸交于點A與B(5,0)點，與y軸交于點C，拋物線的頂點為點P.(1)求拋物線的表達式并寫出頂點P的坐標;(2)在x軸上方的拋物線上有一點D，若？ABD?ABP,試求點D的坐標；(3)設(shè)在直線BC下方的拋物線上有一點Q,若SDBCQ=15，試寫出點Q坐標.參考答案：(1)yx26x5,P(3,4)；(2)D(1,12)；(3)Q(2,3)或(3,4).滿分解答(1)將點巳

18、5,0)代入y=x2+bx+5,得.解得b=6.所以y=x26x+5=(x-3)2-4,頂點 P 的坐標為(3,4).(2)如圖 2,作 DMx 軸于 N.設(shè)拋物線的對稱軸與 x 軸交于點 M由tanZABD=tanZABP 得N現(xiàn).在 RtBCH中,CH2BH3在 RtBOE中,BOE90,tanBEOBOEOBEOABC,18BNBM設(shè)點 D 的坐標為(x,x26x+5),那么-竺5-2-5x2解得x=1.所以點 D 的坐標為(一1,12).19如圖3,設(shè) y 軸上點決方的點G直線 BC 勺距離 G*3 很，那么CG6,G(0,-1).過點 G 乍 BC 勺平行線與拋物線的交點就是要求的點 Q 這條直線為 y=x1.解方程組yX1,得