概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五章

1、精選ppt第五章第五章 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理1 1 切貝謝夫不等式切貝謝夫不等式研究隨機(jī)變量的離差與方差的關(guān)系。ED設(shè)隨機(jī)變量 有期望值與方差。對(duì)任給 0,有2DP(|E|) 2DP(|E |)1 切貝謝夫不等式：若 是離散證：型隨機(jī)變量,kkP(x )p 精選pptkk|xE |P(|E |)P(x ) k2kk2|xE |(xE )p 2kk2k(xE )p2D若 是連續(xù)型隨機(jī)變量,(x),的概率密度為精選pptP(|E |)P(E)P(E) EE(x)dx(x)dx22E22E(xE )(xE )(x)dx(x)dx 22(xE )(x)dx 2D精選ppt1 設(shè)

2、 是擲一顆骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若給定1，2，實(shí)際計(jì)算P(| -E |),并驗(yàn)證切貝謝夫不例等式成立。1P(k),k1,2,.,66 解：7E2 35D12 72P12371P223235112 D時(shí)，235248 D時(shí)，2313精選ppt021000設(shè)電站供電網(wǎng)有盞電燈，夜晚每一盞燈開(kāi)燈的概率都是0.7，而假定開(kāi)、關(guān)事件彼此獨(dú)立，估計(jì)夜晚同時(shí)開(kāi)著的燈數(shù)在6800與7200之間例的概率。令 表示夜晚同時(shí)開(kāi)著的燈解：的數(shù)目。B(10000,0.7)7199kk10000 k10000k 6801P(68007200)C0.7 0.3 用切貝謝夫不等式估計(jì)：Enp 7000Dnpq 2100P(680

3、07200)P(|7000| 200) 221001200 0.95精選ppt1nniiii 1,.,n1E,D8,(i1,2,.,3,n)n 若是 個(gè)相互獨(dú)立，同分布的隨機(jī)變量，。對(duì)于 寫(xiě)出 所滿足的切貝謝夫不等式，并估計(jì)P(| - |例0,n充分大時(shí)，必有n+1 且nnnlimP(|0|) n1limPn n1lim 1n=1 n即依概率收斂于0n3設(shè)為例兩點(diǎn)分布 n1aaa. nn定義若存在常數(shù) ，使對(duì)于任何 0，有l(wèi)imP(|0nlimPp1n 大量重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的頻率接近于概率。若P(A)很小，則A發(fā)生的頻率也很小如P(A)=0.001,約在1000次試驗(yàn)中，A發(fā)生一次在一次試

4、驗(yàn)中認(rèn)為A幾乎不可能發(fā)生。這稱(chēng)為小概率事件的實(shí)際不可能性原理。精選ppt12inini 13 (),.a(i1,2,.)1limPa1n 定理辛欽大數(shù)定律 如果是相互獨(dú)立有相同分布的隨機(jī)變量,有E則對(duì)任意給定的 0，有12n,., 即的算術(shù)平均值依概率收斂于a實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)某一量a，在不變條件下重復(fù)測(cè)量n次，得到觀察值x1,xnnii 1nxa1當(dāng) 充分大時(shí)，可用作為 的近似值。n精選ppt3 3 中心極限定理中心極限定理釘板試驗(yàn)精選ppt 研究在什么條件下，大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布以正態(tài)分布為極限，這一類(lèi)定理稱(chēng)為中心極限定理。 一般地，若某項(xiàng)偶然因素對(duì)總和的影響是均勻的、微小的，即沒(méi)有一項(xiàng)起

5、特別突出的作用，則這些大量獨(dú)立偶然因素總和的隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布。212iiii,.Ea ,D 設(shè)相互獨(dú)立，innii=1若每個(gè)對(duì)總和 影響不太大，則當(dāng) 很大時(shí)，近似服從正態(tài)分布。精選pptnn2iii 1i 1Na ,所以nii 1n2ii 1aN(0,1)則這就是如下的李雅普諾夫定理：212iiiiinii 1nii0ni 1n1.Ea ,D,limP(a )x(x). nn2ii=1定理設(shè) ， ，相互獨(dú)立，若某個(gè) 對(duì)總和影響不大，令S 則1Snnnn2iiiii 1i 1i 1i 1EEa ,DD 由于精選ppt例1 一個(gè)螺絲釘重量是一個(gè)隨機(jī)變量，期望值是1兩，標(biāo)準(zhǔn)差是0.1兩。求一

6、盒(100個(gè))同型號(hào)螺絲釘?shù)闹亓砍^(guò)10.2斤的概率。100iiii1設(shè)第 個(gè)螺絲釘重量為 ，一盒重量為 解：21100ii0.1,D0.1 ,.,相互獨(dú)立，E100ii 1EE100() 兩100ii 1DD1 N(100,1)近似服從正態(tài)分布P(102) 100P211001 P21 01(2) =0.02275精選ppt例2 對(duì)敵人的防御地段進(jìn)行100次轟炸，每次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)目是一個(gè)隨機(jī)變量，其期望值為2，方差為1.69。求在100次轟炸中有180顆到220顆炸彈命中目標(biāo)的概率。ii第 次轟炸命中目標(biāo)的次數(shù)為解：100ii1100次轟炸命中目標(biāo)的次數(shù) 100ii1EE200 10

7、0ii1DD169 D13 2N(200,13 )P(180220) |200|20P131302(1.54) 10.87644精選ppt14848ii1.011,483設(shè) ，相互獨(dú)立，都是，上均勻分布。記 求P(例0.4)ii11,D212 法一：E解48ii1E24,D4 記 ,2N(24,2 )148因?yàn)?P(0.4) 1P0.448 P(19.2) 2419.224P220( 2.4) 01(2.4) =0.008158精選ppt解法二：正態(tài)分布的線性函數(shù)也是正態(tài)分布48ii1EE48 1120.548i2i1DD48 11576212421N 0.5,240.50.40.5P(0.4

8、)P112424 0( 2.4) =0.008158精選ppt例4 某大型商場(chǎng)每天接待顧客10000人，設(shè)某位顧客的消費(fèi)額(元)服從100,1000上的均勻分布，且顧客的消費(fèi)額是獨(dú)立的，試求該商場(chǎng)的銷(xiāo)售額在平均銷(xiāo)售額上、下浮動(dòng)不超過(guò)20000元的概率。ii第 位顧客消費(fèi)額位 ，商場(chǎng)銷(xiāo)售額：為解，則10000ii1iE550 2i1D(1000 100)12 2900122900E5500000,D1000012 P(550000020000550000020000) 550000020000P100 900100 900121202(0.77) 1 0.56精選ppt例5 計(jì)算機(jī)在進(jìn)行加法時(shí)，

9、每個(gè)加數(shù)取整數(shù)(四舍五入)，設(shè)所有取整誤差是相互獨(dú)立的，且它們都在-0.5，0.5上服從均勻分布。(1)若將1500個(gè)數(shù)相加，問(wèn)誤差總和的絕對(duì)值超過(guò)15的概率是多少？(2)最少幾個(gè)數(shù)相加在一起可使得誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率不超過(guò)90？121500(1). 解：iE0 i1D12 E0 D125 P(| 15) 1 P(| 15) |0|151P125125 01 (2(1.34) 1) =0.18024精選ppt(2)設(shè)有n個(gè)數(shù)相加12n.,E0 nD12 |0|10P(| 10)Pnn1212 01021n12 0.90100.95n12即101.64n12n446解得精選ppt二項(xiàng)分

10、布可以看成多個(gè)0-1分布之和當(dāng)n增加時(shí)，它以正態(tài)分布為極限。00ab(b)(a)bnpanpnpqnpq (2)積分極限定理：當(dāng)n時(shí)P()02 ()(1)nknpnpq 定理拉普拉斯定理局部極限定理：當(dāng)時(shí)1P( =k)npq精選ppt例6 10部機(jī)器獨(dú)立工作，每部停機(jī)的概率為0.2，求3部機(jī)器同時(shí)停機(jī)的概率。設(shè)同時(shí)停機(jī)的數(shù)目為 ，它服從解：二項(xiàng)分布n10,p0.2np2npq1.265(1)直接計(jì)算33710P(3)C 0.2 0.80.2013 (2)用局部極限定理001knp132P(3)1.2651.265npqnpq 01(0.79)0.23081.265相差較大，這是因?yàn)閚較小。n3

11、0一般要求精選ppt例7 每顆炮彈命中飛機(jī)的概率為0.01，求500發(fā)炮彈中命中5發(fā)的概率。500發(fā)炮彈中命中飛機(jī)的數(shù)目 服解：從二項(xiàng)分布n=500 p=0.01np5npq2.225(1)直接計(jì)算55495500P(5)C0.01 0.09 0.1763501knpP(5)npqnpq (2)用局部極限定理01552.2252.22501(0)2.2250.1793精選ppt(3)由于n很大，p很小，也可用Poisson分布計(jì)算np5 查表得P5(5)=0.175467比用正態(tài)分布更精確正態(tài)分布與Poisson分布都是二項(xiàng)分布的極限分布。n 用正態(tài)分布要求：Poissonn,p0,np 用分

12、布要求：np(q)對(duì) 很大，或很小的二項(xiàng)分布(np5)用Poisson分布近似計(jì)算比用正態(tài)分布精確精選ppt實(shí)際應(yīng)用更多的是積分極限定理廢品數(shù) 服解：從二項(xiàng)分布n=10000p=0.005np50, npq7.0532N(50,7.053 )近似服從正態(tài)分布507050P(70)P7.0537.053 0(2.84) =0.9977例8 產(chǎn)品為廢品的概率為p=0.005,求10000件產(chǎn)品中廢品數(shù)不大于70的概率。精選ppt例9 已知一次試驗(yàn)中P(A)=0.75,分別用切貝謝夫不等式與中心極限定理計(jì)算。(1)在1000次試驗(yàn)中，A發(fā)生的次數(shù)在700-800之間的概率。(2)n取多大時(shí)，才能使n

13、次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的頻率在0.740.76間的概率至少為0.9？(1)A發(fā)生的次數(shù) 服從解：二項(xiàng)分布n=1000p=0.75Enp750 Dnpq187.5 用切貝謝夫不等式計(jì)算P(700800)P(|750| 50) 2187.5150 =0.925精選ppt用正態(tài)分布計(jì)算P(700800)P(|750| 50) 75050P187.5187.502(3.65) 10.9997378 n(2) 次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù) 服從二項(xiàng)分布Enp0.75n Dnpq0.1875n 0.740.760.9要使Pn用切貝謝夫不等式精選pptP 0.740.76P(0.74n0.76n)n P(|0.75n| 0.01n)20.1875n1(0.01n) 18751n 0.9n18750故用正態(tài)分布P 0.740.76P(|0.75n| 0.01n)n0.75n0.01nP0.1875n0.1875n00.012n10.1875 0.90.01n1.640.1875n5043精選ppt例10