變化率與導數(shù)的概念

1、(2)在經(jīng)營某商品中，甲用在經(jīng)營某商品中，甲用5 5年時間年時間掙到掙到1010萬萬元，乙用元，乙用5 5個月時間個月時間掙到掙到2 2萬元，如何比較萬元，如何比較和評價甲，乙兩人的經(jīng)營成果？和評價甲，乙兩人的經(jīng)營成果？(1)在經(jīng)營某商品中，甲掙到在經(jīng)營某商品中，甲掙到10萬元，乙掙萬元，乙掙到到2萬元，如何比較和評價甲，乙兩人的經(jīng)萬元，如何比較和評價甲，乙兩人的經(jīng)營成果？營成果？想一想想一想本題說明本題說明: :y y與與t t中僅比較一個量的變化是中僅比較一個量的變化是不行的不行的. .問題情境問題情境1 1 過山車過山車是一項富有刺激性的娛樂工具。是一項富有刺激性的娛樂工具。那種風馳電掣

2、、有驚無險的快感令不少人那種風馳電掣、有驚無險的快感令不少人著迷。著迷。 問題情境問題情境3 3o ox xy yB BC CB BC Cx xx xy yy yk k容易看出點容易看出點B,CB,C之間的曲線較之間的曲線較點點A,BA,B之間的曲線更加之間的曲線更加“陡陡峭峭”. .如何如何量化量化陡峭程度呢？陡峭程度呢？該比值近似量化該比值近似量化B,CB,C之間之間這一段曲線的陡峭程度這一段曲線的陡峭程度. .稱該比值為曲線在稱該比值為曲線在B,CB,C之之間這一段間這一段平均變化率平均變化率. .B BA AC C交流與討論交流與討論平均變化率的定義：平均變化率的定義： )(xf一般地

3、，函數(shù)在區(qū)間一般地，函數(shù)在區(qū)間 上的平均變化率為上的平均變化率為 12 ,x x2121()()fxfxxx(2)平均變化率是曲線陡峭程度的平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化數(shù)量化”，或者說曲線陡峭程度是平均變化率或者說曲線陡峭程度是平均變化率“視覺化視覺化”建構數(shù)學理論建構數(shù)學理論說明說明:(1)平均變化率的實質就是平均變化率的實質就是:兩點兩點(x1,f(x1),(x2,f(x2)連連線的斜率線的斜率.yx（以直代曲思想）（以直代曲思想）（數(shù)形結合思想）（數(shù)形結合思想）“數(shù)離形時難直觀，形離數(shù)時難入微數(shù)離形時難直觀，形離數(shù)時難入微”華羅庚華羅庚平均變化率平均變化率 )(xf一般的，函數(shù)在區(qū)

4、間上一般的，函數(shù)在區(qū)間上 的的平均變化率平均變化率為為 ,21xx 其幾何意義是其幾何意義是 表示曲線上兩點連線（就是表示曲線上兩點連線（就是曲線的割線）的斜率。曲線的割線）的斜率。結論：結論：yx2121()()fxfxxx例例1、已知函數(shù)、已知函數(shù)f(x)=2x+1, g(x)=- -2x ,分別計算分別計算在區(qū)間在區(qū)間-3，-1，0，5上上 f(x)及及g(x) 的平均的平均變化率變化率. 數(shù)學應用數(shù)學應用思考思考: :一次函數(shù)一次函數(shù)y=kx+by=kx+b在區(qū)間在區(qū)間m,nm,n上的平上的平均變化率有什么特點？均變化率有什么特點？例例2、已知函數(shù)、已知函數(shù) f(x)=x2,分別計算分

5、別計算f(x)在下列在下列區(qū)間上的平均變化率：區(qū)間上的平均變化率： （1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001. 432.12.001（5）0.9，1；（6）0.99，1；（7）0.999，1.變題變題: :1.991.91.999課后思考課后思考: :為什么趨近于為什么趨近于2 2呢？呢？2 2的幾何意義是的幾何意義是什么？什么？數(shù)學應用數(shù)學應用xyp p133.1.2導數(shù)的概念導數(shù)的概念高二數(shù)學高二數(shù)學 選修選修1-1 第三章第三章 導數(shù)及其應用導數(shù)及其應用 在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度為度為h（單位：（單位：m）與

6、起跳后的時間）與起跳后的時間t(單位：單位：s )存在函數(shù)關系存在函數(shù)關系h=-4.9t2+6.5t+10hto求求2時的瞬時速度？時的瞬時速度？20時時20時時2二二.新授課學習新授課學習2,22,2,.ttv計算區(qū)間和區(qū)間內平均速度 可以得到如下表格t0時時, 在在2, 2 +t 這段時這段時間內間內1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv13.051v 當t = 0.01時,13.149v 當t = 0.01時,0951.13v當t = 0.001時,1049.13v當t =0.001時,13.09951v 當t = 0.0001時,13.10049v 當t =0.0001時,0

7、99951.13vt = 0.00001,100049.13vt = 0.00001,13.0999951v t = 0.000001,13.1000049v t =0.000001, 平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢勢.l如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢?105 . 69 . 4)(2ttth當當t趨近于趨近于0時時,平均平均速度有什么變化趨勢速度有什么變化趨勢? .,.lim,11302113220 定值趨近于確平均速度時趨勢近于當表示我們用為了表述方便vttththt .時時的的極極

8、限限趨趨近近于于當當是是我我們們稱稱確確定定值值022113tthth 瞬時速度0limt(2)(2)13.1htht 示？處的瞬時變化率怎么表在、函數(shù)xxfxxflimxylimxf0 x0 x0即：、函數(shù)的平均變化率怎么表示？、函數(shù)的平均變化率怎么表示？思考：0 xlim 000 xxyxfxxxfy或記作：處的導數(shù)，在我們稱它為函數(shù)定義定義:函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是xxxfxxfxx ylim )()(lim 0000稱為函數(shù)稱為函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的處的導數(shù)導數(shù), 記作記作0000( )() ()li

9、m. xf xxf xfxx )(0 xf 或或 , 即即0|xxy。其導數(shù)值一般也不相同的值有關，不同的與000)(. 1xxxf 的具體取值無關。與 xxf)(. 20一概念的兩個名稱。瞬時變化率與導數(shù)是同. 3導數(shù)的作用：導數(shù)的作用：導數(shù)可以描繪任何事物的瞬時變化率導數(shù)可以描繪任何事物的瞬時變化率 由導數(shù)的意義可知由導數(shù)的意義可知,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點在點x0處的導數(shù)處的導數(shù)的基本方法是的基本方法是:);()()1(00 xfxxfy 求求函函數(shù)數(shù)的的增增量量;)()()2(00 xxfxxfxy 求求平平均均變變化化率率.lim)()3(00 xyxfx 取取極極限限，得得導導

10、數(shù)數(shù)注意注意:這里的增量不是一般意義上的增量這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負它可正也可負. 自變量的增量自變量的增量x的形式是多樣的的形式是多樣的,但不論但不論x選擇選擇 哪種形式哪種形式, y也必須選擇與之相對應的形式也必須選擇與之相對應的形式.一差、二比、三極限一差、二比、三極限例例1. (1)求函數(shù)求函數(shù)y=3x2在在x=1處的導數(shù)處的導數(shù).(2)求函數(shù)求函數(shù)f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均附近的平均變化率，并求出在該點處的導數(shù)變化率，并求出在該點處的導數(shù) (3)質點運動規(guī)律為質點運動規(guī)律為s=t2+3，求，求質點在質點在t=3的瞬時速度的瞬時速度.三典例分析三典例

11、分析題型二：求函數(shù)在某處的導數(shù)題型二：求函數(shù)在某處的導數(shù)例例1. (1)求函數(shù)求函數(shù)y=3x2在在x=1處的導數(shù)處的導數(shù).三典例分析三典例分析題型二：求函數(shù)在某處的導數(shù)題型二：求函數(shù)在某處的導數(shù)(1)(1)yfxf解：23(1)3x263()xx263()yxxxx63 x /00(1)limlim(63)6xxyfxx例例1.(2)求函數(shù)求函數(shù)f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均變附近的平均變化率，并求出在該點處的導數(shù)化率，并求出在該點處的導數(shù) 三典例分析三典例分析題型二：求函數(shù)在某處的導數(shù)題型二：求函數(shù)在某處的導數(shù)( 1)( 1)yfxf 解：22( 1)( 1) ( 1)( 1)x

12、x 2()3xx 2()3yxxxx平均變化率3x /00( 1)limlim(3)3xxyfxx例例1.(3)質點運動規(guī)律為質點運動規(guī)律為s=t2+3，求質點在，求質點在t=3的瞬時速度的瞬時速度.三典例分析三典例分析題型二：求函數(shù)在某處的導數(shù)題型二：求函數(shù)在某處的導數(shù)(3)(3)sftf解：22(3)3(33)t 2()6tt2()6stttt6t/00(3)limlim(6)6ttsftt例例1:(1)求函數(shù)求函數(shù)y=x2在在x=1處的導數(shù)處的導數(shù); (2)求函數(shù)求函數(shù)y=x+1/x在在x=2處的導數(shù)處的導數(shù).,)(21)1 () 1 (222xxxy 解解：,2)(22xxxxxy .

13、 2|, 2)2(limlim100 xxxyxxy,)2( 2)212(21)2() 2(xxxxxy ,)2( 211)2( 2xxxxxxy .43|,43411)2( 211 limlim200 xxxyxxy.,21| ,:2000的的值值求求且且處處附附近近有有定定義義在在已已知知函函數(shù)數(shù)例例xyxxxyxx ,:00 xxxy 解解.1)()(0000000000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxy ,211limlim00000 xxxxxyxx . 1,2121,21| 000 xxyxx得得由由.yxy已知，求1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 練

14、習練習:xyxxxxxxDD=+ D-=+ D+解：.)0( |2的的導導數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)：利利用用導導數(shù)數(shù)的的定定義義求求函函例例 xxy|,yx解：0,xyx 當時.0101 xxy0,xyx當時()1,yxxxxx 則0lim1;xyx ()()1,yxxxxx 0lim1;xyx .,62).80(157:,.,220并說明它們的意義的瞬時變化率原油溫度時和第計算第為單位的溫度原油時如果在和加熱行冷卻油進對原需要品產(chǎn)柴油、塑膠等各種不同將原油精煉為汽油、例hhxxxxfCxh,根據(jù)導數(shù)的定義 xfxfxy22 .6f和 262,fhh就是原油溫度的瞬時變化率時和第在第解 xxx15272152

15、7222 , 3742 xxxxx , 33limlim2,00 xxyfxx所以 .56 f同理可得.運運算算過過程程請請同同學學們們自自己己完完成成具具體體0026,35.2,3/;6,5/.hhhC hhC h在第與第時 原油溫度的瞬時變化率分別為與它說明：在第附近 原油溫度大約以的速率下降在附近 原油溫度大約以的速率上升00,.fxx一般地反映了原油溫度在時刻 附近的變化情況計算第計算第3（h）和第）和第5（h）時，原油溫度的瞬時）時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。變化率，并說明它們的意義。 35f 13f）（，解：這說明這說明:在第在第3小時附近，原油溫度大約以小時附近，原油溫度大約以1的速率下降，的速率下降，在第在第5小時附近，小時附近，原油溫度大約以原油溫度大約以3的速率上升。的速率上升。練習：練習：小結