結(jié)構(gòu)力學(xué)第七章計(jì)算超靜定梁結(jié)構(gòu)力學(xué)

1、本章內(nèi)容本章內(nèi)容 超靜定結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，超靜定次數(shù)的確定，超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算思路方法； 力法基本概念，荷載作用下用力法計(jì)算超靜定梁、剛架、排架、桁架和組合結(jié)構(gòu)。 支座移動(dòng)、溫度改變用力法計(jì)算超靜定梁和剛架。 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的特性及對(duì)稱性的利用。 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算及力法校核。目的要求目的要求 1. 掌握力法的基本概念， 2. 熟練掌握力法解超靜定結(jié)構(gòu)的方法。 3. 能熟練利用對(duì)稱性，掌握半結(jié)構(gòu)的取法。 4. 掌握超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算及力法計(jì)算結(jié)果的校核。重重 點(diǎn)點(diǎn) 荷載作用下的超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算。 第第7章章 力力 法法 所謂超靜定結(jié)構(gòu)從機(jī)動(dòng)分析來講,不僅幾何形狀不變而且還有多余聯(lián)系,從受力分析來講,其全部

2、反力及內(nèi)力單憑靜力平衡條件是無法確定的,還必須考慮結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件。 常見的超靜定結(jié)構(gòu)有超靜定梁、超靜定剛架、超靜定桁架、超靜定拱，分別見圖7-1(a)、(b)、(c)、(d)及超靜定組合結(jié)構(gòu)見圖7-1(e)、(f)。(a)(c)(e)(b)(d)(f)圖7-1 7-1 7-1 超靜定結(jié)構(gòu)的概述超靜定結(jié)構(gòu)的概述 1超靜定結(jié)構(gòu)的概述超靜定結(jié)構(gòu)的概述 求解任何超靜定結(jié)構(gòu)，都要考慮三個(gè)方面的條件： （1）平衡條件；（2）幾何條件（變形條件或位移條件）；（3）物理?xiàng)l件。 力法和位移法是超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算的兩種基本方法。力法是以多余聯(lián)系的約束力多余未知力作未知量,位移法則是以結(jié)點(diǎn)的某些位移作為基本未知量。

3、計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)除上述兩種方法外,常用的還有力矩分配法、有限單元法等。2求解超靜定結(jié)構(gòu)要考慮的條件 超靜定結(jié)構(gòu)多余聯(lián)系的數(shù)目稱為該結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)超靜定次數(shù),并用表示。多余聯(lián)系中的力稱為多余未知力。n=1X1(a)(c)n=2X1X1X2X2(e)n=1X1X1X2X2X1X1(d)n=3X3X3n=1(b)(f)X1X1X1n=1圖7-27-2 7-2 超靜定次數(shù)的確定 1超靜定次數(shù)超靜定次數(shù) 力法計(jì)算時(shí),首先要判斷結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。一般常用去掉多余聯(lián)系使原結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)的方法進(jìn)行。去掉多余聯(lián)系的方式常用以下幾種： （1）切斷一根鏈桿或去掉一個(gè)支座鏈桿相當(dāng)于去掉一個(gè)聯(lián)系，如圖7-2(a)、(

4、b)所示。 （2）去掉一個(gè)單鉸相當(dāng)于去掉兩個(gè)聯(lián)系，如圖7-2(c)所示。 （3）切斷一根受彎桿件相當(dāng)于去掉三個(gè)聯(lián)系，如圖7-2(d)所示。 （4）將受彎桿件的剛性聯(lián)結(jié)改為鉸結(jié)或?qū)⒐潭ㄖё臑楣潭ㄣq支座,相當(dāng)于去掉一個(gè)聯(lián)系，如圖7-2(e)、(f)所示。 （5）一個(gè)封閉無鉸的框格,其超靜定次數(shù)等于3，見圖7-2(d)所示。當(dāng)結(jié)構(gòu)有f個(gè)封閉無鉸框格時(shí),其超靜定次數(shù)為3f。當(dāng)結(jié)構(gòu)有若干個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)時(shí)，設(shè)單鉸數(shù)目為h，則超靜定次數(shù)n=3f-h。 2超靜定次數(shù)的確定超靜定次數(shù)的確定 去掉多余約束后,則必須用與其對(duì)應(yīng)的約束力代替其作用,這個(gè)約束力用廣義力表示,其中=1,2,3,。圖7-2(b)、(c)、(d)

5、、(e)所去掉的約束均為限制切口兩側(cè)截面的相對(duì)位移,故對(duì)應(yīng)的約束力應(yīng)為一對(duì)大小相等方向相反的多余未知力。對(duì)于同一個(gè)超靜定結(jié)構(gòu),其超靜定次數(shù)是一個(gè)定值,但哪些聯(lián)系可以當(dāng)作多余聯(lián)系卻有多種方案,總的原則必須是保證在去掉多余約束后得到的是一個(gè)靜定的幾何不變的結(jié)構(gòu)。圖7-3(a)所示結(jié)構(gòu)=1,把A或B支座處水平鏈桿當(dāng)作多余聯(lián)系,去掉它們均可得到一個(gè)靜定的結(jié)構(gòu)，見圖7-3(b)、(c)。但若將A或B支座處的豎向鏈桿去掉,則圖7-3(d)就成為一個(gè)幾何可變體系,這是因?yàn)樯鲜鲐Q向鏈桿不是多余約束。 ABBAABBAX1X1(a)(b)(c)(d)圖7-3 以簡(jiǎn)單例子來說明力法的基本概念。 圖7-4(a)所示

6、的連續(xù)梁超靜定次數(shù)=1。若將B支座鏈桿當(dāng)作多余聯(lián)系而去掉，代圖7-4之以多余未知力X1，得到圖7-4(b)所示基本結(jié)構(gòu)。在力法中把原超靜定結(jié)構(gòu)稱為原結(jié)構(gòu)，去掉多余聯(lián)系后的靜定結(jié)構(gòu)稱為基本結(jié)構(gòu)。所去掉的多余聯(lián)系，則以相應(yīng)的多余未知力X1來代替。 BACql2l2原 結(jié) 構(gòu) qCA基 本 體 系 AC11BX1ACqipB(a)(b)(c)(d)X1 圖7-4 7-3 7-3 力法的基本概念力法的基本概念 這樣，基本結(jié)構(gòu)就同時(shí)承受著荷載和多余未知力X1的作用，基本結(jié)構(gòu)在原有荷載和多余未知力X1共同作用下的體系稱為力法的基本體系。現(xiàn)在分析一下如何計(jì)算X1 。對(duì)原結(jié)構(gòu)講它代表B支座反力，是一個(gè)被動(dòng)力，

7、而對(duì)基本結(jié)構(gòu)來講它是一個(gè)主動(dòng)力，只要給X1任意值(保證結(jié)構(gòu)不被破壞為前提)，則荷載q、 X1及A、C支座反力都能構(gòu)成一組平衡力系，為了確定多余未知力，則必須考慮基本結(jié)構(gòu)在X1作用點(diǎn)處的變形條件。由于基本結(jié)構(gòu)在受力與變形兩方面同原結(jié)構(gòu)應(yīng)一致，本例中原結(jié)構(gòu)在B支座處無豎向線位移，因此基本結(jié)構(gòu)在X1 、q共同作用下B處的豎向線位移也必須等于零。這一變形協(xié)調(diào)條件可用公式表達(dá)如下： 1 =0 (a) 等式左端表示基本結(jié)構(gòu)在作用點(diǎn)的豎向線位移(沿方向的位移)，等號(hào)右端表示原結(jié)構(gòu)在B點(diǎn)的豎向線位移。設(shè)、分別表示基本結(jié)構(gòu)在及荷載單獨(dú)作用時(shí)，作用點(diǎn)沿方向的位移，其符號(hào)都以沿假定的方向?yàn)檎妶D7-4(c)、(d

8、)，根據(jù)疊加原理，變形協(xié)調(diào)條件式(a)可寫為 (b) 若用表示當(dāng)=1時(shí)B點(diǎn)的豎向線位移，則，于是(b)式又可寫為： (7-1) 式中的及均為靜定結(jié)構(gòu)在已知力作用下的位移，完全可用第六章所學(xué)方法進(jìn)行計(jì)算，則多余未知力即為 (c)基本結(jié)構(gòu)在及荷載共同作用下的支座反力、內(nèi)力均可利用靜力平衡方程得到。 0111P01111PX1111PX 等式左端表示基本結(jié)構(gòu)在作用點(diǎn)的豎向線位移(沿方向的位移)，等號(hào)右端表示原結(jié)構(gòu)在B點(diǎn)的豎向線位移。設(shè)、分別表示基本結(jié)構(gòu)在及荷載單獨(dú)作用時(shí)，作用點(diǎn)沿方向的位移，其符號(hào)都以沿假定的方向?yàn)檎?，見圖7-4(c)、(d)，根據(jù)疊加原理，變形協(xié)調(diào)條件式(a)可寫為 (b) 若用表

9、示當(dāng)=1時(shí)B點(diǎn)的豎向線位移，則，于是(b)式又可寫為： (7-1) 式中的及均為靜定結(jié)構(gòu)在已知力作用下的位移，完全可用第六章所學(xué)方法進(jìn)行計(jì)算，則多余未知力即為 (c)基本結(jié)構(gòu)在及荷載共同作用下的支座反力、內(nèi)力均可利用靜力平衡方程得到。 0111P 由前面分析可知，基本結(jié)構(gòu)的反力、內(nèi)力也就是原結(jié)構(gòu)的反力、內(nèi)力。這種在基本結(jié)構(gòu)上利用變形協(xié)調(diào)條件首先求出多余未知力，然后再根據(jù)平衡條件求出全部反力及內(nèi)力的計(jì)算方法，稱為力法，式(7-1)稱為力法方程。 力法的基本特點(diǎn)可歸納如下： 1.以多余未知力(被撤消多余聯(lián)系處的約束力)為基本未知量。 2.根據(jù)所去掉的多余聯(lián)系處的變形協(xié)調(diào)條件建立力法方程，從而求出多

10、余未知力。 3.根據(jù)平衡條件求出全部反力及內(nèi)力。 4.一切計(jì)算均在基本結(jié)構(gòu)上進(jìn)行。 例例7-1 用力法計(jì)算圖7-5(a)所示單跨超靜定梁的內(nèi)力。EI為常量。 解解： (1) n=1。 (2) 選圖7-5(b)為基本結(jié)構(gòu)。 (3) 列力法方程。 (4) 求 、 。利用圖乘法求 、 ，為此應(yīng)分別畫出基本結(jié)構(gòu)在 =1及荷載P作用下彎矩圖 圖、 圖，如圖7-5(c)、(d)所示。 CCFl2l2FA原結(jié)構(gòu)基本體系A(chǔ)ll2X1=1M1圖AFFl2Mp圖A632FlFl532M圖516FAFS圖(+)(-)1116F(a)(b)(c)(d)(e)(f)X1 A01111PX11P1P1111X1MPM 圖

11、7-5由于虛擬狀態(tài)的 圖與 圖相同，故 (5) 解力法方程。所得正號(hào)說明X1的實(shí)際方向與假設(shè)方向相同。 M1MEIllllEIdsEIMM3)3221(13111dsEIMMPP1111( 2)62222lFllPllEI 3548FlEI 1111516PFX (6) 繪內(nèi)力圖。 由于在整個(gè)力法的解題過程中，已繪出 圖及MP 圖，則最后彎矩圖即可利用疊加原理得到 。而剪力圖則可根據(jù)靜力平衡條件求得，如圖7-5(e)、(f)所示。 上例若選圖7-6為基本結(jié)構(gòu)，仍可得到與圖7-5(e)、(f)完全相同的內(nèi)力圖，只是此時(shí)的 (逆時(shí)針轉(zhuǎn))表示MA值。1MPMXMM111631FlXFABCX1基本體

12、系圖7-6 圖7-7(a)所示結(jié)構(gòu)=3，若選圖7-7(b)所示懸臂剛架為基本結(jié)構(gòu)，用X1、X2、X3分別表示與原結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的B支座處的三個(gè)支座反力，利用變形協(xié)調(diào)條件1=0、 2=0 、3=0 ，可得到 (a)式中11、 21 、31分別表示基本結(jié)構(gòu)在 =1單獨(dú)作用時(shí)截面沿X1、X2、X3 方向的位移， 12、 22 、32分別表示基本結(jié)構(gòu)在 =1單獨(dú)作用時(shí)B截面沿X1、X2、X3方向01313212111PXXX02323222121PXXX31132233330PXXX 1X2X7-4 7-4 力法的典型方程力法的典型方程 1. 力法的典型方程力法的典型方程 的位移，13、23 、33及1p

13、、2p 、3p 分別表示基本結(jié)構(gòu)在 =1及荷載單獨(dú)作用時(shí)B截面沿X1、X2、X3方向的位移，如圖7-7(c)、(d)、(e)、(f)所示。本例原結(jié)構(gòu)在B支座處無任何方向的支座移動(dòng)，故(a)式等號(hào)右端均為零。3X原 結(jié) 構(gòu)CBAF1F2F2F1AX1X2X3CCX2= 1X3= 1CC3 P2 P1 PF1F2(a )(b )(c )(d )(e )(f)X11基 本 體 系圖7-7 由上述分析，可推論對(duì)n次超靜定結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，其多余求知力有n個(gè)，對(duì)應(yīng)的變形協(xié)調(diào)條件也為n個(gè)，從而可列出n個(gè)線性方程 基本結(jié)構(gòu)在全部多余未知力及荷載共同作用下，在去掉各多余聯(lián)系處沿各多余未知力方向上的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)

14、相應(yīng)的位移相等。 011313212111 PnnXXXX022323222121 PnnXXXX0332211 nPnnnnnnXXXX （7-2） 2. 力法典型方程的物理意義力法典型方程的物理意義 式(7-2)中系數(shù)ii(=1,2,3,n)表示基本結(jié)構(gòu)由 =1引起的在Xi方向的位移，稱為主系數(shù)，其值永為正。其余的系數(shù)ij (ij)( j=1,2,3,n)表示基本結(jié)構(gòu)由 =1引起的在Xi作用點(diǎn)沿Xi方向的位移，稱為副系數(shù)，其值可能為正也可能為負(fù)或者為零，并根據(jù)位移互等定理有ij = ji。 ip表示基本結(jié)構(gòu)由荷載引起的在Xi作用點(diǎn)沿Xi方向的位移，稱為自由項(xiàng)，其值可能為正或負(fù)或零。由于式(

15、15-2)在組成上具有一定的規(guī)律，故稱它為力法的典型方程。iXjX 典型方程中的系數(shù)及自由項(xiàng)的計(jì)算公式： 對(duì)于受彎桿件： 對(duì)于桁架中的桿件：當(dāng)由式(7-2)解出多余未知力X1 、 X2 、 Xn后，最后彎矩圖可根據(jù) 疊加而得。桁架中各桿的軸力可用 而得。 EIdsMiii2EIdsMMjijiijEIdsMMPiiPEAlFNiii2EAlFFNjNijiijEAlFFNPNiiPPnnMXMXMXMM 2211NPnNnNNNFXFXFXFF2211 (1) 判斷超靜定次數(shù)n。 (2) 去掉原結(jié)構(gòu)的多余聯(lián)系，代之以多余未知力，得到一個(gè)靜定結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)。 (3) 根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，建立力法典型

16、方程。 (4) 繪 、MP圖(二力桿應(yīng)求出 、FNP值)，按照靜定結(jié)構(gòu)求位移的方法，計(jì)算典型方程中所有系數(shù)及自由項(xiàng)。 (5) 解典型方程，求出多余未知力。 (6) 按靜定結(jié)構(gòu)分析方法，用疊加法或平衡條件求出原結(jié)構(gòu)各桿內(nèi)力。 iMNiF7-5 7-5 力法的計(jì)算步驟和示例力法的計(jì)算步驟和示例 1. 力法的計(jì)算步驟力法的計(jì)算步驟2. 舉例舉例下面用一個(gè)例題進(jìn)一步說明力法的具體計(jì)算。 例例7-2 用力法計(jì)算圖7-8(a)所示的剛架的內(nèi)力，E為常量。FlADIIBC2 Il2l2原 結(jié) 構(gòu)FX2X1X1= 1M1圖llFX2= 1111M2圖Mp圖F4F l5 74 5M圖1 7 91 25 74 7

17、 2FS圖4 4 85 7( + )(-)(-)( - )( - )(-)(-)5 7472( a )( b )( d )( c )( g )( f )( e )( h )448FN圖9 2 0F l( )( ) F9 2 09 2 0 F( )基 本 體 系圖7-8 解：解：(1)n =2。 (2) 選基本結(jié)構(gòu)如圖7-8(b)所示。 (3) 列力法典型方程。 (4) 繪 、 、MP圖，如圖7-8(c)、(d)、(e)所示。計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)。1M2M01212111PXX02222121PXXEIllllEIlllEI67)(21)3221(23112121243)21(21)121(1EIl

18、llEIllEI221127(1 1)(1)2236lllEIEIEI EIFlllFlEIP16)421(2131EIFllFlEIP32)21421(2122 （5）解力法方程，求解X1 、X2值。 （順時(shí)針轉(zhuǎn)） (6) 繪內(nèi)力圖。其中 ，見圖7-8(f)所示。剪力圖及軸力圖利用平衡條件分別求出各桿的桿端剪力及軸力，然后按第三章介紹的方法繪出FS、FN圖，并注明正負(fù)號(hào)，如圖7-8(g)、(h)所示。 由于力法計(jì)算比較繁瑣，圖也較多，故作題時(shí)每個(gè)圖必須注明圖名，作題步驟也應(yīng)按一定格式寫出。 016436732213EIFlXEIlXEIl03267432212EIFlXEIlXEIl)(92

19、0571FX212920XFl PMXMXMM22117-6 7-6 對(duì)稱性的利用 在力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)愈高，計(jì)算工作量也愈大，而其中大量工作是用于系數(shù)和自由項(xiàng)的計(jì)算，由于副系數(shù)及自由項(xiàng)可能為正也可能為負(fù)或零，因此在選取基本結(jié)構(gòu)時(shí)，就應(yīng)選擇能使盡可能多的副系數(shù)及自由項(xiàng)為零的靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)(其中副系數(shù)可以全部為零，但自由項(xiàng)決不會(huì)全部為零)，以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。 工程結(jié)構(gòu)中有很多結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，利用其對(duì)稱性可簡(jiǎn)化計(jì)算。 所謂“對(duì)稱結(jié)構(gòu)對(duì)稱結(jié)構(gòu)”是指結(jié)構(gòu)的幾何形狀、支承條件、剛度等均對(duì)稱同一軸線。在選取基本結(jié)構(gòu)時(shí)，也應(yīng)選取對(duì)稱的靜定結(jié)構(gòu)。1. 選取對(duì)稱的基本結(jié)構(gòu)選取對(duì)稱的基

20、本結(jié)構(gòu)CEI1D對(duì)稱軸EI2EI2原結(jié)構(gòu)X3X3X1X2X2X1基本體系DCX1=1X1=1M1圖X2=1X2=1M2圖M3圖X3=1X3=1(b)(a)(e)(d)(c)圖7-9由圖7-9可以看出， 圖與 圖為正對(duì)稱圖形， 圖為反對(duì)稱圖形， 1M2M3M 則力法方程 (a)式中13 = 31 =0, 23 = 32 =0，于是(a)式就簡(jiǎn)化為(b)式中前兩式為一組二元一次聯(lián)立方程式，只包含正對(duì)稱的未知力X1 和X2 ；第三式則為一元一次方程式，只包含反對(duì)稱的未知力?？偟挠?jì)算工作量就少多了。這種對(duì)稱的原結(jié)構(gòu)仍選對(duì)稱的基本結(jié)構(gòu)也適用于其它結(jié)構(gòu)的計(jì)算，如桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)等。 0131321211

21、1PXXX02323222121PXXX03333232131PXXX (a) 01212111PXX02222121PXX03333PX (b) 2.當(dāng)對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受一般荷載時(shí)，可將荷載分為正對(duì)稱與反對(duì)稱荷載 如圖7-10(a)、(b)、(c)所示，分別計(jì)算上述兩組荷載作用下的內(nèi)力，然后進(jìn)行疊加，即得原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，這種措施可使部分自由項(xiàng)為零。 EI3EI2對(duì)稱軸BEI1CFAACEI1B原結(jié)構(gòu)(A)F2F2BEI1CF2A原結(jié)構(gòu)(B)基本結(jié)構(gòu)(A)X1X2X2X1X3X3F2F2F2F2(Mp)A圖F2X3X3X1X2X2X1基本結(jié)構(gòu)(B)F2(Mp)B圖F2F2(b)(a)(c)(e)(d)

22、(g)(f)F2圖7-10 (1) 在正對(duì)稱荷載作用下，基本結(jié)構(gòu)仍是將對(duì)稱軸處截面C切開，撤消限制兩側(cè)截面水平、豎直方向相對(duì)線位移及相對(duì)角位移的約束，代之以相應(yīng)的多余未知力，如圖7-10(d)所示。其 、 、 圖同圖7-9所示，MP圖如圖7-10(e)所示是一個(gè)正對(duì)稱圖形，故3P=0，對(duì)應(yīng)的力法方程為 (2) 在反對(duì)稱荷載作用下，基本結(jié)構(gòu)及MP圖如圖7-10(f)、(g)所示，MP圖是一個(gè)反對(duì)稱圖形，則1P=0 、2P=0 ，對(duì)應(yīng)的力法方程為 01212111PXX02222121PXX0333X03X (c)則1M2M3M 01X02X03333PX (d) 由以上分析可知，對(duì)稱結(jié)構(gòu)在正對(duì)稱

23、荷載作用下，對(duì)稱軸處截面只有正對(duì)稱的多余未知力，其內(nèi)力和位移都是正對(duì)稱的；在反對(duì)稱荷載作用下，對(duì)稱軸處截面只有反對(duì)稱的多余未知力，其內(nèi)力和位移都是反對(duì)稱的，這一結(jié)論在計(jì)算時(shí)可直接引用。 例例7-3 用力法計(jì)算，繪圖7-11(a)所示剛架的M圖。 解：解： 這是一個(gè)對(duì)稱結(jié)構(gòu)，為四次超靜定。取圖7-11(b)所示對(duì)稱的基本體系。由于荷載是反對(duì)稱的，故可知正對(duì)稱的多余未知力皆為零，而只有反對(duì)稱的多余未知力X1 ，從而使典型方程大為簡(jiǎn)化，僅相當(dāng)于求解一次超靜定的問題。 分別作出 、MP圖見圖7-11 (c)、(d)所示，由圖乘法可得 1M1113 3 223 6 321442EI 113 6 303

24、3 80218002PEI 代入典型方程可解得多余未知力X1 最后M圖應(yīng)為 ，如圖7-11(e)所示。1111180012.5144PXkN 11PMM XM(b)基本體系10kN6m6m6m10kN(a)10kN10kNX1X1X1=1M1圖(kNm)(c)X1=13333(d)MP圖(kNm)10kN10kN606012082.522.560M圖(kNm)(e)37.5圖7-11 3. 取部分結(jié)構(gòu)計(jì)算 利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，還可以取部分結(jié)構(gòu)作為計(jì)算簡(jiǎn)圖，從而降低超靜定次數(shù)，同樣可達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。該方法的前提條件是荷載必須是對(duì)稱的，現(xiàn)分述如下： FS C FS C(i)(h)(g)(f)(d

25、)(b)(e)(c)(a)IDAIFIFIIFIABDBACIIFII2IFIFICAACIFIIFICAF2IIIFIICABBABACCIIFFIIFFIIIII圖7-12 在正對(duì)稱荷載作用下結(jié)構(gòu)的變形為正對(duì)稱，當(dāng)結(jié)構(gòu)為奇數(shù)跨時(shí)如圖7-12 (a)所示，在對(duì)稱軸上的C截面只有正對(duì)稱位移(豎向線位移)，而無反對(duì)稱的位移(水平線位移及角位移)，于是可取半個(gè)結(jié)構(gòu)而在C截面處加一定向支座來模擬原結(jié)構(gòu)的變形，這樣得到的計(jì)算簡(jiǎn)圖圖7-12(b)比圖7-12(a)降低了超靜定次數(shù)。當(dāng)結(jié)構(gòu)為偶數(shù)跨時(shí)如圖7-12(e)所示，若忽略了各桿的軸向變形，且CD桿除受軸力外，彎矩及剪力均為零，則C截面無任何方向的位

26、移，故取半個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，C截面處可用固定支座來模擬原結(jié)構(gòu)的變形，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖7-12(f)所示。 在反對(duì)稱荷載作用下結(jié)構(gòu)的變形為反對(duì)稱，當(dāng)結(jié)構(gòu)為奇數(shù)跨時(shí)如圖7-12(c)所示，對(duì)稱軸上C截面不可能產(chǎn)生豎向線位移，而只有水平線位移及轉(zhuǎn)角，取半個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，C截面應(yīng)加上活動(dòng)鉸支座如圖7-12(d)所示。當(dāng)結(jié)構(gòu)為偶數(shù)跨時(shí)如圖7-12(g)所示，在C截面只有反對(duì)稱的內(nèi)力剪力作用，可設(shè)想用圖7-12(h)代替，由于FSC對(duì)原來結(jié)構(gòu)彎矩?zé)o影響，故可取圖7-12(i)作為計(jì)算簡(jiǎn)圖。由以上分析可以看出，當(dāng)結(jié)構(gòu)只有一個(gè)對(duì)稱軸時(shí)，不論荷載為正或反對(duì)稱，均可取1/2結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，同理可得當(dāng)結(jié)構(gòu)有兩個(gè)對(duì)稱軸時(shí)

27、，可取1/4結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，最后內(nèi)力圖必須根據(jù)對(duì)稱性得出。 例例7-4 計(jì)算圖7-13(a)所示圓環(huán)的彎矩圖。EI=常數(shù)。 解解：由于該結(jié)構(gòu)及荷載有兩個(gè)對(duì)稱軸，故可取1/4進(jìn)行分析，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖7-13(b)所示。 (1) n=1。 (2) 選基本結(jié)構(gòu)如圖7-13(c)所示。 (3) 列力法方程。 01111PX(e)(d)(c)(b)(f)(a)FR2F21R1X1=11Mp圖R1M1圖X1F2F2基本體系原結(jié)構(gòu)M圖FR( -2) 2FFRFR圖7-13 (4) 計(jì)算11、1p。取極坐標(biāo)、，計(jì)算位移時(shí)只考慮彎矩影響，忽略軸力、剪力及曲率的影響。 (5) 解力法方程。 (6) 繪M圖。 ，然后根

28、據(jù)對(duì)稱性繪出圖7-13(a)所示結(jié)構(gòu)的M圖，見圖7-13(f)。 (7) 校核。 證明M計(jì)算正確。11Msin2PPMR Rdds 20211121EIRRdEIdsEIM212101sin22PPM MFFRdsRRdEIEIEI 21022RFRXEIEI1FRX PMXMM1112101(sin )2PM MFRFdsRRdEIEI 2222001sincos()()022FRFRdEIEI 由于基本結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)在受力與變形兩方面完全一致，故原結(jié)構(gòu)的變形也同樣可以用求基本結(jié)構(gòu)的位移來代替。當(dāng)多余未知力求出后，基本結(jié)構(gòu)在荷載及多余未知力共同作用下的位移計(jì)算就屬于靜定結(jié)構(gòu)求位移的問題。例7-

29、2中欲求C截面的水平線位移，其“實(shí)際狀態(tài)”M圖已求出見圖7-14(a)，“虛擬狀態(tài)”及圖如圖7-14(b)所示。 由于超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力并不因所選基本結(jié)構(gòu)的不同而不同，因此在求原結(jié)構(gòu)的位移時(shí)，應(yīng)選擇能產(chǎn)生最簡(jiǎn)單的M圖的基本結(jié)構(gòu)作為虛擬狀態(tài)。314512145( 2)( 26920920269205717)()9202421840CHlFlFllFllllEIEIFlFllFlllEI 7-7 7-7 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算本例中若選圖7-14(c)所示懸臂剛架作為虛擬狀態(tài)，則C截面水平位移的計(jì)算就簡(jiǎn)單多了。具體計(jì)算如下 3112457( 2)()69209201840CHlFl

30、FlFlllEIEI M圖(b)11(c)121794557(a)lll2EIEIEI( )lF92 M圖虛擬狀態(tài) M圖虛擬狀態(tài)圖7-14 綜上所述，計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)位移的步驟是：（1）解算超靜定結(jié)構(gòu)，求出最后內(nèi)力，此為實(shí)際狀態(tài)。（2）任選一種基本結(jié)構(gòu)，加上單位力求出虛擬狀態(tài)的內(nèi)力。（3）按位移計(jì)算公式或圖乘法計(jì)算所求位移。 最后內(nèi)力圖的校核一般從平衡條件與變形條件兩個(gè)方面進(jìn)行校核。下面仍用例7-2來說明校核的步驟。 1.平衡條件的校核平衡條件的校核 從結(jié)構(gòu)中任取一部分為隔離體，均應(yīng)滿足平衡條件。常用的作法是取剛結(jié)點(diǎn)或各桿為隔離體，如圖7-15(a)、(b)所示分別取B、C兩結(jié)點(diǎn)為隔離體，各力必

31、須滿足Fx=0、Fy=0、M=0。BC(c)(a)(b)45Fl448F45Fl57F448F57F 19 20( )57Fl472F57F57Fl472F57FFlFlFl2FlFl4圖7-15 7-8 7-8 最后內(nèi)力圖的校核最后內(nèi)力圖的校核 但當(dāng)多余未知力計(jì)算有誤時(shí)，單用平衡條件是無法查出錯(cuò)誤的。如本例中若求出 、 ，利用 得到的M圖如圖7-15(c)所示仍滿足上述平衡條件，這是因?yàn)?圖、 圖、 圖本身已滿足平衡條件，在疊加時(shí)只不過將它們之中的兩個(gè)圖 、 放大(或縮小)若干倍，得到的圖當(dāng)然仍滿足平衡條件。所以平衡條件的校核只能證明求得多余未知力后，在繪內(nèi)力圖時(shí)是否有誤，但無法校核多余未知

32、力的計(jì)算是否正確，為此必須進(jìn)行位移條件的校核。 2.位移條件的校核位移條件的校核 所謂位移條件校核就是驗(yàn)算一下多余未知力處的位移否與原結(jié)構(gòu)中給定的相應(yīng)位移值相符。 1XF22XFlPMXMXMM22111M1M2M2MPM如校核例7-2中M圖的正確性，可計(jì)算基本結(jié)構(gòu)X1作用點(diǎn)處的水平位移DH，用圖7-8(c)與(f)進(jìn)行圖乘。 原結(jié)構(gòu)D截面的水平位移為零，說明最后M圖計(jì)算無誤。上述校核計(jì)算實(shí)質(zhì)是再一次驗(yàn)證變形條件1=0。值得提出注意的是上述計(jì)算的位移必須是已知值，如例7-2中可用A、D支座處的豎直及水平方向的線位移、A支座處角位移或任一截面切開后斷口兩側(cè)截面的相對(duì)位移等已知值。 3145121

33、572(2)692092029203111(4557)224292013191151092092028920DHlFlFlFlllllEIFlFlllllEIFlEIEI 為了計(jì)算方便一般不再另設(shè)虛擬狀態(tài)，而用已繪出的圖作為虛擬狀態(tài)的彎矩圖 ，得到的位移為 (或已知值)其中 圖的選擇應(yīng)力求各桿均有 值，這樣圖乘的結(jié)果比較可靠。如例7-2中若用 圖與 圖乘，就無法說明M圖中的CD桿的M值是否正確。這是與求某截面未知位移應(yīng)選產(chǎn)生最簡(jiǎn)單的圖作為虛擬狀態(tài)不同的原因。 由以上位移計(jì)算可以看出，超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下，位移與各桿EI的具體值(或稱絕對(duì)值)有關(guān)，而內(nèi)力則只與各桿EI的相對(duì)值有關(guān)。iMM0ds

34、EIMMiiiMiM2MM 超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化的影響下，不但產(chǎn)生變形而且還產(chǎn)生內(nèi)力。用力法解這類問題時(shí)，其變形協(xié)調(diào)條件仍是：基本結(jié)構(gòu)在多余未知力、溫度變化的共同影響下，在多余未知力作用點(diǎn)及其方向上的位移與原結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的位移相等。 圖7-16(a)所示剛架外側(cè)溫度的改變量為，內(nèi)側(cè)溫度的改變量為，用力法計(jì)算時(shí)取圖7-16(b)為基本結(jié)構(gòu)， (a)Ct1t2t1t2BA原 結(jié) 構(gòu) 基 本 體 系 ABt2t1t2t1C(b)X1X2圖7-167-9 7-9 溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算 基本結(jié)構(gòu)，變形條件為 1 = 0, 2 = 0 (a)對(duì)應(yīng)的力法方程為 (b) 式中的自由

35、項(xiàng)表示基本結(jié)構(gòu)在溫度變化影響下，在作用點(diǎn)沿方向的位移，可利用(6-12)式得 (c)或 (d) 典型方程式(b)中的系數(shù) 01212111tXX02222121tXX NiiittFtdsMdsh FMNiiitttAAh EIdsMiii2EIdsMMjiij2NiiiFlEA NiNjijFFlEA 、或;。 由于基本結(jié)構(gòu)是靜定的，溫度變化不引起內(nèi)力，所以其內(nèi)力均由多余未知力X1引起，彎矩圖及軸力圖可按下式得到 (e)剪力圖可通過平衡條件求出。 在位移計(jì)算中，由于基本結(jié)構(gòu)除X1 、 X2引起變形外，溫度變化也引起變形，故位移計(jì)算公式為或 (f)式中 表示基本結(jié)構(gòu)由于溫度變化引起的在虛擬力

36、=1作用點(diǎn)沿 方向的位移，仍用(6-12)公式進(jìn)行計(jì)算。 2211XMXMM1212NNNFFXFXEIMdsMEIMdsMKKtKKNKKtFtlM dshEIMdsMKKFMNKKttAAh KtKFKF 例例7-5 用力法計(jì)算圖7-17(a)所示剛架在溫度變化影響下的彎矩圖。各桿 、h、EI均為常量，截面對(duì)稱于形心軸 。 解解：(1) n =1。 (2) 基本結(jié)構(gòu)的選擇如圖7-17(b)所示。 (3) 列力法方程。 (4) 計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)。 圖及圖見圖7-17(c)、(d)。 +5, t = 15-(-5) = 20 = 5 +400 = 405 1M10lh 01111tX12155

37、22tttEIlllEIdsEIM3511)32121(212111111FMNtttAAh hlllhll405)11212(20)1(5 (5) 解方程。 (6) 繪M圖。 見圖7-17(e) (a)l-5 C0+15 C00-5 C0-5 C原結(jié)構(gòu)lX1X10+15 C0-5 C-5 C0M1圖X1=1X1=1X1=1X1=1FN1圖ll(+)M圖243aEI l243aEI l(b)(c)(d)(e)1111基本體系圖7-17lEIXXEIl2430405351111MM X (7) 校核。平衡條件的校核可從圖上直接觀察得到。下面進(jìn)行位移條件的校核。 = -162 -243 +405

38、= 0 證明M圖是正確的 由以上計(jì)算結(jié)果表明，溫度變化引起的內(nèi)力與桿件的EI成正比，在給定的溫度條件下，截面尺寸愈大內(nèi)力愈大，不像在荷載作用下各桿的內(nèi)力僅與EI的相對(duì)值有關(guān)。由溫度變化引起的內(nèi)力還與 、h有關(guān)。更值得一提的是，當(dāng)桿件兩側(cè)有溫差t時(shí)，從M圖上可以看出，桿件的降溫側(cè)出現(xiàn)拉應(yīng)力，升溫一側(cè)出現(xiàn)壓應(yīng)力，這與靜定結(jié)構(gòu)在溫度影響下的變形相反，因此在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中，要特別注意降溫側(cè)出現(xiàn)的裂縫。 tEIMdsM1114051243)13224321(21llEIllEIEI 超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)的影響下，使其產(chǎn)生變形同時(shí)也產(chǎn)生內(nèi)力。 圖7-18(a)為一超靜定剛架，n=2，支座A處因沉陷產(chǎn)生了

39、支座移動(dòng)，選基本結(jié)構(gòu)如圖7-18(b)所示，則其變形條件為 1 = 0, 2 =f (a) (a)DABCbaBX2CA(b)X1aba(c)CX2BAX1abCBAD(d)X1X2D基本體系基本體系基本體系原結(jié)構(gòu)圖7-187-10 7-10 支座移動(dòng)時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算支座移動(dòng)時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算 相應(yīng)的力法方程可寫為 (b) (b)式等號(hào)右邊表示原結(jié)構(gòu)的位移，是已知值，當(dāng)它的方向與基本結(jié)構(gòu)中對(duì)應(yīng)的多余未知力指向相同時(shí)取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。等號(hào)左邊的自由項(xiàng)用公式 = - 進(jìn)行計(jì)算， 表示基本結(jié)構(gòu)由 =1所引起的支座反力。 下面討論一下，當(dāng)支座發(fā)生移動(dòng)用力法計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意的事項(xiàng)： 1. 不同的基本結(jié)

40、構(gòu)對(duì)力法方程的影響。 對(duì)應(yīng)于圖7-18(c)iCFRiRiFiX01212111XX2222121XX bXX12121112222121XX(c) 對(duì)應(yīng)于圖7-18(d) (d) 由以上各式可以看出，原結(jié)構(gòu)的支座移動(dòng)值在列力法方程時(shí)，哪些應(yīng)放在等號(hào)左邊在求自由項(xiàng) 時(shí)出現(xiàn)，哪些應(yīng)放在等號(hào)右邊作為原結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的已知位移出現(xiàn)，與所選的基本結(jié)構(gòu)有密切關(guān)系，作題時(shí)應(yīng)認(rèn)真分析，以避免一開始列方程時(shí)就出現(xiàn)錯(cuò)誤。 2. 由于基本結(jié)構(gòu)是靜定結(jié)構(gòu)，在支座移動(dòng)影響下只產(chǎn)生剛體位移而不產(chǎn)生內(nèi)力，故最后彎矩圖按求得。 3. 與溫度變化分析相同，位移的計(jì)算應(yīng)為i2211XMXMM01212111XX02222121XX

41、CFEIMdsMEIMdsMRKKKKK(e) 其中 表示由虛擬力 =1引起的支座反力。同理，對(duì)最后M圖進(jìn)行校核時(shí)，其變形條件應(yīng)把支座移動(dòng)所引起的基本結(jié)構(gòu)位移考慮進(jìn)去，如(a)式中第二個(gè)變形條件可寫為 (f)(f)式中的 表示基本結(jié)構(gòu)中當(dāng) =1時(shí)，所引起的支座力。 例例7-6 求圖7-19 (a)所示結(jié)構(gòu)，當(dāng)兩支座發(fā)生位移時(shí)的M圖。已知EI=13440kNm2。 解解：(1) n=2。 (2) 選基本結(jié)構(gòu)如圖7-19(b)所示。值得注意的是由于A支座處限制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束未去掉，故相應(yīng)的支座轉(zhuǎn)動(dòng)應(yīng)保留。 (3) 列力法方程。RKFKF222RM MdsFCEI 2RF2X02. 01212111XX

42、03. 02222121XX 原結(jié)構(gòu)DCAB(a)5m0.01rad5m0.02m0.03m0.01rad(b)BACDX2X155M1圖X1=11555M2圖(d)15X2=1(e)M圖(kNm)5.86458.79708.79702.93252.9325(c)基本體系圖7-19 (4) 繪 、 圖如圖7-19(c)、(d)所示，計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)。 11 = 2(1/2552/35)+555= 12 = (-555/2-1/2555)= =21 22 = (555+1/2552/35)= 1 =0, 2 =-(50.01)=-0.05 (5) 解方程，求多余未知力X1、X2。X1 =-0.5

43、865kN() X2 =1.1729kN() 1M2MEI1EI1EI1EI3625EI125EI350003.005.0350012502.012536252121XEIXEIXEIXEI (6) 繪M圖。 ，如圖7-19(e)所示。 (7) 校核。 = (-28.79705-5.8645)+ (-28.79705-22.93255 -8.79705-2.93255)- 2.93255 5-0 = =-0.02m。說明M圖是正確的。 2211XMXMMCFEIMdsMR111EI165652132EI8 .268 在計(jì)算超靜定拱時(shí)，必須首先選定拱軸曲線的形狀和截面變化規(guī)律，從力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)則希

44、望所選擇的拱軸曲線與壓力曲線重合，換句話說最好選用合理拱軸作為拱軸曲線，而在超靜定拱中是很難實(shí)現(xiàn)的。這是由于超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和剛度EI有關(guān)，所以按預(yù)先假定的拱軸曲線與截面尺寸計(jì)算出的內(nèi)力其彎矩不一定為零，即該拱軸線不是合理拱軸。這樣就必須將拱軸曲線及截面尺寸進(jìn)行反復(fù)修改，直到拱軸曲線與壓力曲線比較接近為止。在無鉸拱計(jì)算中，因彎矩一般是從拱頂向拱趾方向增加，故拱的厚度也應(yīng)從拱頂向拱趾方向逐漸增加如圖7-20所示。截面變化規(guī)律常采用經(jīng)驗(yàn)公式： （7-3）11 (1)cosCIIxnl7-11 7-11 用彈性中心法計(jì)算無鉸拱用彈性中心法計(jì)算無鉸拱 1. 截面變化規(guī)律截面變化規(guī)律由式（7-3）有：

45、，n的范圍一般為0.251。當(dāng)n=1時(shí)，截面二次矩按“余弦規(guī)律”變化： ，計(jì)算簡(jiǎn)便；對(duì)于截面面積，為簡(jiǎn)化計(jì)算，也近似采用 。當(dāng)拱高 時(shí)，由于 較小，可近似取 =常數(shù)。拱趾拱軸線拱頂拱趾跨度圖5-28拱矢圖7-20cosCKKInIcosCIIcosCAA8flCAA 取從拱頂處切開的對(duì)稱的基本結(jié)構(gòu)（圖7-21b），多余未知力中的彎X1矩和軸力X2是對(duì)稱的，剪力X3是反對(duì)稱的，故知副系數(shù) ， ，但仍有 。 如果能設(shè)法使 ，則典型方程中的全部副系數(shù)都為零，計(jì)算更加簡(jiǎn)化。這可以用下述引入“剛臂”的辦法來實(shí)現(xiàn)（圖7-21c、d）。 13310233201221012210圖7-212. 基本結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)各單位多余未知力作用下基本結(jié)構(gòu)的內(nèi)力表達(dá)式為： ， ， ， ， （7-4） ， ，由于多余未知力中的X1和X2是對(duì)稱的， X3是反對(duì)稱的，故有副系數(shù)： ， ，而副系數(shù)： 11M 10SF10NF2My2sinSF2cosNF3Mx3cosSF3sinNF 13310233201212121221121100()NNSSssM M dsFFdsFFdskEIEAGAM M dsdsdsyyyEIEIEIdsdsyyEIEI3. 彈性中心法彈性中心法 令 ，便可得到剛臂長(zhǎng)度為： （7-5）我們?cè)O(shè)想沿拱軸作寬度為1/EI的圖形，則ds/EI就代表此圖形的微分面積，而