考研數(shù)學(xué)重要公式

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高等數(shù)學(xué)重要定理及公式專心-專注-專業(yè)作者：電子科技大學(xué) 通信學(xué)院 張宗衛(wèi)說(shuō)明：本文檔是筆者在考研過(guò)程中花費(fèi)將近一個(gè)月的時(shí)間，總結(jié)得出的數(shù)學(xué)（一）重要公式及一些推論，并使用word及MathType輸入成文，覆蓋了微積分、線性代數(shù)、概率論這些課程。因?yàn)闀r(shí)間有限，難免存在一些輸入錯(cuò)誤，請(qǐng)讀者仔細(xì)對(duì)照所學(xué)知識(shí)，認(rèn)真查閱。線性代數(shù)重要公式1. 矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣關(guān)系： 2. 矩陣行列式： 3. 矩陣與其秩： 4.齊次方程組：非0解線性相關(guān)5.非齊次方程組：有解線性表出6.相似與合同：相似n階可逆矩陣A,B如果存在可逆矩陣P使得則A與B相似，記作：；合同A,B為n階矩陣，如果存

2、在可逆矩陣C使得則稱A與B合同。（等價(jià)，A與B等價(jià)A與B能相互線性表出。）7，特征值與特征向量：，求解過(guò)程：求行列式 中參數(shù)即為特征值，再求解即可求出對(duì)應(yīng)的特征向量。矩陣A的特征值與A的主對(duì)角元及行列式之間有以下關(guān)系：。上式中稱為矩陣的跡。8. 特征值特征向量、相似之間的一些定理及推論：實(shí)對(duì)稱矩陣A的互異特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)；若n階矩陣的特征值都是單特征根，則A能與對(duì)角矩陣相似；n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是對(duì)于A的每一個(gè)重特征根，齊次方程組的基礎(chǔ)解析由個(gè)解向量組成即對(duì)應(yīng)每一個(gè)重特征根。9. 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)，如果A為一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，那么對(duì)應(yīng)于A的不同特征值的特征向

3、量彼此正交。任意n階實(shí)對(duì)稱矩陣A都存在一個(gè)n階正交矩陣C，使得為對(duì)稱矩陣。10. 施密特正交矩陣化方法：一般地，把線性無(wú)關(guān)向量組化為與之等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的施密特正交過(guò)程如下： 再令：則是一組與等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。11. 正交矩陣的定義：如果實(shí)矩陣A滿足：則稱A為正交矩陣。12. 設(shè)A，B為n階方陣，如果存在可逆矩陣C，使得，則稱A與B合同。13. 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型步驟：a) 寫(xiě)出二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣A；b) 求A的特征值和特征向量，（）；c) 將特征向量正交化（實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量彼此正交，多重特征根在取特征向量時(shí)盡量取正交向量，方便計(jì)算）、單位化得d) 令 ，

4、 ，則，是正交變換，且。 14.如果任一非零向量X都使得二次型，則稱之為正定二次型，對(duì)應(yīng)的矩陣A為正定矩陣。二次型為正定矩陣的充要條件是矩陣A的特征值全部為正實(shí)數(shù)、正慣性指數(shù)是n、矩陣A與E合同、矩陣A的順序主子式全大于零，且以上條件等價(jià)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)重要知識(shí)點(diǎn)及公式：1. 條件概率：如果,則A與B獨(dú)立。2. 常用概率公式：（對(duì)于給定如：這樣的條件，常常通過(guò)畫(huà)圖（如下圖）來(lái)解決，直觀明了）BA 3. 全概率公式：4. 貝葉斯公式：（結(jié)合條件概率公式和全概率公式推導(dǎo)而出）5. 幾個(gè)重要分布：a) 二項(xiàng)分布（n次重復(fù)，伯努利類型）：b) 泊松分布：二項(xiàng)分布當(dāng)m,很大，p很小且時(shí)，c) 均勻分布

5、：d) 指數(shù)分布：e) 正態(tài)分布：6. 隨機(jī)變量的數(shù)字特征：A） 數(shù)學(xué)期望：存在前提，要絕對(duì)可積，那么， ；B） 方差：C） 期望性質(zhì)：，X，Y獨(dú)立則D） 方差性質(zhì)：,若X，Y相互獨(dú)立則.。7. 常用分布數(shù)字特征：a) (0,1)分布b) b（n，p）二項(xiàng)分布c) 泊松分布d) 均勻分布：e) 指數(shù)分布：f) 正態(tài)分布：8. 協(xié)方差： 定義式 計(jì)算式 性 質(zhì) ： 9. 相關(guān)系數(shù)：10. 幾種特殊函數(shù)的分布問(wèn)題：a) 極值分布 b）和的分布：Z=X+Y分分布函數(shù)是一般的X與Y相互獨(dú)立，且，則，其概率密度公式為：。c）商的分布 分布函數(shù)是：11. 參數(shù)估計(jì)：a) 矩估計(jì)方法：構(gòu)造關(guān)于參數(shù)組成的k階

6、原地矩與樣本k階原點(diǎn)矩之間的等式關(guān)系：，解此方程組解為就作為的矩估 計(jì)。b） 極大似然估計(jì)方法：基本思想是按照最大可能性的準(zhǔn)則進(jìn)行推斷，把已經(jīng)發(fā)生的事 件，看成最可能出現(xiàn)的事件，即認(rèn)為它具有最大的可能性。求法，寫(xiě)出最大似然函數(shù),并求最大似然函數(shù)的最大值點(diǎn)，一般取最大似然函數(shù)的 對(duì)數(shù)方便運(yùn)算，即求解如下的似然方程組，似然方程組 的解可能不唯一，這時(shí)需要微積分知識(shí)進(jìn)一步的判定哪一個(gè)是最大值點(diǎn)，若似然函數(shù)關(guān)于參數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)，就無(wú)法得到似然方程組，因此必須回到極大似然股及的定義式直接求解。13. 矩估計(jì)的優(yōu)良性：若則稱是的無(wú)偏估計(jì)量，若是的無(wú)偏估計(jì)量，且則稱為的最小無(wú)偏估計(jì)量。14. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)概念

7、：（樣本均值）（樣本方差）（樣本k階原點(diǎn)矩）（樣本k階中心矩）15. 三個(gè)重要分布：a) 設(shè)n個(gè)相互獨(dú)立并且都服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量記則稱隨機(jī)變量服從自由度為n的分布。對(duì)于給定的正數(shù)a(0<a<1),稱滿足關(guān)系式的數(shù)為的上側(cè)臨界值或上側(cè)分位數(shù)。性質(zhì)： 設(shè)相互獨(dú)立，且則有 b） 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，記則隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布。 c） 設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，記則隨機(jī)變量F服 從第一自由度為第二自由度為的F分布。16設(shè)是正太總體的樣本，分別是樣本均值和樣本方差，則有與相互獨(dú)立，則有 上式中，17. 設(shè) 和分別是來(lái)自正態(tài)總體的樣本，并且它們相互獨(dú)立，分別是這兩組樣本的均

8、值和樣本方差，則有：A）B） 當(dāng)時(shí)，其中， 。18.已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x),分布函數(shù)在x=a處不連續(xù)，則。（）19.概率密度函數(shù)滿足：，通常用此條件求概率密度函數(shù)中的參數(shù)值。20.多重概率密度函數(shù)同樣滿足： G為積分空間.微積分部分：1，無(wú)窮小與無(wú)窮大：當(dāng)時(shí)，有下列等價(jià)無(wú)窮小2，若則3. 導(dǎo)數(shù)概念：微分概念：稱f(x)在可微，為的線性主部。切線方程：法線方程：4，極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則，夾逼準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限。5.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：6，常用導(dǎo)數(shù)和不定積分： 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：求。解：1.兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)2.兩邊同時(shí)求導(dǎo)參數(shù)求導(dǎo)法：確定的求二階導(dǎo)數(shù)：反函數(shù)求導(dǎo)：，高階導(dǎo)數(shù)：基本積分

9、公式：1. 將復(fù)雜部分求導(dǎo)2. 主要處理根式部分3. 將復(fù)雜部分用新變量t替換4. 分部積分主要處理兩類函數(shù)乘積的積分 5. 有理公式處理真分式積分。6. 萬(wàn)能代換。7.羅爾定理：且則使得8.看到函數(shù)值差，聯(lián)想單拉格朗日定理用于求極限證明不等式。9.柯西定理：若且，則使得10. 駐點(diǎn) ，的點(diǎn)；極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際情況判斷，通?？丛趦蓚?cè)的一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性有次判斷是極大值或極小值；拐點(diǎn) ，拐點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)，且在兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)異號(hào)。11. 冪指數(shù)函數(shù)極限的一般處理方法：對(duì)于未定式，一般 12. 可分離變量微分方程： 解法13. 令有稱之為其次方程，引入變量則帶入方程得兩邊同時(shí)積分求解。14. 一階線性非齊次方

10、程：通解為：15. 伯努利方程：，令則，即帶入原式得。16. 型高階微分方程求解：令則原式化為用上述方法求解可得，于是再積分可得17. 型高階微分方程求解：可令，則于是變?yōu)榍蟮猛ń鉃榧?，分離變量積分得。18. 二階常系數(shù)齊次線性微分方程解法：（p，q為常數(shù)）即（D為微分算子），可得特征方程，特征方程的兩個(gè)根為，分三種情況:a) 當(dāng)解為b) 當(dāng)解為c) 當(dāng)，特征方程有一隊(duì)共軛復(fù)根，則通解為19. 二階線性非齊次線性方程的解法:一般形式（p、q為常數(shù)），p（x）是m次多項(xiàng)式1.不是對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程的根，則2.是單根，則對(duì)應(yīng)的特解為3.是重根，則對(duì)應(yīng)的特解為，其中是系數(shù)待定的m次多項(xiàng)式，而k

11、按不是或是特征方程的根分別取0或1.20. 多元函數(shù)微分：在點(diǎn)處的全微分，其中，。21. ，可由求得導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)可由，求得。22. 空間曲線L的參數(shù)方程曲線上一點(diǎn)，則向量就是曲線L在點(diǎn)M處切線的方向向量，也稱為切向量，于是在M點(diǎn)的切線方程為，法平面方程為。23. 空間曲線由兩平面方程確定，則可確定曲線L：于是在點(diǎn)處的切向量為。24. 方向?qū)?shù):設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可微，則函數(shù)在此點(diǎn)處存在沿任一方向的的方向?qū)?shù)，則方向?qū)?shù)，其中為方向上的方向余弦。25. 梯度：，它是一個(gè)向量，可將二元函數(shù)沿任一方向的方向?qū)?shù)寫(xiě)成向量?jī)?nèi)積的形式：，是與grad 之間的夾角。方向?qū)?shù)的最大值為，當(dāng)，即的方向就是的方向

12、時(shí)，最大，也就是沿著梯度方向，函數(shù)的變化率最大，函數(shù)值增長(zhǎng)最快。時(shí)，取負(fù)梯度方向-grad時(shí)，方向?qū)?shù)達(dá)到最小值也就是沿負(fù)梯度方向函數(shù)值減少最快。26. 極值的充分條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)額某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且有，令，函數(shù)在點(diǎn)的黑塞矩陣為：，則有一下結(jié)論：1）若則為正定矩陣，故為極小值。2）若則為負(fù)定矩陣，故為極大值。3）若則為不定矩陣，故為不是極值。27. 有界區(qū)域上的最大值與最小值：求出在D內(nèi)所有的駐點(diǎn)和駐點(diǎn)處的函數(shù)值，求出在邊界上的最大（?。┲?，對(duì)比上面求出的函數(shù)值，其中最大的就是在D上的最大值，最小的就是最小值。28. 條件極值和拉格朗日數(shù)乘法：在m個(gè)條件下的極值。求解步驟如下：a)

13、 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：b) 對(duì)F求的偏導(dǎo)數(shù)并令其為零，即c) 求解。d) 根據(jù)問(wèn)題性質(zhì)判斷是否為極值點(diǎn)。29.二重積分的計(jì)算，熟悉x型y型積分區(qū)域的計(jì)算，以及改變積分順序。30.極坐標(biāo)則，那么，使用時(shí)注意積分上下限的變換。31. 柱坐標(biāo)下的極坐標(biāo)變換：，那么。32. 球坐標(biāo)下計(jì)算三重積分：， 則球坐標(biāo)下三種積分的計(jì)算公式為：33. 曲線的弧長(zhǎng)：曲線L：弧微分，則曲線弧段的長(zhǎng)為；曲線參數(shù)方程，弧微元為，同理，三元函數(shù)有。平面曲線由確定，則長(zhǎng)度為。34. 第一類曲線積分的計(jì)算：設(shè)函數(shù)平面弧線L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為，則。35. 曲面S的方程為在上的投影為，函數(shù)在上具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則S為光滑曲面，則

14、，同理在面上的投影為，則有，在上的投影為，則有。36. 第一類曲面積分的計(jì)算:設(shè)函數(shù)在曲面S上連續(xù)，S的方程為，S在面上的投影區(qū)域?yàn)?，函?shù)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則： 。37. 第二類曲線積分：38.對(duì)于計(jì)算公式可為。應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)沿著曲線L運(yùn)動(dòng)，在場(chǎng)力 的作用下所做的功為 。39. 第二類曲面積分：曲面S，曲面面積微元向量，則：。40. 第二類曲面積分的計(jì)算分面投影法：將 的三項(xiàng)分別化在坐標(biāo)平面上的二重積分，其中函數(shù)在S上連續(xù)，求解步驟：1）將被積函數(shù)中的變量z換為表示曲面的函數(shù)確定正負(fù)號(hào)，曲面S取上側(cè)，即單位法向量與z軸的正向夾角為銳角，則取正號(hào)，若曲面S取下側(cè)，即單位法向量與z軸的正向夾角為鈍

15、角，則取負(fù)號(hào)。2）對(duì)函數(shù)在曲面S的投影區(qū)域上計(jì)算二重積分。3）同理：。41. 第二類曲面積分的計(jì)算合一投影法：將第二類曲面積分 中的三項(xiàng)都化為某一坐標(biāo)平面上的二重積分。計(jì)算步驟：1. 計(jì)算法向量n并確定正負(fù)號(hào)，若曲面S取上側(cè)，即法向量n與z軸的正向夾角為銳 角時(shí)，則取正號(hào)；若曲面S取下側(cè)，即單位法向量n與z軸的正向夾角為鈍角時(shí)，則 取負(fù)號(hào)。2. 將被積函數(shù)中的變量在z換為表示曲面的函數(shù)，并與向量或 做點(diǎn)積。3. 對(duì)點(diǎn)積或在曲面S的投影區(qū)域上計(jì)算二重積分。同理，投影到其他平面上有：，42. 微積分基本定理的推廣：格林公式：設(shè)D是由分段光滑的曲線L圍成的平面單連通區(qū)域，函數(shù)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)。

16、則有1式。其中L是D的取正向的邊界曲線。設(shè)D是由分段光滑的曲線與圍成的平面復(fù)聯(lián)通區(qū)域，函數(shù)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有2式。其中是D的取正方向的外邊界曲線，是D的取正向的內(nèi)邊界的曲線。1.2.高斯公式：設(shè)空間區(qū)域V是由分片光滑的閉曲面S所圍成，函數(shù)在V上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則有右式成立，其中S是V的邊界曲面的外側(cè)。斯托克斯公式：設(shè)L為分段光滑的空間有向閉曲線，S為以L為邊界額分片光滑的有向曲面，函數(shù)在包含曲面S在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有右式成立，其中，L的方向與S的側(cè)符合右手規(guī)則，即用右手四指表示L的方向，大拇指的防線與曲面S的側(cè)同向。通常寫(xiě)為：43. 曲線積分與路徑的無(wú)關(guān)性：

17、a) 設(shè)D為平面上的單連通區(qū)域，函數(shù) 在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)命題等價(jià)：i. 對(duì)于D內(nèi)任一分段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線L有： ii.曲線積分的值在D內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)。iii.被積表達(dá)式在D內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，即iv.在D內(nèi)每一點(diǎn)都滿足 b）設(shè)G為空間一維單連通區(qū)域，函數(shù)，在G內(nèi)有一階 連續(xù)偏導(dǎo)，則以下四個(gè)命題等價(jià)： i.對(duì)于G內(nèi)的任一分段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線L，有 ii.曲線積分的值在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)。 iii.被積表達(dá)式在G內(nèi)是某個(gè)三元函數(shù)的全微分，即 iv。在G內(nèi)每一點(diǎn)滿足，即滿，稱函數(shù)，其積分路徑可選取平行于坐標(biāo)軸的折線，則44. 全微分方程：，求解方法：先積x，將y看做x的常數(shù)函數(shù)，或

18、者使用積分路徑無(wú)關(guān)性來(lái)求解。45. 場(chǎng)論初步一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的向量場(chǎng)可以用一個(gè)向量值函數(shù)，那么函數(shù)的梯度，它也是一個(gè)向量場(chǎng)，也稱為梯度場(chǎng)。46. 通量與散度：給定向量場(chǎng)，S為場(chǎng)內(nèi)某有向曲面，S上值頂一側(cè)的單位法向量為，向量場(chǎng)沿曲面S的第二類曲面積分，稱為向量場(chǎng)A通過(guò)有向曲面S制定一側(cè)的通量。如果S是一分片光滑的閉曲面，為外法向量，V為S所包圍的空間區(qū)域，由高斯公式，將 稱為的散度，記于是高斯公式可以寫(xiě)成如下的向量形式： 。47. 級(jí) 數(shù) 的部分和數(shù)列，有極限S，即，則稱級(jí)數(shù)收斂并稱S為級(jí)數(shù)的和，記做：，如果部分和數(shù)列沒(méi)有級(jí)數(shù)，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散。48. 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)：若收斂，收斂值S，則：收斂，收

19、斂值為kS。若和收斂，且收斂值分別為和則，收斂，其和為。另外在級(jí)數(shù)的前面部分去掉或者加上有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的斂散性，然而在級(jí)數(shù)收斂的條件下，級(jí)數(shù)的和一般要改變。49.級(jí)數(shù)收斂的必要條件：設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則。50. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂法：若則稱級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)。設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件為它的部分和數(shù)列有界。 1）比較判斂法:正項(xiàng)級(jí)數(shù)和且有，則有結(jié)論：1.如果級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散。2.如果級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂。正項(xiàng)級(jí)數(shù)和，如果，則級(jí)數(shù)和同時(shí)收斂或者發(fā)散。 2)比值判斂法：設(shè)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。 3）根值判斂法：設(shè)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果，則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)可能發(fā)散也可能收斂。50. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的判斂法：設(shè)則稱級(jí)數(shù)或者是交錯(cuò)級(jí)數(shù)。萊布尼茨判別法：若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足如下條件（1）.；（2）.；則級(jí)數(shù)是收斂的，且其和，其余項(xiàng)的絕對(duì)值。推論：若級(jí)數(shù)滿足如下條件：1. 存在正整數(shù)N使得；2. ；則級(jí)數(shù)是收斂的。51.絕對(duì)收斂與條件收斂:設(shè)是任意實(shí)數(shù)，則級(jí)數(shù)是任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中各項(xiàng)絕對(duì)值所構(gòu)成的級(jí)數(shù)稱為級(jí)數(shù)的絕對(duì)值級(jí)數(shù)。如果收斂，則級(jí)數(shù)也收斂，并稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；如果級(jí)數(shù)