麥克斯韋氣體速率分布律

1、復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)理想氣體壓強(qiáng)公式理想氣體壓強(qiáng)公式2212323()pnmvnw理想氣體的溫度理想氣體的溫度kTvm23212 理想氣體的能量理想氣體的能量分子平均平動(dòng)動(dòng)能分子平均平動(dòng)動(dòng)能:分子平均動(dòng)能分子平均動(dòng)能:理想氣體的內(nèi)能理想氣體的內(nèi)能:32kT2ikT22m iiERTRTM大學(xué)物理學(xué)電子教案大學(xué)物理學(xué)電子教案氣體動(dòng)理論（二）氣體動(dòng)理論（二） 4-5 4-5 麥克斯韋氣體速率分布律麥克斯韋氣體速率分布律4-6 玻爾茲曼能量分布律玻爾茲曼能量分布律 等溫氣壓公式等溫氣壓公式( (自學(xué)自學(xué)) )4-7 4-7 分子平均碰撞次數(shù)和平均自由程分子平均碰撞次數(shù)和平均自由程45 麥克斯韋氣體速率分布律麥

2、克斯韋氣體速率分布律 氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律最早是由氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律最早是由麥克麥克斯韋斯韋于于18591859年在概率論的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的，年在概率論的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的，18771877年年玻玻耳茲曼耳茲曼由經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)中導(dǎo)出，由經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)中導(dǎo)出，19201920年年斯特恩斯特恩從實(shí)從實(shí)驗(yàn)中證實(shí)了麥克斯韋分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。驗(yàn)中證實(shí)了麥克斯韋分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 平衡態(tài)下，理想氣體分子速度分布是有規(guī)律的，平衡態(tài)下，理想氣體分子速度分布是有規(guī)律的，這個(gè)規(guī)律叫麥克斯韋速度分布律。若不考慮分子速度這個(gè)規(guī)律叫麥克斯韋速度分布律。若不考慮分子速度的方向，則叫麥克斯韋速率分布律。

3、的方向，則叫麥克斯韋速率分布律。麥克斯韋（麥克斯韋（James Clerk Maxwell 18311879)1919世紀(jì)偉大的英國(guó)世紀(jì)偉大的英國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。經(jīng)典電磁理論的奠經(jīng)典電磁理論的奠基人，氣體動(dòng)理論基人，氣體動(dòng)理論的創(chuàng)始人之一。的創(chuàng)始人之一。 他提出了有旋電場(chǎng)和位移電流概他提出了有旋電場(chǎng)和位移電流概念，建立了經(jīng)典電磁理論，預(yù)言念，建立了經(jīng)典電磁理論，預(yù)言了以光速傳播的電磁波的存在。了以光速傳播的電磁波的存在。18731873年，他的年，他的電磁學(xué)通論電磁學(xué)通論問(wèn)問(wèn)世，這是一本劃時(shí)代巨著，它與世，這是一本劃時(shí)代巨著，它與牛頓時(shí)代的牛頓時(shí)代的自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原自然哲學(xué)

4、的數(shù)學(xué)原理理并駕齊驅(qū)，它是人類(lèi)探索電并駕齊驅(qū)，它是人類(lèi)探索電磁規(guī)律的一個(gè)里程碑。磁規(guī)律的一個(gè)里程碑。在氣體動(dòng)理論方面，他還提出氣在氣體動(dòng)理論方面，他還提出氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 ABSP P G 分分子子源源真空室真空室狹縫狹縫圓圓筒筒圓筒不轉(zhuǎn)，分子束的圓筒不轉(zhuǎn)，分子束的分子都射在分子都射在P處。處。圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)，分子束速率不同的分子將射在不同位置圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)，分子束速率不同的分子將射在不同位置vDt Dtv22Dlv2DlR一、測(cè)定氣體分子速率的實(shí)驗(yàn)一、測(cè)定氣體分子速率的實(shí)驗(yàn) 1、實(shí)驗(yàn)原理、實(shí)驗(yàn)原理G-彎曲玻璃板，可沉彎曲玻璃板，可沉積射到上面的各種速積射到上面的

5、各種速率分子。率分子。2、實(shí)驗(yàn)結(jié)果、實(shí)驗(yàn)結(jié)果分子數(shù)在總分子數(shù)中所占分子數(shù)在總分子數(shù)中所占的比率與速率和速率間隔的比率與速率和速率間隔的大小有關(guān)；的大小有關(guān)；速率特別大和特別小的分速率特別大和特別小的分子數(shù)的比率非常?。蛔訑?shù)的比率非常?。辉谀骋凰俾矢浇姆肿訑?shù)在某一速率附近的分子數(shù)的比率最大；的比率最大；改變氣體的種類(lèi)或氣體的改變氣體的種類(lèi)或氣體的溫度時(shí)，上述分布情況有溫度時(shí)，上述分布情況有所差別，但都具有上述特所差別，但都具有上述特點(diǎn)。點(diǎn)。二、麥克斯韋氣體分子速率分布律二、麥克斯韋氣體分子速率分布律速率分布函數(shù)的定義：速率分布函數(shù)的定義： 一定量的氣體分子總數(shù)為一定量的氣體分子總數(shù)為N，dN表

6、示速率分布在表示速率分布在某區(qū)間某區(qū)間 vv+dv內(nèi)的分子數(shù)，內(nèi)的分子數(shù)， dN/N表示分布在此區(qū)間表示分布在此區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。 實(shí)驗(yàn)規(guī)律：實(shí)驗(yàn)規(guī)律：dN/N 是是 v 的函數(shù)；的函數(shù)；速率區(qū)間足夠小時(shí)速率區(qū)間足夠小時(shí), dN/N與區(qū)間大小成正比。與區(qū)間大小成正比。1、速率分布函數(shù)、速率分布函數(shù)dvvfNdN)( NdvdNvf )(速率分布函數(shù)速率分布函數(shù)(2) 物理意義：物理意義：速率在速率在 v 附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率，或概率密度。分子數(shù)的概率，或概率密度。 001NdNfv dvNNdNdvv

7、f )(表示速率分布在表示速率分布在vv+dv內(nèi)的內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率分子數(shù)占總分子數(shù)的概率21( )vvNf v dvN表示速率分布在表示速率分布在v1v2內(nèi)的內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率分子數(shù)占總分子數(shù)的概率歸一化條件歸一化條件(3) 速率分布曲線(xiàn)速率分布曲線(xiàn)0( )1f v dv曲線(xiàn)下的總面積曲線(xiàn)下的總面積恒等于恒等于1 2、麥克斯韋速率分布律、麥克斯韋速率分布律 實(shí)驗(yàn)表明：在平衡態(tài)下，分布在任一速率區(qū)間實(shí)驗(yàn)表明：在平衡態(tài)下，分布在任一速率區(qū)間 vv+dv 的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為2322242mvkTdNmev dvNkT 2223224vekTmvfk

8、Tmv麥克斯韋麥克斯韋速率分布函數(shù)速率分布函數(shù)m分子的質(zhì)量分子的質(zhì)量T熱力學(xué)溫度熱力學(xué)溫度k玻耳茲曼常量玻耳茲曼常量(1) 定義：定義：與與 f( (v) )極大值相對(duì)應(yīng)的速率，稱(chēng)為最可幾極大值相對(duì)應(yīng)的速率，稱(chēng)為最可幾速率或最概然速率速率或最概然速率。(2) 物理意義：物理意義：若把整個(gè)速率范圍劃分為許多相等的若把整個(gè)速率范圍劃分為許多相等的小區(qū)間，則分布在小區(qū)間，則分布在vP所在所在區(qū)間的分子數(shù)比率最大。區(qū)間的分子數(shù)比率最大。(3) vP的值：的值：令令 0dvvdfMRTMRTmkTvp41. 1 22 三、三種統(tǒng)計(jì)速率三、三種統(tǒng)計(jì)速率1、最可幾速率、最可幾速率vP得得2、平均速率、平均速

9、率(1)定義：定義：大量氣體分子速率的算術(shù)平均值叫做平均速率。大量氣體分子速率的算術(shù)平均值叫做平均速率。(2)計(jì)算：計(jì)算：NvdNv dvvNfdN)( dvvvfNdvvvNfNvdNv)()(MRTMRTmkTv60. 1 8 8 NNvvii 3、方均根速率、方均根速率(1)定義：定義： 大量氣體分子速率的平方平均值的平方根叫做大量氣體分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。方均根速率。(2)計(jì)算：計(jì)算： dvvfvNdvvNfvNdNvv)()(2222MRTMRTmkTvvrms 73. 1 3 32 4、討論、討論(1)vp 隨隨 T 升高而增大升高而增大，隨，隨m 增大而減小

10、增大而減小。(2)三種速率的大小順序?yàn)槿N速率的大小順序?yàn)?rmspvvv MRTMRTmkTvp41. 1 22 21mm ov)(vf1Pv2Pvm 2m 1T 112TT ov)(vf1Pv2PvT 2(3)(3)三種速率的意義三種速率的意義討論速率分布時(shí)討論速率分布時(shí)用最概然速率用最概然速率討論分子碰撞時(shí)討論分子碰撞時(shí)用平均速率用平均速率討論分子平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)討論分子平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)用方均根速率用方均根速率(4)(4)都含有統(tǒng)計(jì)的平均意義，反映大量分子作熱都含有統(tǒng)計(jì)的平均意義，反映大量分子作熱 運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。練習(xí)練習(xí) 說(shuō)明下列各量的物理意義：說(shuō)明下列各量的物理意義：dv

11、vf)(.1dvvNf)(.23.( )nf v dv 21)(.4vvdvvf 21)(.5vvdvvNf 0)(.6dvvf 02)(.7dvvfv 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v + dv 速率區(qū)間內(nèi)的分速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)子數(shù)。 單位體積內(nèi)分子速率分布在速率單位體積內(nèi)分子速率分布在速率 v 附近附近 v v + dv 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。dNdvvNf )(. 2VdNNdNVNdvvnf )(. 3答：答： 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v + dv 速率區(qū)間內(nèi)的分速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。子數(shù)占總分子數(shù)的比率。NdNdvvf )(.

12、1NdvdNvf )( )()(2121)(.4vNvNvvNdNdvvf 分布在有限速率區(qū)分布在有限速率區(qū)間間v1 v2 內(nèi)的分子數(shù)內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。占總分子數(shù)的比率。 )()(2121)(.5vNvNvvdNdvvNf 分布在有限速率區(qū)分布在有限速率區(qū)間間 v1 v2 內(nèi)的分子數(shù)內(nèi)的分子數(shù)。1)(.60 dvvf 分布在分布在 0 速率區(qū)速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率比率。（。（ 歸一化條件）歸一化條件）202)(.7vdvvfv v2 的平均值。的平均值。例例1、 設(shè)想有設(shè)想有N個(gè)氣體分子個(gè)氣體分子, 其速率分布函其速率分布函數(shù)為數(shù)為 00000vv

13、vvvvAvvf)()(試求試求: (1) 常數(shù)常數(shù)A；(2)最可幾速率，平均速率和方均根最可幾速率，平均速率和方均根速率；速率；(3) 速率介于速率介于0v0/3之間的分子數(shù)；之間的分子數(shù)；(4) 速率介速率介于于0v0/ 3 之間的氣體分子的平均速率。之間的氣體分子的平均速率。)(vfov0v解：解： (1)氣體分子的分布曲線(xiàn)如圖氣體分子的分布曲線(xiàn)如圖由歸一化條件由歸一化條件10 dvvf)(1630000 vAdvvvAvv)(306Av(2)最可幾速率由最可幾速率由0 pvdvvdf)(決定，即決定，即020 ppvvvvAdvvdf)()(20vvp 平均速率平均速率26000230

14、00vdvvvvvdvvvfvv )()(方均速率方均速率200033002210360vdvvvvvdvvfvvv )()(方均根速率為方均根速率為02103vv (3)速率速率介于介于0v0/ 3 之間的分子數(shù)之間的分子數(shù)2776300303000NdvvvvvNdvvNfdNNvv )()( (4)速率速率介于介于0v0/ 3 之間的氣體分子平均速率為之間的氣體分子平均速率為143277603002303030300000vNdvvvvvNdNvdNvvvvv )(討討論論速率速率介于介于v1v2之間的氣體分子的平均速率的計(jì)算之間的氣體分子的平均速率的計(jì)算 212121vvvvvvdvv

15、fdvvvfv)()( 2121vvvvdvvvfv)(對(duì)于對(duì)于v的某個(gè)函數(shù)的某個(gè)函數(shù)g(v)，一般地，其平均值可以表示為一般地，其平均值可以表示為 00dvvfdvvfvgvg)()()()(4-7 分子平均碰撞次數(shù)和平均自由程分子平均碰撞次數(shù)和平均自由程分子熱運(yùn)動(dòng)速率很大，平均速分子熱運(yùn)動(dòng)速率很大，平均速率可達(dá)幾百米率可達(dá)幾百米/ /秒，而擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)秒，而擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)卻進(jìn)行得很慢。卻進(jìn)行得很慢。( (演示演示）克勞修斯指出克勞修斯指出：氣體分子的速度雖然很大，但前：氣體分子的速度雖然很大，但前進(jìn)中要與其他分子作頻繁的碰撞，每碰一次，分進(jìn)中要與其他分子作頻繁的碰撞，每碰一次，分子運(yùn)動(dòng)方向就發(fā)生改變

16、，所走的路程非常曲折。子運(yùn)動(dòng)方向就發(fā)生改變，所走的路程非常曲折。一、平均自由程一、平均自由程 和和平均碰撞次數(shù)的定義平均碰撞次數(shù)的定義Zv Z2 2、平均碰撞頻率、平均碰撞頻率 在單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)分子與其它分子碰撞的平均次在單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)分子與其它分子碰撞的平均次數(shù)，叫做分子的數(shù)，叫做分子的平均碰撞次數(shù)平均碰撞次數(shù)或或平均碰撞頻率平均碰撞頻率。3 3、二者關(guān)系、二者關(guān)系 1 1、平均自由程、平均自由程分子在連續(xù)兩次碰撞之間分子在連續(xù)兩次碰撞之間所經(jīng)過(guò)的路程的平均值叫做所經(jīng)過(guò)的路程的平均值叫做平均自由程平均自由程。(演示）演示） 假定假定每個(gè)分子都是有效直徑為每個(gè)分子都是有效直徑為d 的彈性小球。

17、的彈性小球。只有某一個(gè)分子只有某一個(gè)分子A以平均速率以平均速率 運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)，其余分子都靜止。其余分子都靜止。vA dddvv二、平均自由程二、平均自由程和和平均碰撞次數(shù)的計(jì)算平均碰撞次數(shù)的計(jì)算1 1、平均碰撞次數(shù)、平均碰撞次數(shù)A dddvv運(yùn)動(dòng)方向上，以運(yùn)動(dòng)方向上，以 d 為半徑的圓柱體內(nèi)的分子都將為半徑的圓柱體內(nèi)的分子都將與分子與分子A 碰撞碰撞球心在圓柱球心在圓柱體內(nèi)的分子體內(nèi)的分子一秒鐘內(nèi)一秒鐘內(nèi): :分子分子A經(jīng)過(guò)路程為經(jīng)過(guò)路程為v相應(yīng)圓柱體體積為相應(yīng)圓柱體體積為vd2 圓柱體內(nèi)圓柱體內(nèi)分子數(shù)分子數(shù)nvd2 nvdZ2 一秒鐘內(nèi)一秒鐘內(nèi)A與其它分子與其它分子發(fā)生碰撞的發(fā)生碰撞的平均次數(shù)平均次數(shù)nvdZ2 一切分子都在運(yùn)動(dòng)一切分子都在運(yùn)動(dòng)nvdZ22 2 2、平均自由程、平均自由程21122vZnd npdkT22 nkTp 在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，多數(shù)氣體平均自由程在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，多數(shù)氣體平均自由程 10-8m，只有氫氣只有氫氣約為約為10-7m。一般一般d10-10