定積分物理應(yīng)用ppt課件

1、本節(jié)要點(diǎn)本節(jié)要點(diǎn) 定積分的一個(gè)重要運(yùn)用就是在物理上的運(yùn)用定積分的一個(gè)重要運(yùn)用就是在物理上的運(yùn)用. 本節(jié)重本節(jié)重一、變力沿直線所作的功一、變力沿直線所作的功二、水壓力二、水壓力三、引力三、引力點(diǎn)討論定積分在物理學(xué)上的運(yùn)用點(diǎn)討論定積分在物理學(xué)上的運(yùn)用. 主要內(nèi)容有主要內(nèi)容有:一、變力沿直線所作的功一、變力沿直線所作的功 從物理學(xué)中知道，假設(shè)物體在作直線運(yùn)動(dòng)的過程中受從物理學(xué)中知道，假設(shè)物體在作直線運(yùn)動(dòng)的過程中受Fs.WF s到常力到常力 的作用，并且力作用的方向與位移的方向一的作用，并且力作用的方向與位移的方向一F致，那么當(dāng)物體挪動(dòng)了間隔致，那么當(dāng)物體挪動(dòng)了間隔 時(shí)，力時(shí)，力 對(duì)物體所作的功為對(duì)物

2、體所作的功為Fs 假設(shè)物體在運(yùn)動(dòng)過程中遭到變力的作用，如何求出相假設(shè)物體在運(yùn)動(dòng)過程中遭到變力的作用，如何求出相應(yīng)的功？應(yīng)的功？rOabqqr例例1 把一個(gè)帶電量為把一個(gè)帶電量為 的點(diǎn)電荷放在的點(diǎn)電荷放在 軸的坐標(biāo)原軸的坐標(biāo)原O點(diǎn)點(diǎn) 處，它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)，并對(duì)周圍的電荷產(chǎn)生作用處，它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)，并對(duì)周圍的電荷產(chǎn)生作用力力. 由物理學(xué)知道，假設(shè)有一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電由物理學(xué)知道，假設(shè)有一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電Or場(chǎng)中離原點(diǎn)場(chǎng)中離原點(diǎn) 為為 的地方，那么電場(chǎng)對(duì)它的作用力為的地方，那么電場(chǎng)對(duì)它的作用力為rrbabF處沿處沿 挪動(dòng)到挪動(dòng)到 處處 時(shí)，求電場(chǎng)力時(shí)，求電場(chǎng)力 所作的功所作的功.ra2qF

3、krk 是常數(shù)是常數(shù). 當(dāng)這個(gè)單位正電荷從電場(chǎng)從當(dāng)這個(gè)單位正電荷從電場(chǎng)從rOabq對(duì)它所作的功近似于對(duì)它所作的功近似于2d ,kqrr從而功元素為從而功元素為2dd .kqWrrdrrrr, a b解解 取取 為積分變量，在為積分變量，在 區(qū)間中取一小區(qū)間區(qū)間中取一小區(qū)間,d,r rrrdrr當(dāng)單位電荷從當(dāng)單位電荷從 挪動(dòng)到挪動(dòng)到 時(shí)，電場(chǎng)力時(shí)，電場(chǎng)力rOabqdrrr于是所求的功為于是所求的功為2111d.bbaakqWrkqkqrrab abOx例例2 內(nèi)燃機(jī)動(dòng)力的產(chǎn)生可簡(jiǎn)化為如下內(nèi)燃機(jī)動(dòng)力的產(chǎn)生可簡(jiǎn)化為如下的模型：把汽缸看作為一個(gè)圓柱描畫的模型：把汽缸看作為一個(gè)圓柱描畫器，在圓柱描畫器中

4、盛有一定的氣體，器，在圓柱描畫器中盛有一定的氣體，在等溫條件下，由于氣體的膨脹，把在等溫條件下，由于氣體的膨脹，把容器中的一個(gè)活塞從一點(diǎn)處推移到另容器中的一個(gè)活塞從一點(diǎn)處推移到另一點(diǎn)處，經(jīng)過一定的機(jī)械安裝將活塞一點(diǎn)處，經(jīng)過一定的機(jī)械安裝將活塞的這直線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力傳播出去，假設(shè)的這直線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力傳播出去，假設(shè)a, S活塞的面積為活塞的面積為 計(jì)算活塞從點(diǎn)計(jì)算活塞從點(diǎn) 移到移到b點(diǎn)點(diǎn) 的過程中氣體壓力所作的功的過程中氣體壓力所作的功.與體積與體積 的乘積是常數(shù)的乘積是常數(shù) 即有即有V, k.pVk因因 所以所以,VxS.kpxS于是作用在活塞上的力為于是作用在活塞上的力為.kFpSxabOxx解解

5、取坐標(biāo)系如下圖，活塞的位置用坐標(biāo)取坐標(biāo)系如下圖，活塞的位置用坐標(biāo) 來表示，來表示，p由物理學(xué)知道，一定量的氣體在等溫條件下，壓強(qiáng)由物理學(xué)知道，一定量的氣體在等溫條件下，壓強(qiáng)ddd ,kWF xxx因此總功為因此總功為dln.bakbWxkxaabOxxdxx取取 為積分變量，取小區(qū)間為積分變量，取小區(qū)間 ，那么作功元素為，那么作功元素為x,dx xx例例3 一圓柱形蓄水池高一圓柱形蓄水池高5米，底半徑為米，底半徑為3米，池內(nèi)盛滿了米，池內(nèi)盛滿了xoxdxx5解解取取 為積分變量，為積分變量，x0,5 .x取代表性的一個(gè)小區(qū)間取代表性的一個(gè)小區(qū)間,dx xx那么這一層薄水的重力為那么這一層薄水的

6、重力為22d9.8d9.8d9.83 d ,GVRxx將這一層水抽出水池所作的功為將這一層水抽出水池所作的功為2d9.83 d88.2d ,WdG xx xx x水，要把池內(nèi)的水全部吸出，需作多少功？水，要把池內(nèi)的水全部吸出，需作多少功？于是，功為于是，功為5500d88.2dWWx x 52088.23462.2xJ例例4 一球形儲(chǔ)液箱半徑為一球形儲(chǔ)液箱半徑為R，并盛滿了密度為，并盛滿了密度為k的液體，的液體，解解 取取 為積分變量，為積分變量，x取代表性的一個(gè)小區(qū)間取代表性的一個(gè)小區(qū)間,dx xx那么這一層液體的重力為那么這一層液體的重力為22dddGk VkRxx將這一層液體抽出所作的功

7、為將這一層液體抽出所作的功為22ddWdGRxkRxRxx要把儲(chǔ)液箱內(nèi)的液體全部抽出，需作多少功？要把儲(chǔ)液箱內(nèi)的液體全部抽出，需作多少功？OxdxxxRR22ddRRRRWWkRxRxx于是，功為于是，功為44.3k R2202dRk RRxxOx123例例5 用鐵錘將一鐵釘擊入木板，用鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc擊入設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc擊入木板的深度成正比木板的深度成正比. 在第一在第一次時(shí)，將鐵釘擊入木板一厘次時(shí)，將鐵釘擊入木板一厘米，假設(shè)鐵錘每次打擊鐵釘米，假設(shè)鐵錘每次打擊鐵釘所作的功相等，問鐵釘在第所作的功相等，問鐵釘在第n次時(shí)將鐵釘擊入多少？次時(shí)將鐵釘擊入多少？解解 設(shè)

8、木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇樵O(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇? f木板阻力系數(shù)為木板阻力系數(shù)為, k( ).f xkx那么由條件得，那么由條件得，fOx123第一次錘擊時(shí)所作的功為第一次錘擊時(shí)所作的功為11100( )dd,2kWf xxkx x設(shè)第設(shè)第 次錘擊時(shí)所作的功為次錘擊時(shí)所作的功為n,nW此時(shí)鐵釘深度為此時(shí)鐵釘深度為, h那那么么201d.2hnWkx xkh由題意，每次錘擊時(shí)所作的功相等，即有由題意，每次錘擊時(shí)所作的功相等，即有2111,22nWnWknkhf.hnxdxx所以第所以第 次錘擊時(shí)擊入的深度為次錘擊時(shí)擊入的深度為n1.nhnnH2R的水池底部，要將此球取出水面，需求作多少功？的水池底部，要

9、將此球取出水面，需求作多少功？解解總的作功兩部分組成，總的作功兩部分組成，表示將球提升至球的上端與水面表示將球提升至球的上端與水面1W例例6 一個(gè)半徑為一個(gè)半徑為R，比重，比重 的球，沉入深度為的球，沉入深度為H1 相齊時(shí)需求作的功，相齊時(shí)需求作的功，它等于抑制球重與浮力之差作的功，它等于抑制球重與浮力之差作的功，球重為球重為34,3R浮力為浮力為34,3R球提升的高度為球提升的高度為2HRH33144233WRRHR所以所以H34123RHR表示將球完全提出水面作的功，表示將球完全提出水面作的功，2W它等于抑制球重與在水中部分的它等于抑制球重與在水中部分的球遭到的浮力之差作的功，球遭到的浮力

10、之差作的功，H球重球重為為34,3R2133hRhx當(dāng)球提升了當(dāng)球提升了 高度時(shí)，在水下部分的球的高度為高度時(shí)，在水下部分的球的高度為x在水下部分的球遭到的浮力為在水下部分的球遭到的浮力為2,hRx 2123RxRx3231343xRxRHx32241d3d33WRhRhx3323434d3RxRxRx332413d3RxRxx2220dRWW23320413d3RRxRxxHx2220dRWW23320413d3RRxRxx2343014134RRxxRx44213R12WWW34123RHR44213R3413RRH漏掉，問起重機(jī)每任務(wù)一次要抑制重力作多少功？漏掉，問起重機(jī)每任務(wù)一次要抑制

11、重力作多少功？例例7 用一個(gè)機(jī)械抓斗從用一個(gè)機(jī)械抓斗從30m的深井中挖泥，每次抓斗泥的深井中挖泥，每次抓斗泥中的泥土重為中的泥土重為2000N，抓斗自重，抓斗自重400N，纜繩的分量為，纜繩的分量為50N/m，抓斗提升速度為3m/s，提升過程中泥土以20N/s解解總的作功由三部分組成，總的作功由三部分組成，表示抑制抓斗自重所作的功，表示抑制抓斗自重所作的功，1W表示抑制纜繩分量所作的功，表示抑制纜繩分量所作的功，2W表示將泥土從井底提升至井口所作的功，表示將泥土從井底提升至井口所作的功，3W30m30m 1400 3012000WJOxxdxx表示抑制抓斗自重所作的功，表示抑制抓斗自重所作的功

12、，1W表示抑制纜繩分量所作的功，表示抑制纜繩分量所作的功，2W取小區(qū)間取小區(qū)間,dx xx纜繩剩余長(zhǎng)度為纜繩剩余長(zhǎng)度為30 x2d3050 dWxx3030200d3050 dWWxx 3020150 30225002xxJ30mOxxdxx表示將泥土從井底提升至井口所作的功，表示將泥土從井底提升至井口所作的功，3W留意抓斗在提升過程中泥土以留意抓斗在提升過程中泥土以20N/s漏掉，漏掉，由于抓斗提升速度為由于抓斗提升速度為3m/s，所以抓斗提升至所以抓斗提升至 x 高度時(shí)所需時(shí)間為高度時(shí)所需時(shí)間為x/3s，在在 高度抓斗中泥土重為高度抓斗中泥土重為x200020,3x所以所以320d2000

13、d3xWx1030330020d2000d3xWWx 57000 J30mOxxdxx 12391500WWWWJ二、水壓力二、水壓力側(cè)所遭到的水壓力側(cè)所遭到的水壓力.d.pg d 從物理學(xué)中知道，水深從物理學(xué)中知道，水深 處的壓強(qiáng)為處的壓強(qiáng)為 其中其中g(shù)A是水的比重，是水的比重， 為重力為重力. 假設(shè)有一塊面積為假設(shè)有一塊面積為 的平板水的平板水.FpAd平地置于深度為平地置于深度為 處，那么平板一側(cè)所受的水壓力為處，那么平板一側(cè)所受的水壓力為假設(shè)平板并非程度地置于水中，我們來得到此時(shí)平板一假設(shè)平板并非程度地置于水中，我們來得到此時(shí)平板一計(jì)算閘門的一側(cè)所受的水壓力計(jì)算閘門的一側(cè)所受的水壓力.

14、20m10mxoxdxx6m處所遭到的水的壓強(qiáng)近似等處所遭到的水的壓強(qiáng)近似等于于,d,x xx2kN/m.xg例例8 某水庫的閘門外形為等腰梯形，它的兩條底邊的長(zhǎng)某水庫的閘門外形為等腰梯形，它的兩條底邊的長(zhǎng)10 , 6 ,mm20 ,m分別為分別為 和和 高為高為 較長(zhǎng)的底邊與程度面相齊，較長(zhǎng)的底邊與程度面相齊，x解解 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖. 取取 為積分變量，變化范圍為為積分變量，變化范圍為0,20 ,0,20在在 中任取一個(gè)小區(qū)間中任取一個(gè)小區(qū)間而閘門上對(duì)應(yīng)該小區(qū)間的窄條各點(diǎn)而閘門上對(duì)應(yīng)該小區(qū)間的窄條各點(diǎn)20m10mxoxdxx6m窄條的寬度近似為窄條的寬度近似為10.5x因此這一

15、窄條一側(cè)所遭到的水壓力近似為因此這一窄條一側(cè)所遭到的水壓力近似為d10d ,5xFgxx于是所求的水壓力為于是所求的水壓力為202000d10d5xFFgxx20320514373 kN .15xgxox例例9 一個(gè)橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，設(shè)一個(gè)橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，設(shè),R桶的底面半徑為桶的底面半徑為 求桶的一端面上的水壓力求桶的一端面上的水壓力.解解 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.取取 為積分變量，為積分變量，x0,xRR取小區(qū)間取小區(qū)間,d,x xxxdxx壓強(qiáng)為壓強(qiáng)為.px小矩形的寬為小矩形的寬為222,RxoxRxdxx22d2d ,Px Rxx那么小矩形片所

16、遭到的水壓力那么小矩形片所遭到的水壓力為為2202dRPx Rxx22220dRRxRx 32.3R例例10 有一個(gè)長(zhǎng)為有一個(gè)長(zhǎng)為a，底寬為，底寬為b的薄板放入長(zhǎng)方體水箱中，的薄板放入長(zhǎng)方體水箱中，取取 為積分變量，為積分變量，x0, sin,xb取小區(qū)間取小區(qū)間,d,x xx壓強(qiáng)為壓強(qiáng)為.px斜放小矩形的面積為斜放小矩形的面積為dsinxa薄板與箱底夾角為薄板與箱底夾角為 如圖，求薄板一側(cè)遭到的水如圖，求薄板一側(cè)遭到的水Oxab壓力。壓力。sinb建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.解解 水箱深為水箱深為sinbxdxxdsinxaOxabsinbxdxxdsinxadd ,sinaPxx那么小矩

17、形片所遭到的水壓力那么小矩形片所遭到的水壓力為為從而矩形片遭到的水壓力為從而矩形片遭到的水壓力為sin0dsinbaPxx2221sinsin2sin2abab例例11 有一個(gè)半徑為有一個(gè)半徑為2m的球放入水中，中心位于水下的球放入水中，中心位于水下3m,求球面遭到的水壓力求球面遭到的水壓力.解解 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.取取 為積分變量，為積分變量，x2,2 ,x 取小區(qū)間取小區(qū)間,d,x xx壓強(qiáng)為壓強(qiáng)為3 .pxOx23xdxx位于位于 間的球面面積為間的球面面積為,dx xx22=4xy2d24dAxsds2Ox23xdxx22=4xy2d1dsyxds22221dd4xxxyx

18、 d4 dAxd43 d ,Pxx壓力元素為壓力元素為整個(gè)球面遭到壓力為整個(gè)球面遭到壓力為2243 d48Pxx三、引力三、引力 由物理學(xué)知道，質(zhì)量分別為由物理學(xué)知道，質(zhì)量分別為 相距為相距為 的兩質(zhì)點(diǎn)的兩質(zhì)點(diǎn)12,m mr122m mFkr其中其中 為引力系數(shù)，引力的方向沿這兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向?yàn)橐ο禂?shù)，引力的方向沿這兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向.k間的引力大小為間的引力大小為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 的引力的引力.M質(zhì)量為質(zhì)量為 那么引力元素那么引力元素為為d ,y22dd.m yFkayMaydyyyx2l2lrl例例12 有一長(zhǎng)度為有一長(zhǎng)度為 、線密度為、線密度為 的均勻細(xì)棒，在其中垂的均勻細(xì)棒，在其中垂am,M線上距棒線上距棒 單位處有一質(zhì)量為單位處有一質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn) 計(jì)算該棒對(duì)計(jì)算該棒對(duì)y解解 建立坐標(biāo)系如圖：取建立坐標(biāo)系如圖：取 為為,dy yy積分變量，在區(qū)間積分變量，在區(qū)間上，將小段近似看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，上，將小段近似看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，Maydyyyx2l2lr從而在程度方向的分力元素為從而在程度方向的分力元素為3/222dd,xamyFkay 于是得到引力在程度方向的分力為于是得到引力在程度方向的分力為/23/2/222dlxlkamFyay 2221.4km laal 由對(duì)稱性，引力在鉛直方向分