24.3正多邊形和圓分析

1、問題問題1，什么樣的圖形是正多邊形？，什么樣的圖形是正多邊形？各邊相等各邊相等,各角也相等的多邊形是正多邊形各角也相等的多邊形是正多邊形.如何畫正多邊形，如正五邊形如何畫正多邊形，如正五邊形 ？ 正多邊形和圓的關(guān)系非常密切正多邊形和圓的關(guān)系非常密切,只要把一個圓分成相等的一些弧只要把一個圓分成相等的一些弧,就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形,這個圓就是這個正多邊形的外接圓這個圓就是這個正多邊形的外接圓.ABCDEO 如圖如圖,把把 O分成把分成把 O分成相等的分成相等的5段弧段弧,依次連接各分點得到依次連接各分點得到正五邊形正五邊形ABCDE. AB=BC=CD=DE

2、=EA, A=B.ABCDEO同理同理B=C=D=E.又五邊形又五邊形ABCDE的頂點都在的頂點都在 O上上, 五邊形五邊形ABCD是是 O的內(nèi)接正五邊形的內(nèi)接正五邊形, O是五邊形是五邊形ABCD的外接圓的外接圓.我們以圓內(nèi)接正五邊形為例證明我們以圓內(nèi)接正五邊形為例證明.弧弧AB=弧弧BC=弧弧CD=弧弧DE=弧弧EA弧弧BCE=弧弧CDA=3弧弧AB正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角中心角.O中心角中心角半徑半徑R邊心距邊心距r我們把一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的我們把一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心中心.外

3、接圓的半徑叫做正多邊形的外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑半徑.中心到正多邊形的距離叫做正多邊形的中心到正多邊形的距離叫做正多邊形的邊心距邊心距. 正五邊形中心角多少度，外角多少度？ 六邊形呢？正n邊形呢？ABCDEO正五邊形 中心角3605=72（度） 外角 3605=72（度）正六邊形 中心角3606=60（度） 外角 3606=60（度）正n邊形 中心角 360/n（度） 外角 360/n（度）正多邊形中心角等于外角正多邊形中心角等于外角例例 有一個亭子有一個亭子,它的地基半徑為它的地基半徑為4m的正六邊形的正六邊形,求地基的周長和面積求地基的周長和面積(精確到精確到0.1m2).解解: 如

4、圖由于如圖由于ABCDEF是正六邊形是正六邊形,所以它的中心角等于所以它的中心角等于 ，OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑.360606因此因此,亭子地基的周長亭子地基的周長l =46=24(m).在在RtOPC中中,OC=4, PC=4222BC ，利用勾股定理利用勾股定理,可得邊心距可得邊心距22422 3.r 亭子地基的面積亭子地基的面積211242 341.6(m ).22SlrOABCDEFRPr練習練習1. 矩形是正多邊形嗎矩形是正多邊形嗎?菱形呢菱形呢?正方形呢正方形呢?為什么為什么?矩形不是正多邊形矩形不是正多邊形,因

5、為四條邊不都相等因為四條邊不都相等;菱形不是正多邊形菱形不是正多邊形,四個角不都相等四個角不都相等;正方形是正多邊形因為四條邊都相等，四個角都相等正方形是正多邊形因為四條邊都相等，四個角都相等.2. 各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形?各角都相等各角都相等的圓內(nèi)接多邊形呢的圓內(nèi)接多邊形呢?如果是如果是,說明為什么說明為什么;如果不是如果不是,舉出反舉出反例例.各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形多邊形.各角相等的圓內(nèi)接多邊形不一各角相等的圓內(nèi)接多邊形不一定是正多邊形定是正多邊形 如矩形如矩形A1AAAAAAAnO 3 分別求出半徑為分別求出半

6、徑為1的圓內(nèi)接正三角形，正方形的邊長，的圓內(nèi)接正三角形，正方形的邊長，邊心距和面積邊心距和面積.ABCDOABCDOE 4.求出半徑為求出半徑為R的圓內(nèi)接正三角形的邊長，邊心距和面積的圓內(nèi)接正三角形的邊長，邊心距和面積.解：作等邊解：作等邊ABC的的BC邊上的高邊上的高AD,垂足為垂足為 D，則中心，則中心O 在在AD上。上。連接連接OB，則，則OB=R在在RtOBD中中 OBD=30,邊心距邊心距OD=1.2R1322ADOAODRRR，21133 33.2224ABCSBC ADRRRABCDORRRRODOBBD2343)2(22222RCDBC322222OEOBR邊心距22222BC

7、BERR 邊長2222ABCDSAB BCRR正方形ABCDOE 5.求出半徑為求出半徑為R的圓內(nèi)接正方形的邊長，邊心距和的圓內(nèi)接正方形的邊長，邊心距和面積面積.例如，我們可以這樣來畫一個邊長為例如，我們可以這樣來畫一個邊長為2cm的正六邊形的正六邊形第一種方法，如圖，以第一種方法，如圖，以2cm為半徑作一個為半徑作一個 O，用量角器畫一個等于，用量角器畫一個等于 的圓心角，它對著一段弧，然后在圓上依次截取與這的圓心角，它對著一段弧，然后在圓上依次截取與這條弧相等的弧，就得到圓的條弧相等的弧，就得到圓的6個等分點，順次連接各分點，即可得出正個等分點，順次連接各分點，即可得出正六邊形六邊形606

8、36060O90018060120利用這種利用這種方法可以方法可以畫出任意畫出任意的正的正n邊邊形形. .第二種方法，如圖，以第二種方法，如圖，以2cm為半徑作一個為半徑作一個 O，由于正六邊形的半徑等，由于正六邊形的半徑等于邊長，所以在圓上依次截取等于于邊長，所以在圓上依次截取等于2cm的弦，就可以將圓六等分，順的弦，就可以將圓六等分，順次連接各分點即可次連接各分點即可O由此由此, ,你能你能畫出正三角畫出正三角形形, ,正十二正十二邊形嗎邊形嗎? ?用等分圓周的方法畫出下列圖案：用等分圓周的方法畫出下列圖案：練習練習當堂檢測：當堂檢測：1、O是正是正圓與圓的圓心。圓與圓的圓心。ABC的中心

9、，它是的中心，它是ABC的的2、OB叫正叫正ABC的，的，它是正它是正ABC的的 圓的半徑。圓的半徑。 3、OD叫作正ABC的的，它是正，它是正ABC的的 圓的半徑。圓的半徑。ABC.OD外接外接內(nèi)切內(nèi)切半徑半徑外接外接邊心距邊心距內(nèi)切內(nèi)切4、正方形、正方形ABCD的外接圓圓心的外接圓圓心O叫做叫做正方形正方形ABCD的的5、正方形、正方形ABCD的內(nèi)切圓的半徑的內(nèi)切圓的半徑OE叫做叫做正方形正方形ABCD的的ABCD.OE中心中心邊心距邊心距6、 O是正五邊形是正五邊形ABCDE的外接圓，弦的外接圓，弦AB的的弦心距弦心距OF叫正五邊形叫正五邊形ABCDE的的 ，它是正五邊形它是正五邊形ABCDE的圓的半徑。的圓的半徑。7、 AOB叫做正五邊形叫做正五邊形ABCDE的角，的角，它的度數(shù)是它的度數(shù)