（精心整理）【good~】高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)、易混、易忘題分類匯編

1、高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)、易混、易忘題分類匯編高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)、易混、易忘題分類匯編【易錯(cuò)點(diǎn) 42】向量與解析幾何的交匯例 42、 （03 年新課程高考）已知常數(shù)a0，向量c=（0，a） ，i=（1，0） ，經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O 以c+i為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，a）以i2c為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中R.試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題綜合程度較高，一方面學(xué)生對(duì)題意的理解如對(duì)方向向量的概念的理解有誤，另一面在向量的問題情景下不能很好的結(jié)合圓錐曲線的定義來(lái)解答，使思維陷入僵局。解析：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn) P 坐

2、標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn) P 到兩定點(diǎn)距離的和為定值.i=（1，0） ，c=（0，a） ， c+i=（，a） ，i2c=（1，2a）因此，直線OP和AP的方程分別為 和 .消去參數(shù) ，得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足axy axay2),(yxP方程.整理得 因?yàn)樗缘茫海╥）當(dāng)時(shí)，222)(xaayy. 1)2()2(81222aayx, 0a22a方程是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn) E 和 F；（ii）當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓，焦點(diǎn)220 a和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)；（iii）當(dāng)時(shí)，方程也表示橢)2,2121(2aaE)2,2121(2aaF22a圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).)21(21

3、, 0(2aaE)21(21, 0(2aaF【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算,求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。在高考中向量與圓錐曲線的結(jié)合是成為高考命題的主旋律，在解題過(guò)程中一方面要注意在給出的向量問題情景中轉(zhuǎn)化出來(lái)另一方面也要注意應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決解析幾何問題如：線段的比值、長(zhǎng)度、夾角特別是垂直、點(diǎn)共線等問題，提高自已應(yīng)用向量知識(shí)解決解析幾何問題的意識(shí)?！揪?42】 （1） （2005 全國(guó)卷 1）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為 1 且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)xF 的直線交橢圓于 A、

4、B 兩點(diǎn)，與共線。 （）求橢圓的離心率；（）設(shè) M 為OBOA) 1, 3( a橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值。),( ROBOAOM22答案：（1）（2）=163e 22（2） （02 年新課程高考天津卷）已知兩點(diǎn) M（-1，0） ，N（1，0） ，且點(diǎn) P使，,成公差小于零的等差數(shù)列（1）點(diǎn) P 的軌跡是什么曲線？（2）若MPMN PM PNNM NP 點(diǎn) P 坐標(biāo)為（） ，記為與的夾角，求；答案：點(diǎn) P 的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，,ooxyPM PNtan為半徑的右半圓tan=|y | 30（3） （2001 高考江西、山西、天津）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為 O，拋物線 y2=2x 與過(guò)焦點(diǎn)的直線交于 A

5、、B 兩點(diǎn)，則等于（ ）A. B. C.3 D.3 答案：BOBOA4343【易錯(cuò)點(diǎn) 43】解析幾何與向量的數(shù)量積的性質(zhì)如涉及模、夾角等的結(jié)合。例 43、已知橢圓 C：上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn),其中的距離的最小值22142xyP,0M m02mPM為 1.（1）請(qǐng)確定 M 點(diǎn)的坐標(biāo)（2）試問是否存在經(jīng)過(guò) M 點(diǎn)的直線 ,使 與橢圓 C 的兩個(gè)交點(diǎn) A、B 滿足ll條件（O 為原點(diǎn)）,若存在,求出 的方程,若不存在請(qǐng)說(shuō)是理由。OAOBAB l【思維分析】此題解題關(guān)鍵是由條件知從而將條件轉(zhuǎn)化點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)OAOBAB 0OA OB 算再結(jié)合韋達(dá)定理解答。解析：設(shè)，由得故,p x y22142xy222 14xy2

6、222 14xPMxm由于且故當(dāng)時(shí)，22212 12242xxmm02m22x 022m的最小值為此時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為2PM221m1m 224m2x 解得不合題意舍去。綜上所知當(dāng)是滿足題意此時(shí) M 的坐標(biāo)為22421mm1,3m 1m （1，0） 。（2）由題意知條件等價(jià)于，當(dāng) 的斜率不存在時(shí)， 與 C 的交點(diǎn)為OAOBAB 0OA OB ll，此時(shí)，設(shè) 的方程為，代入橢圓方程整理得61,20OA OB l1yk x，由于點(diǎn) M 在橢圓內(nèi)部故恒成立，由知2222124240kxk xk0 0OA OB 即，據(jù)韋達(dá)定理得，12120 x xy y222122110kx xkxk212241

7、2kxxk代入上式得得不合21222412kx xk2222221244120kkkkkk24k 題意。綜上知這樣的直線不存在?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】在解題過(guò)程中要注意將在向量給出的條件轉(zhuǎn)化向量的坐標(biāo)運(yùn)算，從而與兩交點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)才自然應(yīng)用韋達(dá)定理建立起關(guān)系式。此題解答具有很強(qiáng)的示范性，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真體會(huì)、融會(huì)貫通?！揪?43】已知橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以右焦點(diǎn)為圓心，過(guò)另一焦點(diǎn)的圓被右準(zhǔn)2F1F線截的兩段弧長(zhǎng)之比 2:1,為此平面上一定點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程（2）若直線2,1P121PFPF 與橢圓交于如圖兩點(diǎn) A、B，令。求函數(shù)的10ykxk 120f kABF Fk f

8、 k值域答案：（1）（2）22142xy0,8易錯(cuò)點(diǎn) 44牢記常用的求導(dǎo)公式，求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系.例 44、函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為 。1 cosxyx e易錯(cuò)點(diǎn)分析復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，即。xuxyyu解析： 1 cos1 cos1 cos1 cos1 cos1cosxxxxxyex eexexe 1 cossinxxex1 cos1sinxxx e【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，適當(dāng)選定中間變量，分步計(jì)算中的每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，而其中要特別注意的是中間變量的系數(shù)。練習(xí) 44（2

9、003 年江蘇，21）已知，n 為正整數(shù)。設(shè)，證明；0a nyxa1nyn xa （1）設(shè)，對(duì)任意，證明 nnnfxxxana 111nnfnnfn解析：證明：（1）0,nnn kkknkxaCax1111111nnn kn knkkkknnkkykCaxnCaxn xa（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)：， nnnfxxxa11nnnfnxn xa當(dāng)時(shí)， 11.nnnfnn nna0 xa 0nfx是關(guān)于 x 的增函數(shù)因此，當(dāng)時(shí)， nnnaxxxan當(dāng)時(shí)，fna。11nnnnnnanna 11111111nnnnnnnfnnnnannnannn na 即對(duì)任意，. 1nnfnna 111nnfnnfn【易錯(cuò)

10、點(diǎn) 45】求曲線的切線方程。例 45、 （2005 高考福建卷）已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn) P（0，2） ，且在點(diǎn) M（daxbxxxf23)(1，f（1） ）處的切線方程為. （）求函數(shù)的解析式；076 yx)(xfy 【思維分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解答。解析：（）由的圖象經(jīng)過(guò) P（0，2） ，知 d=2，所以)(xf, 2)(23cxbxxxf由在處的切線方程是，知.23)(2cbxxxf)1(, 1(fM076 yx. 6) 1(, 1) 1(, 07) 1(6fff即故所求的解析式是. 3, 0, 32. 121, 623cbcbcbcbcb解得即. 233)(23xxxxf【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】

11、導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線 y=(x)在點(diǎn)0 x處的切線的斜率由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程具體求法分兩步： (1)求出函)(,(00 xfxP數(shù) y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線 y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率；(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和0 x)(,(00 xfxP切線斜率的條件下，求得切線方程為 特別地，如果曲線 y=f(x)在點(diǎn))( 000 xxxfyy處的切線平行于 y 軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存，根據(jù)切線定義，可得切線方程為。利用導(dǎo))(,(00 xfxP0 xx 數(shù)的幾何意義作為解題工具，有可能出現(xiàn)在解析幾何綜合試題中，復(fù)習(xí)時(shí)要注意到這一點(diǎn).【練 45】 （1）

12、（2005 福建卷）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)M（1，f(x)）處的切線方程為bxaxxf26)(x+2y+5=0.（）求函數(shù)y=f(x)的解析式；答案：362)(2xxxf（2） （2005 高考湖南卷）設(shè)，點(diǎn) P（ ，0）是函數(shù)的圖象0ttcbxxgaxxxf23)()(與的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn) P 處有相同的切線.（）用 表示a，b，c；答案：t故，.3tabc2tatb .3tc【易錯(cuò)點(diǎn) 46】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域。例 46、( 2005 全國(guó)卷 III)已知函數(shù)，（）求的單調(diào)區(qū)間和值域； 2472xf xx 01x， f x（）設(shè)，函數(shù)，若對(duì)于任意，總存在1a 22320

13、1g xxa xax， 101x ，使得成立，求的取值范圍。 001x ， 01g xf xa【易錯(cuò)點(diǎn)分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間仍然要樹立起定義域優(yōu)先的意識(shí)，同時(shí)要培養(yǎng)自已的求導(dǎo)及解不等式的運(yùn)算能力第（）問要注意將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化即轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上的 yg x 01 ，值域是函數(shù)的值域的子集，從而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)在區(qū)間上的值域。 f x yg x 01 ，解析() ，令解得或,在222224167(21)(27)( )22xxxxfxxx ( )0fx12x 72x ，所以為單調(diào)遞減函數(shù)；在，所以為單調(diào)1(0, )2x( )0,fx( )f x1( ,1)2x( )0,fx( )f x遞增

14、函數(shù)；又，即的值域?yàn)?4，-3，所以的單調(diào)遞71(0),(1)3,( )422fff ( )f x( )f x減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的值域?yàn)?4，-3.( 單調(diào)區(qū)間為閉區(qū)間也可以).1(0, )2( )f x1( ,1)2( )f x（）,又，當(dāng)時(shí)，22( )3()g xxa1a (0,1)x2( )3(1)0g xa因此，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，從而當(dāng)時(shí)，有.(0,1)x( )g x0,1x( ) (1), (0)g xgg又，即當(dāng)時(shí)，有，2(1)1 23, (0)2gaaga 0,1x2( )1 23, 2 g xaaa任給，有，存在使得，10,1x 1( ) 4, 3f x 00,1x 0

15、1()( )g xf x則又，所以的取值范圍是。251,1 23433232aaaaaa 或1a a213a【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查定位于作為解決初等數(shù)學(xué)問題的工具出現(xiàn)，側(cè)重于考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)與解析幾何中的應(yīng)用，主要有以下幾個(gè)方面：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，研究函數(shù)最值問題，一直是高考長(zhǎng)考不衰的熱點(diǎn)內(nèi)容另一方面，從數(shù)學(xué)角度反映實(shí)際問題，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值與最小值問題，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，順利地解決函數(shù)的最大值與最小值問題，從而進(jìn)一步地解決實(shí)際問題用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)比用初等方法研究要方便得多，因此，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作為 2006 年高考命題重點(diǎn)應(yīng)引起高度注意單調(diào)區(qū)間的求解過(guò)程，

16、已知 （1）分析 的定義域； （2）求)(xfy )(xfy 導(dǎo)數(shù) （3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式)(xfy0)( xf，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間，對(duì)于函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并:函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)0)( xf是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在)(xf),(ba),(cbbxf)()(xf單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)，則二),(ca區(qū)間就可以合并為以個(gè)區(qū)間。 【練 46】 （1） （2005 高考北京卷）已知函數(shù)f(x)=x33x29xa, （I）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（II）若f(x)

17、在區(qū)間2，2上的最大值為 20，求它在該區(qū)間上的最小值答案：（1）（，1） ， （3，） （2）7（2）(2005 全國(guó)卷 III)用長(zhǎng)為 90cm,寬為 48cm 的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器,先在四角分別截去一個(gè)小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn) 90角,再焊接而成(如圖),問該容器的高為多少時(shí),容器的容積最大?最大容積是多少?答案：當(dāng)x=10 時(shí),V 有最大值 V(10)=1960【易錯(cuò)點(diǎn) 47】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)中，因 a 與 b 的順序顛倒而容易出錯(cuò)。nab例 47、展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)比第二項(xiàng)的系數(shù)大 162，則 x 的一次項(xiàng)為 。322nxx【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題中若與的順序顛倒，項(xiàng)隨之發(fā)生變

18、化，導(dǎo)致出錯(cuò)。x322x解析：椐題意有：22122162,212162,9nnCCn nnn 即由 929231993222rrrrrrrrTCxCxx 則921,323rrr 3334912672TC xx 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】二項(xiàng)式的展開式相同，但通項(xiàng)公式不同，對(duì)應(yīng)項(xiàng)也不相同，在nnabba與遇到類似問題時(shí)，要注意區(qū)分。【練 47】 （濰坊高三質(zhì)量檢測(cè)）展開式中第 5 項(xiàng)與第 12 項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值相等，則展開式的4111nxx常數(shù)項(xiàng)為 。解析：據(jù)題意有，即 41141111nnCC 411nnCC4411nnnnCCC,411,15nn 令得：故展開式中常數(shù)項(xiàng)為： 15460 1511515

19、1111rrrrrrrTCxC xx 60 150,r4r 441511365C【易錯(cuò)點(diǎn) 48】二項(xiàng)式展開式中的項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的概念掌握不清，容易混淆，導(dǎo)致出錯(cuò)。例 48、在的展開式中，的系數(shù)為 ，二項(xiàng)式系數(shù)為 。5322xx5x【易錯(cuò)點(diǎn)分析】在通項(xiàng)公式中，是二項(xiàng)式系數(shù)，是項(xiàng)的系數(shù)。15 5152rrrrTCx5rC52rrC 解析：令，得，則項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，項(xiàng)的系數(shù)為。1555r2r 5x2510C 225240C 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】在二項(xiàng)展開式中，利用通項(xiàng)公式求展開式中具有某些特性的項(xiàng)是一類典型問題，其通常做法就是確定通項(xiàng)公式中 r 的取值或取值范圍，須注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)

20、別與聯(lián)系?！揪?48】 （2005 高考山東卷）如果的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 128，則展開式中的系數(shù)3213nxx31x是（ ） （A）7 （B） （C）21 （D）721答案：當(dāng)時(shí)即,根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式得1x 321(3 1)2128,71nnn 7321(3)xx時(shí)對(duì)應(yīng),即2577733177(3 )( 1) ()3( 1)rrrrrrrrrTCxxCx573,63rr 31x故項(xiàng)系數(shù)為.67 666 1733311213( 1)7 3.TCxxx 31x21【易錯(cuò)點(diǎn) 49】二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)與展開式系數(shù)最大項(xiàng)是兩個(gè)不同的概念，在求法上也有很大的差別，在次往往因?yàn)楦拍畈磺鍖?dǎo)致出錯(cuò)。例 49

21、、已知的展開式中，第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)之比為 10：122nxnNx求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)可由其二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得，即當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，同時(shí)取得最大值，求系數(shù)的最大值項(xiàng)的位置不一定在中間，需要利用通項(xiàng)公式，根據(jù)系數(shù)值的增減性具體討論而定。解析：由題意知，第五項(xiàng)系數(shù)為，第三項(xiàng)的系數(shù)為，則有，442nC 22( 2)nC 442221012nnCC 設(shè)展開式中的第 r 項(xiàng)，第 r+1 項(xiàng)，第 r+2 項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為8n，若第 r+1 項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，則，

22、解得：11118882,2 ,2rrrrrrCCC118811882222rrrrrrrrCCCC系數(shù)最大值為由知第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)56r71111792Tx8n 5611120Tx【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】在的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)，但當(dāng) a，b 的系數(shù)不為 1 時(shí)，最大nab系數(shù)值的位置不一定在中間，可通過(guò)解不等式組來(lái)確定之。112rrrrTTTT【練 49】 （2000 年上海）在二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為 111x。 （結(jié)果用數(shù)值表示）解析：展開式中第 r+1 項(xiàng)為，要使項(xiàng)的系數(shù)最小，則 r 為奇數(shù)，且使為最大，由 11111rrrCx 11rC此得，所以項(xiàng)的系數(shù)

23、為。5r 55111462C 【易錯(cuò)點(diǎn) 50】對(duì)于排列組合問題，不能分清是否與順序有關(guān)而導(dǎo)致方法出錯(cuò)。例 50、有六本不同的書按下列方式分配，問共有多少種不同的分配方式？（1）分成 1 本、2 本、3 本三組；（2）分給甲、乙、丙三人，其中 1 人 1 本，1 人兩本，1 人 3 本；（3）平均分成三組，每組 2 本；（4）分給甲、乙、丙三人，每人 2 本?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】分成三組是與順序無(wú)關(guān)是組合問題，分給三人與順序有關(guān)，是排列問題。解析：(1)分三步：先選一本有種選法，再?gòu)挠嘞碌?5 本中選兩本，有種選法，最后余下的三本全16C25C選有種選法，有分步計(jì)數(shù)原理知，分配方式有：33C12365

24、360CCC（2）由于甲、乙、丙是不同的三個(gè)人，在（1）題的基礎(chǔ)上，還考慮再分配問題，分配方式共有種。12336533360CCCA（3）先分三步：則應(yīng)是種方法，但在這里容易出現(xiàn)重復(fù)。不妨記六本書為222642CCC若第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，記該種分法為（AB，CD，EF）則, ,A B C D E F中還有（AB，EF，CD） ， （CD，EF，AB） （CD，AB，EF） ， （EF，CD，AB） ， （EF，AB，CD）共222642CCC種情況，而且這些情況僅是 AB，CD，EF 順序不同，依次只能作為一種分法，故分配方式有33A種2226423315CC

25、CA（5）在問題（3）的基礎(chǔ)上，再分配即可，共有分配方式種。2223642333CCCAA【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】本題是有關(guān)分組與分配的問題，是一類極易出錯(cuò)的題型，對(duì)于詞類問題的關(guān)鍵是搞清楚是否與順序有關(guān)，分清先選后排，分類還是分步完成等，對(duì)于平均分組問題更要注意順序，避免計(jì)算重復(fù)或遺漏。【練 50】 （2004 年全國(guó) 9）從 5 位男教師和 4 位女教師中選出 3 位教師，派到三個(gè)班擔(dān)任班主任（每班一位班主任） ，要求這三位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方法共有（ ）A、 210 種 B、420 種 C、630 種 D、840 種解析：首先選擇 3 位教師的方案有：一男兩女；計(jì)；兩男一女

26、：計(jì)=40。125430CC2154CC其次派出 3 位教師的方案是=6。故不同的選派方案共有33A種。312213545463040420ACCCC【易錯(cuò)點(diǎn) 51】不能正確分析幾種常見的排列問題，不能恰當(dāng)?shù)倪x擇排列的方法導(dǎo)致出錯(cuò)。例 51、四個(gè)男同學(xué)和三個(gè)女同學(xué)站成一排。（1）三個(gè)女同學(xué)必須排在一起，有多少種不同的排法？（2）任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？（3）其中甲、乙兩同學(xué)之間必須恰有 3 人，有多少種不同的排法？（4）甲、乙兩人相鄰，但都與丙不相鄰，有多少種不同的排法？（5）女同學(xué)從左往右按高矮順序排，有多少種不同的排法？（三個(gè)女生身高互不相等）【易錯(cuò)點(diǎn)分析】排列問題常

27、見題型有相鄰問題及不相鄰問題，順序一定問題等，如果對(duì)題意理解不夠充分，往往選擇錯(cuò)誤的方法。解析：（1）3 個(gè)女同學(xué)是特殊元素，我們先把她們排列好，共有種排法；由于 3 個(gè)同學(xué)必須排在一33A起，我們可視排好的女同學(xué)為一個(gè)整體，在與男同學(xué)排隊(duì)，這時(shí)是五個(gè)元素的全排列，應(yīng)有種排法。55A由乘法原理，有種不同排法。3535720AA（2）先將男生排好，共有種排法；再在這 4 個(gè)男生的中間及兩頭的 5 個(gè)空中插入 3 個(gè)女生，有44A種方案。故符合條件的排法共有種。35A43451440AA（3）甲、乙 2 人先排好，共有種排法；再?gòu)挠嘞碌?5 人中選三人排在甲、乙 2 人中間，有種排法，22A35A

28、這時(shí)把已排好的 5 人看作一個(gè)整體，與剩下的 2 人再排，又有種排法；這樣，總共有33A種不同的排法。423423720AAA（4）先排甲、乙、丙 3 人以外的其他四人，有種排法，由于甲、乙要相鄰，故把甲、乙排好，有44A種排法；最后把甲、乙排好的這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的 4 人的空當(dāng)中，有種排法；這樣，22A25A總共有種不同的排法。422425960AAA（5）從七個(gè)位置中選出 4 個(gè)位置把男生排好，有種排法；然后再在余下得個(gè)空位置中排女生，由于47A女生要按高矮排列。故僅有一種排法。這樣總共有種不同的排法。47A【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】解決有限制條件的排列問題方法是：直接法：間接法：即排

29、除不符合要求的情形一般先從特殊元素和特殊位置分析法元素分析法用加法原理（分類）用乘法原理（分步）插入法（不相鄰問題）捆綁法（相鄰問題）位置入手。【練 52】 （2004 年遼寧）有兩排座位，前排 11 個(gè)座位，后排 12 個(gè)座位，現(xiàn)安排 2 人就坐，規(guī)定前排中間三個(gè)座位不能坐，并且這 2 人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)（ ）A、234 B、346 C、350 D、363解析：把前后兩排連在一起，去掉前排中間 3 個(gè)座位，共有種，再加上 4 種不能算相鄰的，共有12192AA種。212201924346AAA【易錯(cuò)點(diǎn) 53】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，事件 A 發(fā)生 k 次的概率：1rn rrr

30、nTC ab。二項(xiàng)分布列的概率公式： 1n kkknnP kC PP，三者在形式上的相似，在應(yīng)用容易混,0,1,2,3,01,1kkn kknpC p qknppq且淆而導(dǎo)致出錯(cuò)。例 53、 （2004 年全國(guó)理）某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答三個(gè)問題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100 分，回答不正確得100 分。假設(shè)這名同學(xué)每題回答正確的概率均為 0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響。（1）求這名同學(xué)回答這三個(gè)問題的總得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望。（2）求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分（即）的概率。0【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)于滿足二項(xiàng)分布的分布列的概率計(jì)算公式中對(duì)于隨機(jī)變量以及二項(xiàng)分布的條件的理解出錯(cuò)。

31、解析：（1）的可能取值為300，100，100，300。32233000.20.0081003 0.20.80.0961003 0.2 0.80.3843000.80.512PPPP 所以的概率分布為300100100300P0.0080.0960.3840.512根據(jù)的概率分布，可得的期望3000.0081000.096 100 0.384300 0.512180E （2）這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為。00.3840.5120.896P【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】二項(xiàng)分布是一種常見的重要的離散型隨機(jī)變量分布列，其概率就是獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn) n 次其中發(fā)生 k 次的概率。但在解決實(shí)0,1,2,Pkk1n k

32、kknC PP際問題時(shí)一定看清是否滿足二項(xiàng)分布?！揪?53】 （2004 年重慶理 18）設(shè)一汽車在前進(jìn)途中要經(jīng)過(guò) 4 個(gè)路口，汽車在每個(gè)路口遇到綠燈（允許通行）的概率為，遇到紅燈（禁止通行）的概率為。假定汽車只在遇到紅燈或到達(dá)目的地才停止前進(jìn)，3414表示停車時(shí)已經(jīng)通過(guò)的路口數(shù)，求：（1）的概率分布列及期望；（2）停車時(shí)最多已通過(guò) 3 個(gè)路口的概率。E解析：（1）的所有可能值為 0，1，2，3，4。用表示“汽車通過(guò)第 k 個(gè)路口時(shí)不?！?則kA獨(dú)立。故123431,2,3,4,4kP AkA A A A且 1104PP A2121233133191,2( ),44164464PP AAPP

33、AAA312344123431273,4425638144256PP A AAAPP A AAA從而的分布列為01234P14316964272568125613927815250123441664256256256E （2）。811753141256256PP 【易錯(cuò)點(diǎn) 54】正態(tài)總體的概率密度函數(shù)為，當(dāng)2,N 2221,2xf xexR時(shí)，叫作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的概率密度函數(shù)，兩者在0,1 221,2xf xexR0,1N使用范圍上是不同的。例 54、燈泡廠生產(chǎn)的白熾燈泡的壽命為（單位：小時(shí)） ，已知，要使燈泡的平均21000,30N:壽命為 1000 小時(shí)的概率為，問燈泡的最低使用壽命應(yīng)控制在

34、 910 小時(shí)以上。0099.7【易錯(cuò)點(diǎn)分析】由于服從正態(tài)分布，故應(yīng)利用正態(tài)分布的性質(zhì)解題。解析：因?yàn)闊襞莸氖褂脡勖?，故在的概率?1000,30N:10003 30,10003 30 ，即在內(nèi)取值的概率為，故燈泡的最低使用壽命應(yīng)控制在 910 小時(shí)以0099.7910,10900099.7上?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】在正態(tài)分布中，為總體的平均數(shù)，為總體的標(biāo)準(zhǔn)差，另外，正態(tài)2,N 分布在的概率為，在內(nèi)取值的概率為2,N , 0068.33 ,3 。解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意正態(tài)分布在各個(gè)區(qū)間的取值概率，不可混淆，否則，將出現(xiàn)計(jì)0099.72,N 算失誤?！揪?54】一總體符合，若，則該總體在（1，2）內(nèi)的概率

35、為 。0,1N 1,2ab解析：由題意可得。12(2)(1)Pba【易錯(cuò)點(diǎn) 55】對(duì)于數(shù)列的兩個(gè)基本極限；，兩個(gè)極限成立的條件不同，lim0nnq1lim1nnaSq前者為；而后者為。1q 01q例 55、在等比數(shù)列中，且 n 項(xiàng)和，滿足那么的取值范圍是（ ） na11a nS11lim,nnSa1aA、 B、 C、 D、1,1,21,21,4【易錯(cuò)點(diǎn)分析】利用無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的各項(xiàng)和公式，求的范圍時(shí)，容易忽視這個(gè)11asq1a0q 條件。解析：設(shè)公比為 q，由知11limnnSa所以。1211221112211111110211111000aqaaqaaqqaaaqq 又112a【知識(shí)點(diǎn)歸類

36、點(diǎn)撥】對(duì)于，公比的絕對(duì)值小于 1 的無(wú)窮等比數(shù)11lim0111nnqqqqqq 存在或不存在或列前 n 項(xiàng)和在 n 無(wú)限增大時(shí)的極限，叫做這個(gè)無(wú)窮數(shù)列各項(xiàng)的和。【練 55】，求 a 的取值范圍。131lim331nnnna解析：13111limlimlim0331313311,423nnnnnnnnaaaaa 【易錯(cuò)點(diǎn) 56】立體圖形的截面問題。例 56、 （2005 哈師大附中、東北師大附中高三第二次聯(lián)考）正方體-，E、F 分別是ABCD1111A BC D、的中點(diǎn)，p 是上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)） ，過(guò) E、D、P 作正方體的截面，若截面為四邊形，1AA1CC1CC則 P 的軌跡是（）A、 線

37、段B、線段C、線段和一點(diǎn)D、線段和一點(diǎn) C。1C FCFCF1C1C F【易錯(cuò)點(diǎn)分析】學(xué)生的空間想象能力不足，不能依據(jù)平面的基本定理和線面平行定理作兩平面的交線。解析：如圖當(dāng)點(diǎn) P 在線段上移動(dòng)時(shí)，易由線面平行的性質(zhì)定理知：直線 DE 平行于平面，CF11BBCC則過(guò) DE 的截面 DEP 與平面的交線必平行，因此兩平面的交線為過(guò)點(diǎn) P 與 DE 平行的直線，由11BBCC于點(diǎn) P 在線段 CF 上故此時(shí)過(guò) P 與 DE 平行的直線與直線的交點(diǎn)在線段上，故此時(shí)截面為四邊1BB1BB形（實(shí)質(zhì)上是平行四邊形） ，特別的當(dāng) P 點(diǎn)恰為點(diǎn) F 時(shí)，此時(shí)截面為也為平行四邊形，當(dāng)點(diǎn) P 在1DEFB線段上

38、時(shí)如圖分別延長(zhǎng) DE、DP 交、于點(diǎn) H、G 則據(jù)平面基本定理知點(diǎn) H、G 既在平1C F11A D11DC截面DEP 內(nèi)也在平面1111A BC D內(nèi)，故GH 為兩平面PFED1C1B1A1CBDAKNHGPFED1C1B1A1CBDA的交線，連結(jié) GH 分別交、于點(diǎn) K、N（注也有可能交在兩直線的延長(zhǎng)線上） ，再分別連結(jié) EK、KN、PN 即得截面為11A B11BCDEKNP 此時(shí)為五邊形。故選 C【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】高考對(duì)用一平面去截一立體圖形所得平面圖形的考查實(shí)質(zhì)上對(duì)學(xué)生空間想象能力及對(duì)平面基本定理及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理的考查?？忌鶎?duì)這一類型的題感到吃力，實(shí)質(zhì)上高中階段對(duì)作

39、截面的方法無(wú)非有如下兩種：一種是利有平面的基本定理：一個(gè)就是一條直線上有兩點(diǎn)在一平面內(nèi)則這條直線上所在的點(diǎn)都在這平面內(nèi)和兩平面相交有且僅有一條通過(guò)該公共點(diǎn)的直線（即交線） （注意該定理地應(yīng)用如證明諸線共點(diǎn)的方法：先證明其中兩線相交，再證明此交點(diǎn)在第三條直線上即轉(zhuǎn)化為此點(diǎn)為兩平面的公共點(diǎn)而第三條直線是兩平的交線則依據(jù)定理知交點(diǎn)在第三條直線；諸點(diǎn)共線：即證明此諸點(diǎn)都是某兩平面的共公點(diǎn)即這此點(diǎn)轉(zhuǎn)化為在兩平的交線上）據(jù)這兩種定理要做兩平面的交線可在兩平面內(nèi)通過(guò)空間想象分別取兩組直線分別相交，則其交點(diǎn)必為兩平面的公共點(diǎn)，并且兩交點(diǎn)的連線即為兩平的交線。另一種方法就是依據(jù)線面平行及面面平行的性質(zhì)定理，去尋

40、找線面平行及面面平行關(guān)系，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線。一般情況下這兩種方法要結(jié)合應(yīng)用。【練 56】 （1） （2005 高考全國(guó)卷二）正方體 ABCDA1 B1 C1 D1中，P、Q、R、分別是 AB、AD、B1 C1的中點(diǎn)。那么正方體的過(guò) P、Q、R 的截面圖形是（）（A）三角形 （B）四邊形 （C）五邊形 （D）六邊形 答案：D （2）在正三棱柱-中，P、Q、R 分別是、的中點(diǎn)，作出過(guò)三點(diǎn)ABC111A BCBC1CC11ACP、Q、R 截正三棱柱的截面并說(shuō)出該截面的形狀。答案：五邊形。【易錯(cuò)點(diǎn) 57】判斷過(guò)空間一點(diǎn)與兩異面直線成相等的角的直線的條數(shù)例 57、 （93 全國(guó)考試）如果異面直線 a

41、、b 所在的角為,P 為空間一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn) P 與 a、b 所成的角都50是的直線有幾條？30A、一條 B 二條 C 三條 D 四條【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)過(guò)點(diǎn) P 與兩異面直線成相同的角的直線的位置關(guān)系空間想象不足，不明確與兩直線所的角與兩異面直線所成的角的內(nèi)在約束關(guān)系。解析：如圖，過(guò)點(diǎn) P 分別作 a、b 的平行線、，則、所成的角abab也為，即過(guò)點(diǎn) P 與、成相等的角的直線必與異面直線 a、b 成相50ab等的角，由于過(guò)點(diǎn) P 的直線 L 與、成相等的角故這樣的直線 L 在、aba確定的平面的射影在其角平分線上，則此時(shí)必有b當(dāng)coscoscosAPBAPOOPBcos30coscos25APO0

42、lCBbaAp時(shí)，有，此時(shí)這樣的直線存在且有兩條當(dāng)時(shí)，有cos30cos0,1cos25APO130BPC這樣的直線不存在。故選 Bcos30cos1cos65APO【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】解決異面直線所成角的問題關(guān)鍵是定義，基本思想是平移，同時(shí)對(duì)本題來(lái)說(shuō)是解決與兩異面直線所成的等角的直線條數(shù)，將兩異面直線平移到空間一點(diǎn)時(shí)，一方面考慮在平面內(nèi)和兩相交直線成等角的直線即角平分線是否滿足題意，另一方面要思考在空間中與一平面內(nèi)兩相交直線成等角的直線的條數(shù)，此時(shí)關(guān)鍵是搞清平面外的直線與平面內(nèi)的直線所成的角與平面內(nèi)的直線與平面外的直線在平面內(nèi)的射影所成的角的關(guān)系，由公式（其中是直線與平面所成的角）易知cosc

43、oscos，（最小角定理）故一般地，若異面直線 a、bcoscoscoscos所成的角為，L 與 a、b 所成的角均為，據(jù)上式有如下結(jié)論：當(dāng)時(shí)，這樣的直線不存在；02當(dāng)時(shí)，這樣的直線只有一條；當(dāng)時(shí)，這樣的直線有兩條；當(dāng)時(shí)這2222樣的直線有 3 條；當(dāng)時(shí)，這樣的直線有四條。22【練 57】如果異面直線 a、b 所在的角為,P 為空間一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn) P 與 a、b 所成的角都是的直10050線有幾條？A、一條 B 二條 C 三條 D 四條 答案：C【易錯(cuò)點(diǎn) 58】有關(guān)線面平行的證明問題中，對(duì)定理的理解不夠準(zhǔn)確，往往忽視三個(gè)條件中的某一個(gè)。, / ,aab b例 58、如圖，矩形 ABCD 所在的

44、平面，M，N 分別為 AB，PC 的中點(diǎn)。求證：平面PA /MNPAD易錯(cuò)點(diǎn)分析：在描述條件中，容易忽視。,AEPAD MNPAD面面解析：取 PD 中點(diǎn) E，連結(jié) AE，EN，則有，/ENCDABAM為平行四邊形，1122ENCDABAMAMEN/MNAE ,AEPAD MNPAD面面/MNPAD面知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥判定直線與平面平行的主要依據(jù)是判定定理，它是通過(guò)線線平行來(lái)判定線面平行，這是所指的直線是指平面外的一條直線與平行于平面內(nèi)的一條直線，在應(yīng)用該定理證線面平行時(shí)，這三個(gè)條件缺一不可?！揪毩?xí) 58（2005 浙江）如圖，在三棱錐 PABC 中，,ABBC ABBCkPA點(diǎn) O，D 分別為

45、AC，PC 的中點(diǎn)，平面求證：OD/平面 PABOP ABC證明：分別為 AC、PC 的中點(diǎn),O D/,ODPA又平面PA,PAB,/PAPAB ODPABODPAB平面平面平面CBAPDO A P N ME D C B ABPCDMNE【易錯(cuò)點(diǎn) 59】對(duì)于兩個(gè)平面平行的判定定理易把條件誤記為“一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行” ，容易導(dǎo)致證明過(guò)程跨步太大。例 59、如圖，在正方體中，M、N、P 分別是的中點(diǎn)，1111ABCDABC D11111,C C BC C D求證：平面 MNP/平面1ABD【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題容易證得 MN/,MP/BD，而直接由此得出1AD

46、面1/MNPABD面解析：連結(jié)分別是的中點(diǎn)，111,B D B CP N1111,DC BC11/,PNB D11/,/B DBDPN BD又同理：11,/PNABDPNABD面平面1/,MNABDPNMNN平面又。1/DMNABD平面平面【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】個(gè)平面平行問題的判定或證明是將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行的問題，即“線面平行則面面平行” ，必須注意這里的“線面”是指一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線和另一個(gè)平面，定理中的條件缺一不可?！揪?59】正方體中， （1）M，N 分別是棱的1111ABCDABC D1111,AB AD中點(diǎn)，E、F 分別是棱的中點(diǎn)，求證：E、F、B、D 共面

47、；1111,BC C D平面 AMN/平面 EFDB平面/平面11AB D1C BD證明：（1）則 E、F、B、D 共面。1111/,/,EFB D B DBDEFBD易證：MN/EF，設(shè)1111,ACMNP ACEFQ ACBDO/,/PQAO PQAOPAOQ/AMNEFDB平面平面連結(jié) AC，為正方體，同理1111ABCDABC DACDB11,AAABCDACBD平面可證于是得11ACBC111!1,ACC BDACABD平面同理可證平面111/AB DC BD面面【易錯(cuò)點(diǎn) 60】求異面直線所成的角，若所成角為，容易忽視用證明垂直的方法來(lái)求夾角大小這一重090要方法。例 60、 （20

48、01 全國(guó) 9）在三棱柱中，若，則所成角的大小111ABCABC12ABBB11ABC B與為（ ）A、 B、 C、 D、0600900105075【易錯(cuò)點(diǎn)分析】忽視垂直的特殊求法導(dǎo)致方法使用不當(dāng)而浪費(fèi)很多時(shí)間。解析：如圖分別為中點(diǎn)， 1,D D11,BC BC連結(jié)，設(shè)1,AD DC11,2BBAB則則 AD 為在平面上的射影。又1AB1BC11322,cos,323BCBEBDC BCBC22212cosDEBEBDBE BDC BC1132212323263而垂直。2220111,90362BEDEBDBED11ABC B與【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】求異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角時(shí)

49、，對(duì)特殊的角，如時(shí)，可090以采用證明垂直的方法來(lái)求之。【練 60】 （2005 年浙江 12）設(shè) M，N 是直角梯形 ABCD 兩腰的中點(diǎn)，于 EDEAD（如圖） ，現(xiàn)將沿 DE 折起，使二面角ADE為，此時(shí)點(diǎn) A 在平面 BCDE 內(nèi)的ADEB045射影恰為點(diǎn) B，則 M，N 的連線與 AE 所成的角的大小等于 。解析：易知取 AE 中點(diǎn) Q，連 MQ，BQ0045 ,90 ,AEBABEABBE，N 為 BC 的中點(diǎn)11/,/,22MQDE MQDE DEBC DEBC，即 M，N 連線與 AE 成角。/,/MQBN MQBNBQMN,BQAEMNAE090【易錯(cuò)點(diǎn) 61】在求異面直線所

50、成角，直線與平面所成的角以及二面角時(shí)，容易忽視各自所成角的范圍而出現(xiàn)錯(cuò)誤。例 61、如圖，在棱長(zhǎng)為 1 的正方體中，M，N，P 分別為的中點(diǎn)。1111ABCDABC D1111,AB BB CC求異面直線所成的角。1,D PAM CNAM與與易錯(cuò)點(diǎn)分析異面直線所成角的范圍是，在利用余弦定理求異面直線所成角時(shí)，若出現(xiàn)角000 ,90的余弦值為負(fù)值，錯(cuò)誤的得出異面直線所成的角為鈍角，此時(shí)應(yīng)轉(zhuǎn)化為正值求出相應(yīng)的銳角才是異面直線所成的角。解析：如圖，連結(jié)，由為中點(diǎn)，1AN,N P11,BB CCDCBAA1D1B1C1NMP則從而1111/,PNAD PNAD11/AND P故 AM 和所成的角為所成

51、的角。1D P1AMD P和易證。所以，1Rt AAM11Rt AB N1ANAM故所成的角為。1D PAM與090又設(shè) AB 的中點(diǎn)為 Q，則又從而 CN 與 AM 所成的角11/,.BQAM BQAM11/,CNB P CNB P就是（或其補(bǔ)角） 。1PBQ易求得在中，由余弦定理得，1156,.22BQB PPQ1PBQ12cos5PBQ故所成的角為。CNAM與2arccos5【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】在歷屆高考中，求夾角是不可缺少的重要題型之一，要牢記各類角的范圍，兩條異面直線所成的角的范圍：；直線與平面所成角的范圍：；二面角的平面角的0009000090取值范圍：。同時(shí)在用向量求解兩異面直線所

52、成的角時(shí)，要注意兩異面直線所成的角與000180兩向量的夾角的聯(lián)系與區(qū)別?！揪?61】 （濟(jì)南統(tǒng)考題）已知平行六面體-中，底面是邊長(zhǎng)為 1 的的正方形，ABCD1111A BC DABCD側(cè)棱的長(zhǎng)為 2，且側(cè)棱和與的夾角都等于， （1）求對(duì)角線的長(zhǎng)（2）求直1AA1AAABAD1201AC線與的夾角值。答案：（1）（2）（提示采用向量方法，以、1BDAC23arccos31AAAB 為一組基底，求得故兩異面直線所成的角的余弦值為）AD13cos,3BD AC 33【易錯(cuò)點(diǎn) 62】對(duì)于經(jīng)度和緯度兩個(gè)概念，經(jīng)度是二面角，緯度為線面角，二者容易混淆。例 62、如圖，在北緯的緯線圈上有 B 兩點(diǎn)，它們

53、分別在東經(jīng)與東經(jīng)045070的經(jīng)度上，設(shè)地球的半徑為 R，求 B 兩點(diǎn)的球面距離。0160【易錯(cuò)點(diǎn)分析】求 A、B 兩點(diǎn)的距離，主要是求 B 兩點(diǎn)的球心角的大小，正確描述緯線角和經(jīng)度角是關(guān)鍵。解析：設(shè)北緯圈的圓心為，地球中心為 O，則045O00011607090 ,AO B連結(jié)，則0145 ,OBOOBR112,2O BO AR ABR,AO AB。故 A、B 兩點(diǎn)間的球面距離為0,60AOBOABRAOB11263ABRR。13R【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)上，某點(diǎn)的經(jīng)度是：經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的平面與本初子午線（經(jīng)線）00和地軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。某點(diǎn)的緯度是：經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的球半徑

54、與赤道面所成的角的度數(shù)。如下圖：圖（1）：經(jīng)度P 點(diǎn)的經(jīng)度，也是的度數(shù)。ABAOB或圖（2）：緯度P 點(diǎn)的緯度，也是的度數(shù)。POAPA或【練 62】 （2005 高考山東卷）設(shè)地球的半徑為，若甲地位于北緯東經(jīng)，乙地位于南緯R45120東經(jīng)，則甲、乙兩地的球面距離為（ ）75120（A） （B） （C） （D）3R6R56R23R答案：D 如圖所示東經(jīng)與北緯線交于 A 點(diǎn)12045東經(jīng)與南緯線交于 C 點(diǎn),設(shè)球心12075為 B 點(diǎn)從而,45ABC75DBC即以 B 點(diǎn)為圓心過(guò) A、C、D 的120ABD大圓上即為所求. ACDACD12022.3603RR【易錯(cuò)點(diǎn) 63】向量知識(shí)在立體幾何方面

55、的應(yīng)用例 63、如圖, 在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，DC2，AA1，ADDC，ACBD, 垂足未 E， （I）求證：33BDA1C；（II）求二面角 A 1BDC 1的大小；（III）求異面直線 AD 與 BC 1所成角的大小 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題主要考查學(xué)生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來(lái)解決立體幾何問題.學(xué)生在解題中一方面不能根據(jù)條件建立恰當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，另一方面建系后學(xué)生不能正確找到點(diǎn)的坐標(biāo).或者沒有運(yùn)用向量知識(shí)解決問題的意識(shí)。解析：解法一：（I）在直四棱柱中,1111ABCDABC D底面,是在平面上的射影.1A A ABCDAC1ACABCD,BDAC1.BDAC

56、東 東 120o東 東 75o東 東 45oBACDEB1C1CBAA1D1DF（II）連結(jié)1111,.AE C E AC與（I）同理可證11,BDAE BDC E為二面角的平面角.11AEC11ABDC,ADDC11190 ,oADCADC 又且111112,2 3,3,ADADDCDCAA,ACBD11114,1,3,2,2 3,ACAEECAEC E在中, 即二面角的大小為11AEC222111111,90 ,oACAEC EAEC11ABDC90o.（III）過(guò) B 作交于,連結(jié)則就是與所成的角.ADBFACF1,FC1C BFAD1BC2,1,2,1,2,ABADBDAC AEBFE

57、FFCBCDC 在中, 117,15.FCBC1BFC1115471515cos,arccos,552.2. 15C BFC BF即異面直線與所成角的大小為AD1BC15arccos.5解法二：（I）同解法一.（II）如圖,以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn),所1,DA DC DD在直線分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,xyz連結(jié)與（I）同理可證,1111,.AE C E AC11,BDAE BDC E為二面角的平面角.11AEC11ABDC1133(2,0, 3),(0,2 3, 3),( ,0),22ACE由得11133 3 3(,3),(,3).2222EAEC 二面角的大小為11111139.30

58、.,.44EA ECEAECEAEC 即11ABDC.90o（II）如圖,由1111111(0,0,0),(2,0,0),(0,23,3),(3,3,0),( 2,0,0),( 3,3,3).6,|2,|15,.615cos,.52 15|DACBADBCAD BCADBCAD BCAD BCADBC 得異面直線與所成角的大小為AD1BC15arccos.5解法三：（I）同解法一.（II）如圖,建立空間直角坐標(biāo),坐標(biāo)原點(diǎn)為 E.連結(jié)1111,AE C E ACXYZEB1C1CBAA1D1DYZXEB1C1CBAA1D1D與（I）同理可證,11,BDAE BDC E為二面角的平面角.11AEC

59、11ABDC由11(0,0,0),(0, 1,3),(0,3,3).EAC得1(0, 1, 3),(0,3, 3).EAEC二面角的大小為111111.330,EA.EA ECEAECEC 即11ABDC90 .o（III）如圖,由1(0, 1,0),(3,0,0), ( 3,0,0),(0,3, 3).ADBC得1(3,1,0),(3,3,3).ADBC 11111.615.336,| 2,|15,cos,.52 15|AD BCAD BCADBCAD BCADBC異面直線與所成角的大小為AD1BC15arccos.5【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】解決關(guān)于向量問題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、

60、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對(duì)向量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí).二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問題.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過(guò)程進(jìn)行思考：要解決的問題可用什么向量知識(shí)來(lái)解決？需要用到哪些向量？所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)