立體幾何中向量方法(最新編輯)

1、立體幾何中的立體幾何中的向量方法向量方法一、立體幾何中的向量方法一、立體幾何中的向量方法方向向量與法向量方向向量與法向量思考：思考： 如何確定一個(gè)點(diǎn)、一條直線、一個(gè)平面如何確定一個(gè)點(diǎn)、一條直線、一個(gè)平面在空間的位置？在空間的位置？OPOPOPP 在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn) 作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn) 的位置就可以用向量來表示。我們把向量稱為點(diǎn) 的位置向量。OP(一一)、點(diǎn)的確定：、點(diǎn)的確定：aAB(二二)、直線的確定：、直線的確定：l直線直線l的方向向量的方向向量 b a O(三三)、平面的確定：、平面的確定：lAPa 直線的方向向量直線的方向向量直線的向量式方程 換句話說換句話說, ,直線上的

2、非零向量叫做直線的直線上的非零向量叫做直線的方向向量方向向量APta (四四)、方向向量與法向量、方向向量與法向量2 2、平面的法向量、平面的法向量 AlP 換句話說換句話說, ,與平面垂直的非零向量叫做平面與平面垂直的非零向量叫做平面的的法向量法向量 記作 n n 給定一點(diǎn)給定一點(diǎn)A和和一個(gè)向量一個(gè)向量 ,那么過那么過點(diǎn)點(diǎn)A,以向量以向量 為法為法向量的平面是完全向量的平面是完全確定的確定的.a n 平面的法向量：平面的法向量：注意：注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一個(gè)平面的所有法向量都一個(gè)平面的所有法向量都互相平行互相平行;n loxyzABCD1A1B1C1例例1

3、.1. 如圖所示如圖所示, , 正方體的棱長為正方體的棱長為1 1直線直線OAOA的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為_平面平面OABC OABC 的一個(gè)法向量坐標(biāo)為的一個(gè)法向量坐標(biāo)為_(1)(1)平面平面ABAB1 1C C 的一個(gè)法向量坐標(biāo)為的一個(gè)法向量坐標(biāo)為_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)13 練習(xí)練習(xí)2 2 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱是正方形，側(cè)棱PD底面底面ABCD，PD=DC=1 , ,E是是PC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， 求平面求平面EDBEDB的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量. .解：解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示建

4、立空間直角坐標(biāo)系. .(0,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2PE依依題題意意得得D DB B( (1 1, , 1 1，0 0) )1 1(0, )2 2DE D DB B = =( (1 1, , 1 1，0 0) )ABCDP PE E設(shè)平面設(shè)平面EDBEDB的法向量為的法向量為( , ,1)nx y, nnDEDB 則1101, 1, 1220ynxy于是XYZ 因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的用直線的方向向量方向向量與平面的與平面的法向量法向量表表示空間直線、平面間的示空間直

5、線、平面間的平行、垂直、平行、垂直、夾角、距離夾角、距離等位置關(guān)系等位置關(guān)系. 用向量方法解決立體問題用向量方法解決立體問題二、立體幾何中的向量方法二、立體幾何中的向量方法證明平行與垂直證明平行與垂直mlab（一）（一）. . 平行關(guān)系：平行關(guān)系：au aAC axAByAD v u u(1) lm0aba b （二）、垂直關(guān)系：（二）、垂直關(guān)系：lmab(2) l /auau lauABC3 （）0uvu v u v 例例1:1:四棱錐四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形是正方形, ,PD底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的的中點(diǎn)，中點(diǎn)，DF:FB=CG:GP=1:

6、2 . . 求證：求證：AE / FG.ABCDP PG GXYZF FE EA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2), A AE E = =( (- -3 3, ,3 3, ,3 3) ), ,F FG G = =( (- -2 2, ,2 2, ,2 2) )32 AE =FGAE =FGAE/FG 證證: :如圖所示如圖所示, , 建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系. ./ A AE EF FG GAEAE與與FGFG不共線不共線幾何法呢？幾何法呢？例例1:1:四棱錐四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形是正方形, ,PD底面底面ABCD，PD

7、=DC=6, E是是PB的的中點(diǎn)，中點(diǎn)，DF:FB=CG:GP=1:2 . . 求證：求證：AE / FG.ABCDP PG GXYZF FE EA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2), A AE E = =( (- -3 3, ,3 3, ,3 3) ), ,F FG G = =( (- -2 2, ,2 2, ,2 2) )32 AE =FGAE =FGAE/FG 證證: :如圖所示如圖所示, , 建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系. ./ A AE EF FG GAEAE與與FGFG不共線不共線幾何法呢？幾何法呢？例例2:2:四棱錐四棱錐P-ABCD中，

8、底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，PD底面底面ABCD，PD=DC, , E是是PC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， (1)(1)求證：求證：PA/平面平面EDB. .ABCDP PE EXYZG解解1:1:立體立體幾何法幾何法ABCDP PE EXYZG解解2 2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D D為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)設(shè)DC=1DC=1(1)(1)證明：連結(jié)證明：連結(jié)AC,ACAC,AC交交BDBD于點(diǎn)于點(diǎn)G,G,連結(jié)連結(jié)EGEG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2APE依依題題意意得得G1 1 1 1( ( , , ，0 0) )2 2 2

9、211(1,0, 1),( ,0,)22PAEG EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA 平面所以，/ABCDP PE EXYZ解解3 3: :如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)設(shè)DC=1(1)(1)證明：證明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依題題意意得得B B( (1 1, , 1 1，0 0) )(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE D DB B = =( (1 1, , 1 1，0 0) )設(shè)平面設(shè)平面EDBEDB的

10、法向量為的法向量為( , ,1)nx y, nnDEDB 則1101, 1, 1220ynxy于是0PA nPAn ABCDP PE EXYZ解解4 4：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D D為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)設(shè)DC=1DC=1(1)(1)證明：證明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依題題意意得得B B( (1 1, , 1 1，0 0) )(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE D DB B = =( (1 1, , 1 1，0 0) )PAxDEyDB 設(shè)解解得得 x,

11、2PADEDB 即PADEDB 于是、 、 共面A1 xD1B1ADBCC1y z E F是是BB1,1,，CD中點(diǎn)，求證：中點(diǎn)，求證：D1F1111DCBAABCD 例例3 3 正方體正方體中中，E、F分別分別平面平面ADE. 證明：設(shè)正方體棱長為證明：設(shè)正方體棱長為1， 為單位為單位正交正交 基底，建立如圖所示坐標(biāo)系基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，1,DADCDD 以以，1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 00DADE 則則， 所以所以1DFADE 平平面面DADE 則則 ， , ,E是是AA1中點(diǎn)，中點(diǎn)，1111DCBAABCD 例例4 4 正方體正方體平面平面C1 1BD. 證明：證明：E求證：平面求證：平面EBD設(shè)正方體棱長為設(shè)正方體棱長為2, 2, 建立如圖所示坐