實際問題和二次函數(shù)—知識講解(提高)

1、1 / 7實際問題與二次函數(shù)一知識講解(提高)【學習目標】1.能運用二次函數(shù)分析和解決簡單的實際問題，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力和應用數(shù)學的意識.2.經歷探索實際問題與二次函數(shù)的關系的過程，深刻理解二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型.【要點梳理】要點一、列二次函數(shù)解應用題列二次函數(shù)解應用題與列整式方程解應用題的思路和方法是一致的，不同的是，學習了二次函數(shù)后，表示量與量的關系的代數(shù)式是含有兩個變量的等式對于應用題要注意以下步驟：(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關系是什么，找出 等量關系(即函數(shù)關系).(2)設出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同

2、時還要注意所設變量的單位要準確.(3)列函數(shù)表達式，抓住題中含有等量關系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù).(4)按題目要求，結合二次函數(shù)的性質解答相應的問題。(5)檢驗所得解是否符合實際：即是否為所提問題的答案.(6)寫出答案.要點詮釋：常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等解決這些實際問題關鍵是找等量關系，把實際問題轉化為函數(shù)問題，列出相關的函數(shù) 關系式要點二、建立二次函數(shù)模型求解實際問題一般步驟：(1)恰當?shù)亟⒅苯亲鴺讼担?2)將已知條件轉化為點的坐標；(3)合理地設出所求函數(shù)關系式；(4)代入已知條件或

3、點的坐標，求出關系式；(5)利用關系式求解問題.要點詮釋：(1)利用二次函數(shù)解決實際問題，要建立數(shù)學模型，即把實際問題轉化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內含的規(guī)律等相等關系，建立函數(shù)關系式，再利用函數(shù)的圖象及性質去研究問題在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應具有實際意義(2)對于本節(jié)的學習，應由低到高處理好如下三個方面的問題：1首先必須了解二次函數(shù)的基本性質；2學會從實際問題中建立二次函數(shù)的模型；3借助二次函數(shù)的性質來解決實際問題【典型例題】類型一、利用二次函數(shù)求實際問題中的最大(小)值2 / 7某水產品養(yǎng)殖企業(yè)為指導該企業(yè)某種水產品的養(yǎng)殖和銷售，對歷年市場行情和水產品養(yǎng)殖情況進行了

4、調查.調查發(fā)現(xiàn)這種水產品的每千克售價yi（元）與銷售月份x （月）滿足關系式3yiX 36，而其每千克成本y2（元）與銷售月份x（月）滿足的函數(shù)關系如圖所示.8* 了產春十和C十C2524 Z11 ! XXI :O1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x/S（1）試確定b,c的值；（2）求出這種水產品每千克的利潤y（元）與銷售月份x（月）之間的函數(shù)關系式；（不要求指出x的取值范圍）（3）“五一”之前， 幾月份出售這種水產品每千克的利潤最大？最大利潤是多少？【答案與解析】（1）把（3,25）,（4,24）代入y2x2bx C中，得81-9 3b c = 25,8116 4b c

5、=248根據(jù)題意，得y= 丫丄_ y2= j _ 3 x + 36 I x x + 59I 8丿1882丿3 1215x 36 x x -8 8 812313x x8 221所以y與x的函數(shù)關系式為討=1x28121）由 得，y （x -6）11，因為a0,所以當xv6時，y隨x的增大而增大，所8 8以“五一”之前，四月份出售這種水產品每千克的利潤最大，最大利潤為10.5元.在用二次函數(shù)知識解決實際問題時，有的同學易忽略自變量的取值范圍，有的題目結果中的值 看上去有意義，但不一定符合題意， 造成錯解.u15b一解方程組得859c .2313x2 21【點評】3 / 7舉一反三:【變式】某服裝公

6、司試銷一種成本為每件50元的T恤衫，規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本價，又不高于每件70元，試銷中銷售量y（件）與銷售單價x（元）的關系可以近似的看作一次函數(shù)（如 圖）.（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；（2）設公司獲得的總利潤為P元，求P與X之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；根據(jù)題意判斷：當X取何值時，P的值最大？最大值是多少？（總利潤總銷售額一總成本）【答案】(1)設y與x的函數(shù)關系式為：y=kx b( kz0),函數(shù)圖象經過點(60,400)和(70,300)R00 =60k+b”m k=10J解得$g00 =70k+bb =1000 y = _10 x 1000(2)P =(x

7、50)( _10 x 1000)2P =_10 x1500-50000(50XW70).鳥一1500=75,a=_10V02a-20函數(shù)P -_10 x21500 x -50000圖象開口向下，對稱軸是直線x=75.50 xW70,此時y隨x的增大而增大，當x=70時，P最大值=6000.類型二、利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑問題2.某工廠大門是拋物線形水泥建筑，大門地面寬為4m,頂部距離地面的咼度為4.4m，現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通大門，其裝貨寬度為2.4m，該車要想過此門，裝貨后的最大高度應是多少m?【思路點撥】因為校門是拋物線形，不妨將這一問題轉化為二次函數(shù)進行研究，建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?/p>

8、，將 已知數(shù)據(jù)轉化為點的坐標，有的題目本身就隱含著對自變量的限制，常常考慮不周而4 / 7從而確定函數(shù)關系式，再根據(jù)關系式求高.【答案與解析】解：建立如圖平面直角坐標系：設拋物線的解析式為y=ax2,由題意得：點A的坐標為（2,-4.4）,5 / 74.4=4a,解得：a=1.1,拋物線的解析式為y=1.1x2,當x=1.2時，y=1.1 X1.44=1.584,線段OB的長為1.584米,BC=4.41.584=2.816米，裝貨后的最大高度為2.816米,【點評】利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑問題一般步驟：化為點的坐標；(3)合理地設出所求函數(shù)關系式;(5)利用關系式求解問題.類型三、利用二

9、次函數(shù)求跳水、投籃等實際問題6 如圖所示，一位運動員在距籃下4米處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離為2.5 m時，達到最大高度3.5 m，然后準確落入籃筐，已知籃筐中心到地面的距離為3.05 m，若該運動員身高1.8 m,在這次跳投中，球在頭頂上方0.25 m處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？【答案與解析】如圖所示，在直角坐標系中，點A(1.5,3.05)表示籃筐，點B(0,3.5)表示球運行的最大高度，點C表示球員籃球出手處，其橫坐標為-2.5,(1)恰當?shù)亟⒅苯亲鴺讼担?2)將已知條件轉代入已知條件或點的坐標，求出關系式；6 / 7向下，則點B(0，3.5)

10、為頂點坐標，y=ax1 23.5.2拋物線y=ax 3.5經過點A(1.5,3.05),3.05=a1.52+3.5,1當AD= 4米時，求隧道截面上部半圓O的面積；2已知矩形ABCD相鄰兩邊之和為8米，半圓O的半徑為r米.1求隧道截面的面積S(m)2關于半徑r(m)的函數(shù)關系式(不要求寫出r的取值范圍);2若2米WCDC 3米，利用函數(shù)圖象求隧道截面的面積S的最大值.(n取3.14，結果精確到0.1米)【思路點撥】設C點的縱坐標為n,過點C B、A所在的拋物線的解析式為y二a(x - h)2 k，由于拋物線開口7 / 7512拋物線解析式為y = - x 3.5.512n(-2.5)3.5,

11、5n=2.25.球出手時，球員跳離地面的高度為2.25-(1.8+0.25)=0.20(米).【點評】 首先要建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，構造函?shù)模型，將已知數(shù)據(jù)轉化為點的坐標，然后利用待 定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再利用解析式求出拋物線上已知橫坐標的點的縱坐標，結合已知條 件，得到實際問題的解.類型四、利用二次函數(shù)求圖形的邊長、面積等問題04.條隧道的截面如圖所示，它的上部是一個以AD為直徑的半圓O下部是一個矩形ABCD8 / 71根據(jù)幾何圖形的面積公式可求關于面積的函數(shù)解析式；2利用二次函數(shù)的有關性質，在自變量的取值范圍內確定面積的最大值. 【答案與解析】S半圓二2（米2）;8 -2.43v0,.函數(shù)圖象為開口向下的拋物線，函數(shù)圖象對稱軸r3.3,2.43又2.5Wr0,x=5時，S最小=50./ 2纟8,當x=2時，S=68,當x=8時，S=68.50詬詬8.12 11212Sr