第4章 穩(wěn)定性分析

1、現(xiàn)代控制理論第第4 4章章 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析系統(tǒng)穩(wěn)定性分析鄧曉剛鄧曉剛中國石油大學(xué)（華東）中國石油大學(xué)（華東）信息與控制工程學(xué)院自動化系信息與控制工程學(xué)院自動化系Modern Control Theory: Chapter -4信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院n穩(wěn)定性是自動控制系統(tǒng)最重要的特性穩(wěn)定性是自動控制系統(tǒng)最重要的特性系統(tǒng)的穩(wěn)定性：外界干擾作用下偏離平衡狀態(tài)，擾動系統(tǒng)的穩(wěn)定性：外界干擾作用下偏離平衡狀態(tài)，擾動消失后系統(tǒng)自身恢復(fù)到原先平衡狀態(tài)的一種消失后系統(tǒng)自身恢復(fù)到原先平衡狀態(tài)的一種“頑性頑性”n線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性的判定線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性的判定只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，穩(wěn)定的條件是

2、特征方程只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，穩(wěn)定的條件是特征方程的根都具有負(fù)實部的根都具有負(fù)實部(在左半根平面在左半根平面)勞斯判據(jù)、乃奎斯特判據(jù)勞斯判據(jù)、乃奎斯特判據(jù)n非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性的判定非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性的判定同時與初始條件和外部擾動的大小有關(guān)，無法使用線同時與初始條件和外部擾動的大小有關(guān)，無法使用線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)如何判斷穩(wěn)定性？如何判斷穩(wěn)定性？ 李雅普諾夫（李雅普諾夫（Lyapunov)方法方法 （適用于線性、非線性系統(tǒng)）（適用于線性、非線性系統(tǒng)）信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院4.1李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義n經(jīng)典控制理論中沒有給出

3、關(guān)于穩(wěn)定性的一般定義經(jīng)典控制理論中沒有給出關(guān)于穩(wěn)定性的一般定義，俄國數(shù)學(xué)家，俄國數(shù)學(xué)家Lyapunov給出了對任何系統(tǒng)都普給出了對任何系統(tǒng)都普遍適用的穩(wěn)定性的一般定義遍適用的穩(wěn)定性的一般定義n穩(wěn)定性問題都是相對于某個平衡狀態(tài)而言的，線穩(wěn)定性問題都是相對于某個平衡狀態(tài)而言的，線性定常系統(tǒng)由于只有唯一的一個平衡狀態(tài)，所以性定常系統(tǒng)由于只有唯一的一個平衡狀態(tài)，所以才籠統(tǒng)地講所謂的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，才籠統(tǒng)地講所謂的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，n對于非線性系統(tǒng)則由于可能存在多個平衡狀態(tài)，對于非線性系統(tǒng)則由于可能存在多個平衡狀態(tài)，不同的平衡狀態(tài)可能表現(xiàn)不同的穩(wěn)定性，必須逐不同的平衡狀態(tài)可能表現(xiàn)不同的穩(wěn)定性，必須逐個分別

4、加以討論。個分別加以討論。信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院一、系統(tǒng)狀態(tài)的運動及平衡狀態(tài)一、系統(tǒng)狀態(tài)的運動及平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)：狀態(tài)空間中滿足：狀態(tài)空間中滿足),0),(0ttteexfx ),)(),(000ttttxxxfx 的一個狀態(tài)。即平衡狀態(tài)的各分量相對時間不再發(fā)生變化。的一個狀態(tài)。即平衡狀態(tài)的各分量相對時間不再發(fā)生變化。),),;()(000tttttxx自治系統(tǒng)自治系統(tǒng)：系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為：系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為狀態(tài)軌線狀態(tài)軌線：系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程由初始狀態(tài)：系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程由初始狀態(tài)x0引起的狀態(tài)引起的狀態(tài)運動軌跡，稱為系統(tǒng)的運動或狀態(tài)軌線運動軌跡，稱為系統(tǒng)的運動或狀

5、態(tài)軌線對于任意系統(tǒng)，不一定存在平衡狀態(tài)，即使存在也不唯一對于任意系統(tǒng)，不一定存在平衡狀態(tài)，即使存在也不唯一信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院二、李雅普諾夫穩(wěn)定性定義二、李雅普諾夫穩(wěn)定性定義n狀態(tài)空間中狀態(tài)空間中x0點至點至xe點之間的距離為點之間的距離為：n鄰域：鄰域：點集點集S(e e) 表示以表示以xe為中心，以為中心，以e e為半徑的超球體，為半徑的超球體，xS(e e)表示為表示為 |x- -xe|e e ，當(dāng)當(dāng)e e很小時，則稱很小時，則稱S(e e)為為xe的鄰的鄰域域n有界自由響應(yīng)：有界自由響應(yīng)：若狀態(tài)方程的解若狀態(tài)方程的解F(F(t; x0, t0) )位于球域位于球域S(e

6、 e)內(nèi)，內(nèi)，便有便有 |F F(t; x0, t0) - - xe| e e， t t0 ，表明狀態(tài)方程由初始狀表明狀態(tài)方程由初始狀態(tài)引起的自由響應(yīng)是有界的態(tài)引起的自由響應(yīng)是有界的nLyapunov根據(jù)自由響應(yīng)是否有界給出四種穩(wěn)定性定義：根據(jù)自由響應(yīng)是否有界給出四種穩(wěn)定性定義：2021100)()(neneexxxxxx-歐幾里德范數(shù)歐幾里德范數(shù)信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院1. 李雅普諾夫意義下穩(wěn)定李雅普諾夫意義下穩(wěn)定對于任意小的實數(shù)對于任意小的實數(shù)e e 0 0，均存在另一實數(shù)，均存在另一實數(shù) d d ( (e, e, t0 0) ) 0 0 ，當(dāng)初，當(dāng)初始狀態(tài)滿足始狀態(tài)滿足|x0

7、- -xe|d d( (e, e, t0 0) ) 時，系統(tǒng)從時，系統(tǒng)從x0 0出發(fā)運動軌跡滿足出發(fā)運動軌跡滿足|F F(t; x0, t0)- -xe|e e， tt0 ，則稱該平衡狀態(tài)，則稱該平衡狀態(tài)xe 是是李雅普諾夫意李雅普諾夫意義下穩(wěn)定義下穩(wěn)定的，簡稱的，簡稱xe是穩(wěn)定的。是穩(wěn)定的。),)(),(000ttxtxtxfx 如果齊次狀態(tài)方程如果齊次狀態(tài)方程有平衡狀態(tài)有平衡狀態(tài)xe信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院李亞普諾夫意義下一致穩(wěn)定李亞普諾夫意義下一致穩(wěn)定通常時變系統(tǒng)的通常時變系統(tǒng)的d d與與t0有關(guān)，時不變系有關(guān)，時不變系統(tǒng)的統(tǒng)的d d與與t0無關(guān)。只要無關(guān)。只要d d與與t0

8、無關(guān)，這種平無關(guān)，這種平衡狀態(tài)稱為一致穩(wěn)定的衡狀態(tài)稱為一致穩(wěn)定的。時不變系統(tǒng)的穩(wěn)定屬性時不變系統(tǒng)的穩(wěn)定屬性時不變系統(tǒng)時不變系統(tǒng)李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定和一致穩(wěn)定必為等價。李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定和一致穩(wěn)定必為等價。李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的實質(zhì)上是工程意義下的李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的實質(zhì)上是工程意義下的臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定。信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院2、漸近穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性n如果平衡狀態(tài)如果平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的，而且當(dāng)時間是穩(wěn)定的，而且當(dāng)時間t趨于無窮大時，軌趨于無窮大時，軌線不僅不超出線不僅不超出S(e e) ，而且最終收斂于，而且最終收斂于xe，則稱則稱 這種平衡狀這種平衡狀態(tài)態(tài)xe漸近穩(wěn)定

9、漸近穩(wěn)定n漸近穩(wěn)定是一個局部概念，只確定某個平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)漸近穩(wěn)定是一個局部概念，只確定某個平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性并不意味著整個系統(tǒng)可以正常運行定性并不意味著整個系統(tǒng)可以正常運行n漸近穩(wěn)定性是工程意義下的穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定性是工程意義下的穩(wěn)定性n盡可能擴(kuò)大漸近穩(wěn)定的區(qū)域是重要的。盡可能擴(kuò)大漸近穩(wěn)定的區(qū)域是重要的。 信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院3、大范圍漸近穩(wěn)定、大范圍漸近穩(wěn)定n如果平衡狀態(tài)如果平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的，而且從狀態(tài)空間中所有初始狀是穩(wěn)定的，而且從狀態(tài)空間中所有初始狀態(tài)出發(fā)的軌線都具有漸近穩(wěn)定性，則稱這種平衡狀態(tài)態(tài)出發(fā)的軌線都具有漸近穩(wěn)定性，則稱這種平衡狀態(tài)xe大大范圍漸近穩(wěn)定范圍

10、漸近穩(wěn)定n大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是狀態(tài)空間中只有一個平衡狀大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是狀態(tài)空間中只有一個平衡狀態(tài)。態(tài)。n對于線性系統(tǒng)而言，如果平衡狀態(tài)時漸近穩(wěn)定的，必然是對于線性系統(tǒng)而言，如果平衡狀態(tài)時漸近穩(wěn)定的，必然是大范圍漸近穩(wěn)定的大范圍漸近穩(wěn)定的n非線性系統(tǒng)中，平衡狀態(tài)一般只具有小范圍漸近穩(wěn)定非線性系統(tǒng)中，平衡狀態(tài)一般只具有小范圍漸近穩(wěn)定信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院一致漸近穩(wěn)定一致漸近穩(wěn)定時不變系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定屬性時不變系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定屬性漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定一致漸近穩(wěn)定一致漸近穩(wěn)定小范圍和大范圍漸近穩(wěn)定小范圍和大范圍漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件：大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件： xe唯唯

11、一一線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定屬性線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定屬性漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定的工程含義漸近穩(wěn)定的工程含義漸近穩(wěn)定工程意義下穩(wěn)定漸近穩(wěn)定工程意義下穩(wěn)定信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院4、不穩(wěn)定、不穩(wěn)定n如果對于某個實數(shù)如果對于某個實數(shù)e e 0 0和任一實數(shù)和任一實數(shù)d d 0 0，不管，不管d d 這個實數(shù)這個實數(shù)多么小，從多么小，從S(d d)內(nèi)出發(fā)的軌線，至少有一個軌線越過內(nèi)出發(fā)的軌線，至少有一個軌線越過S(e e )，則稱這種平衡狀態(tài)不穩(wěn)定，則稱這種平衡狀態(tài)不穩(wěn)定1x2xdexe0 x)(dS)(eS1x2xdexe0 x)(dS)(eS1x2xdexe0 x

12、)(dS)(eSac 信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院穩(wěn)定性的概念分析穩(wěn)定性的概念分析不管初始偏差有多大，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是不管初始偏差有多大，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范大范圍穩(wěn)定圍穩(wěn)定的。的。不管初始偏差有多大，系統(tǒng)總是漸近穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是不管初始偏差有多大，系統(tǒng)總是漸近穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定的。大范圍漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)只能有一個平的。大范圍漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)只能有一個平衡狀態(tài)。衡狀態(tài)。為了滿足穩(wěn)定條件，初始偏差有一定限制，則稱系統(tǒng)是為了滿足穩(wěn)定條件，初始偏差有一定限制，則稱系統(tǒng)是小小范圍穩(wěn)定范圍穩(wěn)定的。的。對于對于線性線性系統(tǒng)，若在小范圍穩(wěn)定，則必大范圍穩(wěn)

13、定；若在系統(tǒng)，若在小范圍穩(wěn)定，則必大范圍穩(wěn)定；若在小范圍漸近穩(wěn)定，則必大范圍漸近穩(wěn)定小范圍漸近穩(wěn)定，則必大范圍漸近穩(wěn)定 信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院4.2 李雅普諾夫第一法李雅普諾夫第一法n李雅普諾夫第一法（間接法）李雅普諾夫第一法（間接法） , ,其思想其思想是利用狀是利用狀態(tài)方程解的特性來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。態(tài)方程解的特性來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。n適用于線性定常、線性時變及可線性化的非線性適用于線性定常、線性時變及可線性化的非線性系統(tǒng)。系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)：求解特征方程的根線性定常系統(tǒng)：求解特征方程的根非線性系統(tǒng)：線性化處理，求解特征方程非線性系統(tǒng)：線性化處理，求解特征方程信息與控

14、制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院一、一、線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)n線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)平衡狀態(tài)平衡狀態(tài) xe=0 =0 漸近穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣漸近穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A A的全部特征值均具有負(fù)實部的全部特征值均具有負(fù)實部n以上指的是狀態(tài)穩(wěn)定性以上指的是狀態(tài)穩(wěn)定性( (內(nèi)部穩(wěn)定性內(nèi)部穩(wěn)定性) )，工程中往，工程中往往更注意輸出穩(wěn)定性往更注意輸出穩(wěn)定性( (外部穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性) )輸出穩(wěn)定性：有界輸入輸出穩(wěn)定性：有界輸入u u引起的輸出引起的輸出y y是有界的是有界的充要條件：傳函的極點全部位于左半充要條件：傳函的極點全部位于左半s s平面。平面。n無零極點對消

15、時，內(nèi)部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性一致無零極點對消時，內(nèi)部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性一致x = Ax+buy = cx信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院例例分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性和輸出穩(wěn)定性分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性和輸出穩(wěn)定性10101110uy- x =x+x解：求解特征方程解：求解特征方程10(1)(1)001IA-特征值為特征值為121;1; -系統(tǒng)的狀態(tài)不是漸進(jìn)穩(wěn)定的系統(tǒng)的狀態(tài)不是漸進(jìn)穩(wěn)定的求傳遞函數(shù)求傳遞函數(shù)111( )()(1)(1)1sW sC SIABsss-傳遞函數(shù)的極點位于左半傳遞函數(shù)的極點位于左半S平面，因此系統(tǒng)輸出穩(wěn)定平面，因此系統(tǒng)輸出穩(wěn)定信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院二、非線性系統(tǒng)

16、的穩(wěn)定性二、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性eexxnnnnxxxfxfxfxfxfA1111( )R x)(xfx 設(shè)設(shè))()()(xRxxAxfxe-將將f(x)在平衡點在平衡點xe鄰域內(nèi)展開為泰勒級數(shù)，得鄰域內(nèi)展開為泰勒級數(shù)，得xe為孤立平衡點。為孤立平衡點。雅可比矩陣為高階導(dǎo)數(shù)項為高階導(dǎo)數(shù)項信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院若令若令D Dx=x- -xe，并取一次近似式，可得系統(tǒng)的線性化，并取一次近似式，可得系統(tǒng)的線性化方程為方程為xAxDD李雅普諾夫穩(wěn)定性結(jié)論：李雅普諾夫穩(wěn)定性結(jié)論：ex如果如果A A陣的所有特征值都具有負(fù)實部陣的所有特征值都具有負(fù)實部, , 則平衡狀態(tài)則平衡狀態(tài) 漸近穩(wěn)定，漸近

17、穩(wěn)定，ex如果如果A A陣的特征值至少一個為正實部，則陣的特征值至少一個為正實部，則 不穩(wěn)定；不穩(wěn)定；ex如如A A陣的特征值至少一個實部為陣的特征值至少一個實部為0 0， 則則 的穩(wěn)定性由高階導(dǎo)的穩(wěn)定性由高階導(dǎo)數(shù)項數(shù)項R(x)來決定。來決定。 信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。21222111xxxxxxxx-例例 已知非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程已知非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程解：令解：令 可以可以求出平衡狀態(tài)，求出平衡狀態(tài)，-00212211xxxxxx系統(tǒng)有兩個平衡點系統(tǒng)有兩個平衡點 xe1=0, 0T; ; xe2=1, 1T120,0,xx信息與控

18、制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院在在xe1=0, 0T 處將其線性化有處將其線性化有1122xxAxx其中雅可比矩陣其中雅可比矩陣A為為其特征值為：其特征值為： 1 111， 2 2-1-1，可判原非線性系統(tǒng)在，可判原非線性系統(tǒng)在xe1不穩(wěn)定不穩(wěn)定-10011100121200221221112121xxxxxxxxxfxfxfxfA11121122212212( ,)( ,)xf x xxx xxfx xxx x- -信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院在在xe2=1, 1T處將其線性化有處將其線性化有雅可比矩陣為雅可比矩陣為-01101111121211221221112121xxxxxxxx

19、xfxfxfxfA其特征值為：其特征值為： 1 1 j， 2 2-j，實部為零，不能應(yīng)用線性化方法，實部為零，不能應(yīng)用線性化方法判斷原非線性系統(tǒng)在判斷原非線性系統(tǒng)在xe2的穩(wěn)定性。的穩(wěn)定性。11121122212212( ,)( ,)xf x xxx xxfx xxx x- -1122xxAxx信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院4.3 李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法基本思路：基本思路：從能量觀點進(jìn)行穩(wěn)定性分析：從能量觀點進(jìn)行穩(wěn)定性分析： 1) 如果一個系統(tǒng)被激勵后，其儲存的能量隨時間的如果一個系統(tǒng)被激勵后，其儲存的能量隨時間的推移逐漸衰減，到達(dá)平衡狀態(tài)時，能量將達(dá)最小推移逐漸衰減，到達(dá)平衡

20、狀態(tài)時，能量將達(dá)最小值，則這個平衡狀態(tài)是值，則這個平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定的；的； 2) 反之，如果系統(tǒng)不斷地從外界吸收能量，儲能越反之，如果系統(tǒng)不斷地從外界吸收能量，儲能越來越大，則這個平衡狀態(tài)是來越大，則這個平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定不穩(wěn)定的；的； 3) 如果系統(tǒng)的儲能既不增加，也不消耗，則這個平如果系統(tǒng)的儲能既不增加，也不消耗，則這個平衡狀態(tài)就是衡狀態(tài)就是Lyapunov意義下的意義下的穩(wěn)定穩(wěn)定。信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院 由于實際系統(tǒng)的復(fù)雜性和多樣性，往往不能直觀地由于實際系統(tǒng)的復(fù)雜性和多樣性，往往不能直觀地找到一個能量函數(shù)來描述系統(tǒng)的能量關(guān)系找到一個能量函數(shù)來描述系統(tǒng)的能量關(guān)系;

21、于是于是Lyapunov定義了一個定義了一個正定正定的的標(biāo)量標(biāo)量函數(shù)函數(shù)V(x)，作為，作為虛構(gòu)的廣義能量函數(shù)，用其一階微分的符號虛構(gòu)的廣義能量函數(shù)，用其一階微分的符號 特征來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。特征來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。( )( )dV xV xdt信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院一、預(yù)備知識一、預(yù)備知識1. 標(biāo)量函數(shù)的符號性質(zhì)標(biāo)量函數(shù)的符號性質(zhì)n由由n維向量維向量x定義標(biāo)量函數(shù)定義標(biāo)量函數(shù)V(x),且且V(x)一階導(dǎo)數(shù)存一階導(dǎo)數(shù)存在，在，V(0)=0，如果，如果x 0 時時若V(x)0 則稱則稱V( (x) )是正定的是正定的若V(x)0 則稱則稱V( (x) )是負(fù)定的是負(fù)定的若V(x)

22、0則稱則稱V( (x) )是半正定的是半正定的若V(x)0則稱則稱V( (x) )是半負(fù)定的是半負(fù)定的若V(x)0 則稱則稱V( (x) )是不定的是不定的信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院分析舉例，判斷下列函數(shù)是否為正定的？分析舉例，判斷下列函數(shù)是否為正定的？ 正定的正定的 半正定的半正定的 負(fù)定的負(fù)定的 半負(fù)定的半負(fù)定的 不定的不定的2212( )V xxx212( )()V xxx2212( )V xxx -212( )(32)V xxx -2122( )V xx xx-信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院2. 二次型標(biāo)量函數(shù)二次型標(biāo)量函數(shù)設(shè)設(shè) x = x1, x2, , xnT，則實

23、二次型標(biāo)量函數(shù)記為：，則實二次型標(biāo)量函數(shù)記為： V(x)=V(x1, x2, , xn)=xTPx jiijnnnnnnpppppppppppP,212222111211其中，其中，P稱為二次型的矩陣稱為二次型的矩陣(實對稱矩陣實對稱矩陣) 二次型函數(shù)在李雅普諾夫穩(wěn)定性判斷中有重要意義。二次型函數(shù)在李雅普諾夫穩(wěn)定性判斷中有重要意義。 信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院二次型標(biāo)量函數(shù)二次型標(biāo)量函數(shù) V (x1, x2, , xn)=xTPx，式中，式中 P為實對稱為實對稱矩陣矩陣 如果如果 x 0 , 若若xTPx 0 , 則稱二次型函數(shù)則稱二次型函數(shù)V(x)為為正定正定的，同的，同時稱時稱P

24、為正定矩陣，記為為正定矩陣，記為P0 。 如果如果 x 0 , 若若xTPx 0 ，則稱二次型函數(shù)，則稱二次型函數(shù)V(x)為為半正定半正定的，的，稱稱P為半正定矩陣，記為為半正定矩陣，記為P0 。如果如果 x 0 , 若若xTPx 0 , 則稱二次型函數(shù)則稱二次型函數(shù)V(x)為為負(fù)定負(fù)定的，稱的，稱P為為負(fù)定負(fù)定矩陣，記為矩陣，記為 P 0 (i=1,2,n)，則P為正定的。(2)若Di ，則P為負(fù)定的。0 i為偶數(shù)0 V(x)沿狀態(tài)軌跡方向計算的時間導(dǎo)數(shù)沿狀態(tài)軌跡方向計算的時間導(dǎo)數(shù)V(x)=dV(x)/dt信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院系統(tǒng)穩(wěn)定性可做如下判斷：系統(tǒng)穩(wěn)定性可做如下判斷：n

25、 為為半負(fù)定半負(fù)定的，則平衡狀態(tài)的，則平衡狀態(tài) xe為李雅普諾夫意義下為李雅普諾夫意義下穩(wěn)穩(wěn)定定穩(wěn)定判據(jù)；穩(wěn)定判據(jù)；n 為為負(fù)定負(fù)定的；或者的；或者 為為半負(fù)定半負(fù)定，但對任意初始狀態(tài)，但對任意初始狀態(tài)x(t0)0， 對對x0， 不恒為零，則平衡狀態(tài)不恒為零，則平衡狀態(tài) xe 為李雅普諾為李雅普諾夫意義下夫意義下漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定的的.n如果進(jìn)一步還有如果進(jìn)一步還有|x|時，時，V(x)，那么，那么平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)xe為為大大范圍漸近穩(wěn)定范圍漸近穩(wěn)定的的漸近穩(wěn)定判據(jù)；漸近穩(wěn)定判據(jù)；n 為為正定正定的，則平衡狀態(tài)的，則平衡狀態(tài)xe為李雅普諾夫意義下為李雅普諾夫意義下不穩(wěn)不穩(wěn)定定不穩(wěn)定判據(jù)。不穩(wěn)定判

26、據(jù)。)(xV)(xV)(xV)(xV)(xV信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院例例 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為)()(22212122221121xxxxxxxxxx-試確定該系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。試確定該系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解：解：由平衡狀態(tài)方程得由平衡狀態(tài)方程得 - - - - -0)(0)(222121222112xxxxxxxx解得唯一的平衡狀態(tài)為解得唯一的平衡狀態(tài)為x1=0, x2=0, 即即xe=0, 為坐標(biāo)原點。為坐標(biāo)原點。信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院2221)(xxxV)(2)(2211xxxxxV為一負(fù)定的標(biāo)量函數(shù)，平衡狀態(tài)（為一負(fù)定的標(biāo)量函數(shù)，平衡狀態(tài)（

27、0,0）漸近穩(wěn)定。）漸近穩(wěn)定。并且并且 |x|，有，有V(x) ，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是大，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。范圍漸近穩(wěn)定的。 )(22221xx-選選取一正定的標(biāo)量函數(shù)取一正定的標(biāo)量函數(shù) 其一階導(dǎo)數(shù)為其一階導(dǎo)數(shù)為)()(22212122221121xxxxxxxxxx-信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院例例 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為2221221)1 (xxxxxx-x1=0, x2=0為系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)為系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 2221)(xxxV)(2)(2211xxxxxV2222)1 (2xx-解：解：

28、選選取一正定的標(biāo)量函數(shù)取一正定的標(biāo)量函數(shù) 0 0半負(fù)定半負(fù)定必定滿足李雅普諾夫意義下穩(wěn)定，是否是漸進(jìn)穩(wěn)定呢？必定滿足李雅普諾夫意義下穩(wěn)定，是否是漸進(jìn)穩(wěn)定呢？信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院且且x，有，有V(x) 。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 結(jié)合和狀態(tài)方程結(jié)合和狀態(tài)方程 x1 0 即即原點原點，排除！排除！1101xx-矛盾！矛盾！結(jié)合和狀態(tài)方程結(jié)合和狀態(tài)方程 2221221)1 (xxxxxx-對于對于x0, 是否恒為是否恒為0？2222( )2(1)V xxx -( )0V x 可能性：可能性：x2 0 ， x1任意任意 可能性：可能性： x2

29、 -1-1， x1任意任意 即即對對x0, 不恒為不恒為0)(xV2221)(xxxV1110 xx -信息與控制工程學(xué)院信息與控制工程學(xué)院關(guān)于李雅普諾夫函數(shù)的說明關(guān)于李雅普諾夫函數(shù)的說明：(1)普適性。該判據(jù)適用線性和非線性、時變和時不變等各類普適性。該判據(jù)適用線性和非線性、時變和時不變等各類動態(tài)系統(tǒng)；動態(tài)系統(tǒng)；(2) Lyapunov函數(shù)函數(shù)V(x)不等同于物理意義上的能量，是一個正不等同于物理意義上的能量，是一個正定標(biāo)量函數(shù)，可視為一個廣義能量函數(shù)；定標(biāo)量函數(shù)，可視為一個廣義能量函數(shù)；(3)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的判別，歸結(jié)為系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的判別，歸結(jié)為V(x)的選取，一般選取的選取，一般選取V(x)為狀態(tài)為狀態(tài)x的二次型函數(shù)，需要研究者的經(jīng)驗與技巧，的二次型函數(shù)，需要研究者的經(jīng)驗與技巧，V(x)的選的選取是非唯一的，不影響判定結(jié)論的一致性；取是非唯一的，不影響判定結(jié)論的一致性； (4)充分條件，如果找不到滿足穩(wěn)定性要求的李雅普諾夫函數(shù)，充分條件，如果找不到滿足穩(wěn)定性要求的李雅普諾夫函數(shù)，并不能做出不穩(wěn)定的結(jié)論。并不能做出不穩(wěn)定的結(jié)論。 信息