強大導(dǎo)數(shù)知識點各種題型歸納方法總結(jié)

1、-導(dǎo)數(shù)的根底知識一導(dǎo)數(shù)的定義：2.利用定義求導(dǎo)數(shù)的步驟：求函數(shù)的增量：；求平均變化率：；取極限得導(dǎo)數(shù)：下面容必記二、導(dǎo)數(shù)的運算：1根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及常用導(dǎo)數(shù)運算公式：；法則1：；(口訣：和與差的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和與差).法則2：(口訣：前導(dǎo)后不導(dǎo)相乘，后導(dǎo)前不導(dǎo)相乘，中間是正號)法則3：(口訣：分母平方要記牢，上導(dǎo)下不導(dǎo)相乘，下導(dǎo)上不導(dǎo)相乘，中間是負號)2復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法：換元，令，則分別求導(dǎo)再相乘回代題型一、導(dǎo)數(shù)定義的理解題型二：導(dǎo)數(shù)運算1、，則2、假設(shè)，則3.=a*3+3*2+2 ，則a=三導(dǎo)數(shù)的物理意義1.求瞬時速度：物體在時刻時的瞬時速度就是物體運動規(guī)律在時的導(dǎo)數(shù)，即有。2.Vs

2、/(t)表示即時速度。a=v/(t) 表示加速度。四導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點處切線的斜率是。于是相應(yīng)的切線方程是：。題型三用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線注意兩種情況：1曲線在點處切線：性質(zhì)：。相應(yīng)的切線方程是：2曲線過點處切線：先設(shè)切點，切點為 ,則斜率k=，切點在曲線上，切點在切線上，切點坐標代入方程得關(guān)于a,b的方程組，解方程組來確定切點，最后求斜率k=，確定切線方程。例題在曲線y=*3+3*2+6*-10的切線中，求斜率最小的切線方程；解析：1當(dāng)*0=-1時，k有最小值3，此時P的坐標為-1，-14故所求切線的方程為3*-y-11=0五函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)在*個區(qū)間可導(dǎo)，1該

3、區(qū)間為增函數(shù)；2該區(qū)間為減函數(shù)；注意：當(dāng)在*個區(qū)間個別點處為零，在其余點處為正或負時，在這個區(qū)間上仍是遞增或遞減的。3在該區(qū)間單調(diào)遞增在該區(qū)間恒成立；4在該區(qū)間單調(diào)遞減在該區(qū)間恒成立；題型一、利用導(dǎo)數(shù)證明或判斷函數(shù)f(*)在*一區(qū)間上單調(diào)性：步驟： 1求導(dǎo)數(shù) (2)判斷導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的符號(3)下結(jié)論該區(qū)間為增函數(shù)； 該區(qū)間為減函數(shù)；題型二、利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟為：1分析 的定義域； 2求導(dǎo)數(shù) 3解不等式，解集在定義域的局部為增區(qū)間4解不等式，解集在定義域的局部為減區(qū)間題型三、利用單調(diào)性求參數(shù)的取值轉(zhuǎn)化為恒成立問題思路一.1在該區(qū)間單調(diào)遞增在該區(qū)間恒成立；2在該區(qū)間單調(diào)遞減在

4、該區(qū)間恒成立；思路二.先求出函數(shù)在定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間，則中限定的單調(diào)增或減區(qū)間是定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間的子集。注意：假設(shè)函數(shù)f*在a，c上為減函數(shù)，在c，b上為增函數(shù)，則*=c兩側(cè)使函數(shù)*變號，即*=c為函數(shù)的一個極值點，所以例題假設(shè)函數(shù)，假設(shè)則( )A. a< b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c六、函數(shù)的極值與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：1.極值的定義：設(shè)函數(shù)在點附近有定義，且假設(shè)對附近的所有的點都有或，則稱為函數(shù)的一個極大或小值，為極大或極小值點。可導(dǎo)數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)為0即，但函數(shù)在*點處的導(dǎo)

5、數(shù)為0，并不一定函數(shù)在該處取得極值如在處的導(dǎo)數(shù)為0，但沒有極值。求極值的步驟：第一步：求導(dǎo)數(shù)；第二步：求方程的所有實根；第三步：列表考察在每個根附近，從左到右，導(dǎo)數(shù)的符號如何變化，假設(shè)的符號由正變負，則是極大值；假設(shè)的符號由負變正，則是極小值；假設(shè)的符號不變，則不是極值，不是極值點。2、函數(shù)的最值：最值的定義：假設(shè)函數(shù)在定義域D存，使得對任意的，都有，或則稱為函數(shù)的最大小值，記作或如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不連續(xù)的曲線，則該函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值。求可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值方法：第一步；求在區(qū)間的極值；第二步：比較的極值與、的大?。旱谌剑合陆Y(jié)論:最大的為最大值，最小的為最小

6、值。注意：1、極值與最值關(guān)系：函數(shù)的最值是比較整個定義域區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的最大值和最小值點可以在極值點、不可導(dǎo)點、區(qū)間的端點處取得。極值最值。函數(shù)f(*)在區(qū)間a,b上的最大值為極大值和f(a) 、f(b)中最大的一個。最小值為極小值和f(a) 、f(b)中最小的一個。2函數(shù)在定義域上只有一個極值，則它對應(yīng)一個最值極大值對應(yīng)最大值;極小值對應(yīng)最小值3、注意：極大值不一定比極小值大。如的極大值為，極小值為2。注意：當(dāng)*=*0時，函數(shù)有極值 f/(*0)0。但是，f/(*0)0不能得到當(dāng)*=*0時，函數(shù)有極值；判斷極值，還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明。題型一、求極值與最值題型二、導(dǎo)數(shù)的極值與最值

7、的應(yīng)用題型四、導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象關(guān)系 導(dǎo)函數(shù) 原函數(shù) 的符號 單調(diào)性與*軸的交點且交點兩側(cè)異號 極值的增減性 的每一點的切線斜率的變化趨勢的圖象的增減幅度 的增 的每一點的切線斜率增大的圖象的變化幅度快 減的每一點的切線斜率減小 的圖象的變化幅度慢例1. f(*)=e*-a*-1.1求f(*)的單調(diào)增區(qū)間；2假設(shè)f(*在定義域R單調(diào)遞增，求a的取值圍；3是否存在a,使f(*)在-，0上單調(diào)遞減，在0，+上單調(diào)遞增.假設(shè)存在，求出a的值；假設(shè)不存在，說明理由.解：=e*-a.1假設(shè)a0，=e*-a0恒成立，即f(*)在R上遞增.假設(shè)a>0,e*-a0,e*a,*lna.f(*)的單調(diào)遞增

8、區(qū)間為(lna,+).2f*在R單調(diào)遞增，0在R上恒成立.e*-a0，即ae*在R上恒成立.ae*min，又e*>0，a0.3 由題意知，*=0為f(*)的極小值點.=0,即e0-a=0,a=1.例2. 函數(shù)f(*)=*3+a*2+b*+c,曲線y=f(*在點*=1處的切線為l:3*-y+1=0，假設(shè)*=時，y=f(*有極值.1求a,b,c的值；2求y=f(*在-3，1上的最大值和最小值.解 1由f(*)=*3+a*2+b*+c,得=3*2+2a*+b,當(dāng)*=1時，切線l的斜率為3，可得2a+b=0 當(dāng)*=時，y=f(*)有極值，則=0,可得4a+3b+4=0 由解得a=2,b=-4.由

9、于切點的橫坐標為*=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.2由1可得f(*)=*3+2*2-4*+5,=3*2+4*-4,令=0,得*=-2,*=.當(dāng)*變化時，y,y的取值及變化如下表：*-3(-3,-2)-21 y+0-0+y8單調(diào)遞增13單調(diào)遞減單調(diào)遞增4 y=f*在-3，1上的最大值為13，最小值為例3.當(dāng) ，證明不等式.證明：，則，當(dāng)時。在是增函數(shù)，即，又，當(dāng)時，在是減函數(shù)，即，因此，當(dāng)時，不等式成立.點評：由題意構(gòu)造出兩個函數(shù)，.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或求最值，從而導(dǎo)出是解決此題的關(guān)鍵.七定積分求值1定積分的概念 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則2.用定義求定積分的一般方法是：分割：

10、等分區(qū)間；近似代替：取點；求和：；取極限：3.曲邊圖形面積：；在軸上方的面積取正，下方的面積取負 變速運動路程； 變力做功 4定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 其中k是不為0的常數(shù) 性質(zhì)2性質(zhì)3 定積分對積分區(qū)間的可加性5.定理 函數(shù)是上的一個原函數(shù)，即則導(dǎo)數(shù)各種題型方法總結(jié)一關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法：1、別離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：1對稱軸重視單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系 2端點處和頂點是最值所在二分析每種題型的本質(zhì)，你會發(fā)現(xiàn)大局部都在解決“不等式恒成立問題以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，創(chuàng)立不等關(guān)系求出取值圍。三同學(xué)們在看例題時，請注意尋找關(guān)鍵的等價變形和回歸的

11、根底一、根底題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個步驟進展解決：第一步：令得到兩個根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問題的實質(zhì)是函數(shù)的最值問題，2、常見處理方法有三種：第一種：別離變量求最值-用別離變量時要特別注意是否需分類討論>0,=0,<0第二種：變更主元即關(guān)于*字母的一次函數(shù)-誰的圍就把誰作為主元；例1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為，在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為，假設(shè)在區(qū)間D上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)，實數(shù)m是常數(shù)，1假設(shè)在區(qū)間上為“凸函數(shù)，求m的取值圍；2假設(shè)對滿足的任何一個實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)，求的

12、最大值.解:由函數(shù) 得1在區(qū)間上為“凸函數(shù)，則 在區(qū)間0,3上恒成立 解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價于解法二：別離變量法：當(dāng)時, 恒成立, 當(dāng)時, 恒成立等價于的最大值恒成立，而是增函數(shù)，則(2)當(dāng)時在區(qū)間上都為“凸函數(shù)則等價于當(dāng)時 恒成立變更主元法 再等價于在恒成立視為關(guān)于m的一次函數(shù)最值問題-22例2：設(shè)函數(shù) 求函數(shù)f*的單調(diào)區(qū)間和極值； 假設(shè)對任意的不等式恒成立，求a的取值圍.二次函數(shù)區(qū)間最值的例子解：3aaa3a令得的單調(diào)遞增區(qū)間為a,3a令得的單調(diào)遞減區(qū)間為，a和3a，+當(dāng)*=a時，極小值= 當(dāng)*=3a時，極大值=b. 由|a，得：對任意的恒成立則等價于這個二次函數(shù)的對稱軸放

13、縮法即定義域在對稱軸的右邊，這個二次函數(shù)的最值問題：單調(diào)增函數(shù)的最值問題。上是增函數(shù). 9分于是，對任意，不等式恒成立，等價于 又點評：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對稱軸重視單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值題型特征：恒成立恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型例3；函數(shù)圖象上一點處的切線斜率為，求的值；當(dāng)時，求的值域；當(dāng)時，不等式恒成立，數(shù)t的取值圍。解：， 解得由知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減又的值域是令思路1：要使恒成立，只需，即別離變量思路2：二次函數(shù)區(qū)間最值二、函數(shù)在*個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的圍解法1：轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上恒成立， 回歸根底題型解法2：利用子區(qū)間即子集思

14、想；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集； 做題時一定要看清楚“在m,n上是減函數(shù)與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是a,b，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集例4：，函數(shù)如果函數(shù)是偶函數(shù)，求的極大值和極小值；如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，求的取值圍解：. 是偶函數(shù)，. 此時， 令，解得：. 列表如下：(,2)2(2,2)2(2,+)+00+遞增極大值遞減極小值遞增可知：的極大值為，的極小值為. 函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，在給定區(qū)間R上恒成立判別式法則解得：. 綜上，的取值圍是. 例5、函數(shù) I求的單調(diào)區(qū)間； II假設(shè)在0，1上單調(diào)遞增，求a的取值圍。子集思想I 1、 當(dāng)且僅當(dāng)時取“=

15、號，單調(diào)遞增。 2、a-1-1單調(diào)增區(qū)間： 單調(diào)增區(qū)間：II當(dāng) 則是上述增區(qū)間的子集：1、時，單調(diào)遞增 符合題意2、，綜上，a的取值圍是0，1。 三、根的個數(shù)問題提型一 函數(shù)f(*)與g(*)或與*軸的交點=即方程根的個數(shù)問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖即解導(dǎo)數(shù)不等式和“趨勢圖即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增還是“先減后增再減；第二步：由趨勢圖結(jié)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式組；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系；第三步：解不等式組即可；例6、函數(shù)，且在區(qū)間上為增函數(shù)（1） 數(shù)的取值圍；（2） 假設(shè)函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，數(shù)的取值圍解：1由題意在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上恒成立別離

16、變量法即恒成立，又，故的取值圍為2設(shè)，令得或由1知，當(dāng)時，在R上遞增，顯然不合題意當(dāng)時，隨的變化情況如下表：極大值極小值由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即，解得綜上，所求的取值圍為根的個數(shù)知道，局部根可求或。例7、函數(shù)1假設(shè)是的極值點且的圖像過原點，求的極值；2假設(shè)，在1的條件下，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒有含的三個不同交點.假設(shè)存在，求出實數(shù)的取值圍；否則說明理由。高1考1資1源2網(wǎng)解：1的圖像過原點，則，又是的極值點，則-12設(shè)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒存在含的三個不同交點，等價于有含的三個根，即：整理得：即：恒有含的三個不等實根計算難點來了

17、：有含的根，則必可分解為，故用添項配湊法因式分解， 十字相乘法分解：恒有含的三個不等實根等價于有兩個不等于-1的不等實根。題型二：切線的條數(shù)問題=以切點為未知數(shù)的方程的根的個數(shù)例7、函數(shù)在點處取得極小值4，使其導(dǎo)數(shù)的的取值圍為，求：1的解析式；2假設(shè)過點可作曲線的三條切線，數(shù)的取值圍1由題意得：在上；在上；在上因此在處取得極小值，由聯(lián)立得：，2設(shè)切點Q，過令，求得：，方程有三個根。需：故：；因此所數(shù)的圍為：題型三：在給定區(qū)間上的極值點個數(shù)則有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個數(shù)解法：根分布或判別式法例8、解：函數(shù)的定義域為當(dāng)m4時，f (*) *3*210*，*27*10，令 ， 解得或.令 ， 解得可知函數(shù)

18、f(*)的單調(diào)遞增區(qū)間為和5，單調(diào)遞減區(qū)間為*2(m3)*m6, 1要使函數(shù)yf (*)在1，有兩個極值點,*2(m3)*m6=0的根在1，根分布問題：則， 解得m3例9、函數(shù)，1求的單調(diào)區(qū)間；2令*4f*R有且僅有3個極值點，求a的取值圍解：1當(dāng)時，令解得，令解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.當(dāng)時，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.2有且僅有3個極值點=0有3個根，則或，方程有兩個非零實根，所以或而當(dāng)或時可證函數(shù)有且僅有3個極值點其它例題：一最值問題與主元變更法的例子.定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是11.求函數(shù)的解析式；假設(shè)時，恒成立，數(shù)的取值圍.解： 令=0,得因為，所以可

19、得下表：0+0-極大因此必為最大值,因此， ， 即，等價于， 令，則問題就是在上恒成立時，數(shù)的取值圍，為此只需，即， 解得，所以所數(shù)的取值圍是0，1.二根分布與線性規(guī)劃例子例：函數(shù)() 假設(shè)函數(shù)在時有極值且在函數(shù)圖象上的點處的切線與直線平行,求的解析式；() 當(dāng)在取得極大值且在取得極小值時, 設(shè)點所在平面區(qū)域為S, 經(jīng)過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩局部, 求直線L的方程.解：().由, 函數(shù)在時有極值 ,又在處的切線與直線平行, 故 . 7分 () 解法一: 由 及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點所在平面區(qū)域S為如圖ABC, 易得, , , , , 同時DE為ABC的中位線, 所求一條直線L的方程為:另一種情況設(shè)不垂直于*軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩局部, 設(shè)直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G, 則 , 由 得點F的橫坐標為:由 得點G的橫坐標為:即 解得: 或 (舍去) 故這時直線方程為:綜上,所求直線方程為:或 .12分() 解法二: 由 及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點所在平面區(qū)域S為如圖ABC,易得, , , , , 同時DE為ABC的中位線, 所求一條直線L的