仙游一中高二下數(shù)學第一次階段考（答案）(1)

1、仙游一中 20212022 學年第二學期高二第一次階段考數(shù)學試卷參考答案一單選題（每小題 5 分，共 40 分）1已知函數(shù) f (x) = x +sin x ，則 f ¢(0) =（ ）A. -1 B. 0 C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】對 f (x) 求導得 f ¢(x) =1+ cos x，即可求 f ¢(0) .【詳解】由題設， f ¢(x) =1+ cos x， f ¢(0) =1+cos 0 = 2 .故選：D.2在等差數(shù)列a 中，na + a + a = ，1 2 3 9a = ，則其公差 d = （ ）4 7A. -

2、4 B. -2 C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】應用等差中項的性質(zhì)可得a = ，再根據(jù)等差數(shù)列通項公式求公差.2 3【詳解】由題設， a1 + a2 + a3 = 3a2 = 9 ，則 a2 = 3，a4 = a2 + 2d = 7 ，可得 d = 2. 又故選：C.3( )x2 + 2x + 3 (2x +1)6 的展開式中，x2 的系數(shù)是（ ）A250 B520 C502 D205【分析】利用 (2x +1)6 的展開式的通項公式可求出結果.【詳解】因為( )x2 + 2x +3 (2x +1)6 = x2 (2x +1)6 + 2x(2x +1)6 +3(2x +1)6 ，(

3、2x +1) 的展開式的通項公式為 1 6 (2 ) 2 66 k k k k kT + = C x = C x ， k = 0,1, 2,3, 4,5, 6 ,k10 0 1 1 2 2所以 x2 的系數(shù)為C6 ×2 + 2×C6 ×2 + 3×C6 ×2 = 205 .故選：D4已知函數(shù) f (x) 的導函數(shù) y = f ¢ (x) 的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ）A. f (x )是極小值 B. f (x )是極小值 C. f (x )是極大值 D. ( )f x 是極大值 2 3 4 5【答案】B【詳解】由圖知： f

4、(x) 在 (a, x ) 上遞增， (x , x ) 上遞減， (x ,b)遞增，1 1 3 3 f (x )是極小值， f (x )、 f (x )不是極值， f (x )為拐點.3 2 4 5故選：B.1 1 15已知 P(A)= P (BA)= P (BA )= 則 P(B)= （ ） , , .3 2 47A12B7245C12D524【詳解】2 P BA( )1 1 1由題知， P A = - P(A)= ， ( ) ( )( ) 1 P B A = = Þ P BA = P(A)´ = ，3 P(A) 2 2 32 1 1P(BA = P(A) - P BA

5、= - = ，) ( )3 3 3P BA( )1 1 1又 P(BA) P BA P A ，= = Þ = ´ =( ) ( )P(A) 4 4 121 1 5則 P(B) = P(BA) + P(BA)= + = .3 12 12故選：C6已知數(shù)列a 的前 n 項和 2n 1 = ÎN ，則數(shù)列 S = - ，若 ( * )b log a n b 的前 n 項和是（ ） n n n 2 n+1 nA.n(n +1)2B. 2n -1 C. 2n+1 -1 D. n(n +1)【答案】A2【解析】a【分析】先利用nìS ,n =11= íS

6、- S ,n ³ 2în n-1，求出a ，從而可求出 ( )b log a n b= ÎN* ，進而可求出數(shù)列 n n 2 n+1 n的前 n 項和【詳解】當 n = 1時，a = S = - = ，1 1 2 1 11當 n ³ 2時，a S S n n-1 n-1= - 1 = 2 -1-(2 -1) = 2 ， 1 1a = 滿足上式，n n n-所以an= ，2n 1-所以b = log a = log 2n = n ，n 2 n+1 2所以數(shù)列b 的前 n 項和是1+ 2 + 3 + ××× + n =nn(n

7、+1)2故選：A7來自中國、英國、瑞典的乒乓球裁判各兩名，執(zhí)行奧運會的一號、二號和三號場地的乒乓球裁判工作，每個場地由兩名來自不同國家的裁判組成，則不同的安排方案總數(shù)有( )A48 種 B64 種 C72 種 D96 種答案：A解析：每個場地由兩名來自不同國家的裁判組成，只能分為：中、英；中、瑞；英、瑞三組中，中國、英國、瑞典的乒乓球裁判各兩名，本國裁判可以互換，進場地全排列，不同的安排方案總數(shù)有A2A2A2A32×2×2×648 種故選 A. x2 + y2 = 2 x + 4 y 圍成的圖形的面積為（ ）8曲線A 8+10p B16+10p C5p D5【答案

8、】16+10p #10 +16【解析】【分析】曲線x2 + y2 = 2 x + 4 y 圍成的圖形關于 x軸， y 軸對稱，故只需要求出第一象限的面積即可.【詳解】將 -x 或 -y 代入方程，方程不發(fā)生改變，故曲線 x2 + y2 = 2 x + 4 y 關于 x 軸， y 軸對稱，因此只需求出第一象限的面積即可.3當 x ³ 0 ， y 0時，曲線x2 + y2 = 2 x + 4 y 可化為：(x -1)2 + (y - 2)2 = 5 ，表示的圖形為一個半圓，1 1 52圍成的面積為 ( )S = 5 + ´ 2´ 4 = + 4 ，12 2 2故曲線x

9、2 + y2 = 2 x + 4 y 圍成的圖形的面積為Sæ 5 ö= 4ç + 4÷ =10+16è ø2.故答案為 ：16+10p .二多選題（每小題 5 分，共 20 分，漏選得 2 分）æ p p ö9若 Îç- , ÷aè ø2 2，則方程 x2 +sina y2 =1可能表示下列哪些曲線（ ）A. 橢圓 B. 雙曲線 C. 圓 D. 兩條直線【答案】ABD【解析】æ ö【分析】分a = 0 、 0, Îç 

10、7;è ø2æ p ö、a ,0Îç- ÷è ø2得到sina 的取值范圍，再根據(jù)方程特征可得答案.【詳解】當a = 0 時， x2 =1，即 x = ±1表示兩條直線；æ ö當 Îç0, ÷è ø2時， 0 < sina <1，y2x2 + =1表示焦點在 y 軸上的橢圓；1sinaæ p ö當a Îç- ,0÷è ø2時， -1< si

11、na < 0 ，y2x2 + =1表示焦點在 x軸上的雙曲線，1sina故選：ABD.410現(xiàn)安排高二年級 A，B，C 三名同學到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，每名同學只能選擇一個工廠，且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法正確的是（ ）A所有可能的方法有34 種B若工廠甲必須有同學去，則不同的安排方法有 37 種C若同學 A 必須去工廠甲，則不同的安排方法有 16 種D若三名同學所選工廠各不相同，則不同的安排方法有 24 種【分析】利用分步乘法計數(shù)原理判斷 AC 選項的正確性，利用分類加法計數(shù)原理以及組合數(shù)計算判斷 B 選項的正確性，利用排列數(shù)計算判斷 D 選項的正確性.【詳解】所

12、有可能的方法有 43 種，A 錯誤.對于 B，分三種情況：第一種：若有 1 名同學去工廠甲，則去工廠甲的同學情況為C ，另外兩名同學的1 3安排方法有3´3 = 9種，此種情況共有C ´ = 種，第二種：若有兩名同學去工廠甲，則同學選派情3 9 271況有 C ´ = 種，第三種情況，若三名同學都去工甲，C ，另外一名同學的排法有 3 種，此種情況共有 32 3 92 3此種情況唯一，則共有 27+9+1= 37種安排方法，B 正確.對于 C，若 A 必去甲工廠，則 B，C 兩名同學各有 4 種安排，共有 4´4 =16種安排，C 正確.對于 D，若三名

13、同學所選工廠各不同，則共有A = 種安排，D 正確.4 243故答案為：BCD11在棱長為 2 的正方體 ABCD - A1B1C1D1 中，點 M，N 分別是棱 BC 和CC 中點，下列結論正確的是1（ ）A. MN B1DB. 直線 MN 與平面AC D平行1 15C. 點 N 到面 AB1M 的距離為62D. 平面 AMN 截正方體所得截面的面積為3 2【答案】AC【解析】【分析】在正方體中建立空間直角坐標系，利用向量的坐標運算進行判斷；A,計算MN ×B D 即可；B，1求出平面AC D的法向量為 n = (x, y,z) ，計算 n×MN 即可；C，求平面 AB1

14、M 的的法向量為 n¢ = (a,b,c) ，1 1計算點 N 到面 A B1M 的距離即可；D，作出面 AMN 截正方體所得截面，求其面積即可.【詳解】如圖，以 D 為坐標原點，建立空間直角坐標，則D(0, 0, 0),M (1, 2, 0), N(0, 2,1), A(2, 0, 0), A (2,0, 2),B (2, 2, 2),C (0, 2, 2) ，1 1 1對于 A, MN = (-1, 0,1),B D = (-2,-2,-2) ,1則MN ×B1D = (-1, 0,1)g(-2,-2,-2) = 0，故MN B D ，即 MN B1D ，故 A 正確；

15、1對于 B, MN = (-1, 0,1),設平面 A1C1D的法向量為 n = (x, y,z) ，DA = DC = ,1 (2, 0, 2), 1 (0, 2, 2)則vìn ×DA = 2x + 2z = 0ïuuuu1vív ，則可取 n = (1,1,-1) ，ïîn ×DC = 2y + 2z = 01而 n×MN = (1,1,-1)×(-1, 0,1) = -2 ¹ 0 ，故直線 MN 與平面 A1C1D不平行，故 B 錯誤；對于 C，設平面AB M 的的法向量為 n¢

16、; = (a,b,c) ，1AB1 = (0, 2, 2),MB1 = (1,0, 2),6則ìn¢× AB = 2b + 2c = 0ïuv uuuuv ，可取 n¢ = (-2,-1,1)，1íî ¢n ×MB = a + 2c = 01ï而 MN = (-1, 0,1)，故點 N 到面 A B1M 的距離為d| n¢×MN | 3 6= ur = = ，故 C 正確；| n¢| 6 2對于 D，平面 AMN 截正方體所得截面為 如圖等腰梯形 MND1A ,則M

17、N = AD = AM = ,高為 5 ( 2 )2 3 22. 2 2, 5 - = ，12 2故其面積為 1 ( 2 3 2) 3 2 9S = ´ + ´ = ，故 D 錯誤,故選:AC.2 2 212為弘揚我國古代“六藝”文化，某研學旅行夏令營主辦單位計劃在暑假開設“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六門體驗課程，若甲乙丙三名同學各只能體驗其中一門課程則（ ）A. 甲乙丙三人選擇課程方案有120種方法B. 恰有三門課程沒有被三名同學選中的概率為59C. 已知甲不選擇課程“御”的條件下，乙丙也不選擇“御”的概率為2536D. 設三名同學選擇課程“禮”的人數(shù)為x ，則Ex =12

18、【答案】BCD【解析】【分析】A 選項考查了排列組合的內(nèi)容；B 選項利用排列組合分別算出基本事件總數(shù)與滿足題意的基本事件個數(shù)，代入古典概型公式計算；C 選項利用條件概率的公式代入求解；D 選項利用二項分布的公式求解.【詳解】甲乙丙三名同學各只能體驗其中一門課程，則選擇方法有 63 = 216 種，故 A 錯誤；恰有三門課程沒有被三名同學選中，表示三位同學每個人選擇了不重復的一門課程，所以概率為A 120 536= = ，故6 216 93B 正確；已知甲不選擇課程“御”的概率為56，甲乙丙都不選擇“御”的概率為5 1253= ，所以條件概6 2163率為12525 1216= ，故 C 正確；

19、三名同學選擇課程“禮”的人數(shù)為x ，則x 服從二項分布x : B(3, ) ，則5 36661 1Ex = 3´ = ，故 D 正確.6 2故選：BCD.7二填空題（每小題 5 分，共 20 分）kæ 1 ö13設隨機變量 X 的分布列 ( ) ，則 a 的值為_.P X k a k= = ×ç ÷ , =1, 2,3è ø3【答案】2713kæ 1 ö【詳解】因為隨機變量 X 的分布列為 ( ) , 1, 2,3,P X = k = a×ç ÷ k =è

20、 ø3所以根據(jù)分布列的性質(zhì)有2 31 æ 1 ö æ 1 öa a a 1,× + ×ç ÷ + ×ç ÷ =3 3 3è ø è ø所以æ 1 1 1 ö 13a×ç + + ÷ = a´ =1,è ø3 9 27 27所以a = 2713.x y2 214已知橢圓方程為 + = ( > > )，左、右焦點分別為 F1 、F2 ，P 為橢圓上的

21、動點，若ÐF1PF22 2 1 a b 0a b的最大值為2p3，則橢圓的離心率為_.【答案】 32【解析】【分析】利用橢圓的定義結合余弦定理可求得b2a2，再利用公式eb2= 1- 可求得該橢圓的離心率的值.a2【詳解】由橢圓的定義可得PF + PF = a，1 2 2由余弦定理可得2 22 2 2+ - ( + ) - - 2 ×PF PF F F PF PF F F PF PF1 2 1 2 1 2cosÐF PF = =1 2 1 21 22 PF × PF 2 PF × PF1 2 1 24a - 4c 4b 4b 2b2 2 2 2

22、 2= -1³ -1= -1= -12 PF × PF æ PF + PF ö 2a a2 2 21 2 1 22´ç ÷2è ø，因為ÐF PF 的最大值為1 22p3，則2b 2p 12-1= cos = - ，可得a 3 22b2a21= ，4因此，該橢圓的離心率為ec c a -b b 32 2 2 2= = = = 1- = .a a a a 22 2 2故答案為： 32.2020 2 202015若(3x + 2) = a + a x + a x +L+ a x ，則0 1 2 20

23、20a + a + a +L+ a 被 12 整除的余數(shù)為_1 3 5 20198【答案】0【解析】【分析】根據(jù)題意，給自變量 x 賦值，取 x =1和 x = -1，兩個式子相減，得到a + a + a +La 的值，用二1 3 5 2019項展開式可以看出被 12 整除的結果，得到余數(shù)【詳解】在已知等式中，取 x =1得a0 + a1 + a2 +L+ a2020 = 52020 ，取 x = -1得 a0 - a1 + a2 -L+ a2020 =1，兩式相減得2(a + a + a +La ) = 52020 -1，1 3 5 20191即 ( )a + a + a +La =

24、80; 5 -1 ，2020 1 3 5 201921 1 1 11010因為 ( ) ( ) ( )´ 5 -1 = ´ 25 -1 = ´ 24 +1 -2020 10102 2 2 2 1 1= ´( 24 + 24 +L+ 24 + )-C C C C 0 1010 1 1009 1 01010 1010 1010 1010 2 21= ´( 24 + 24 +L+ 24)C C C0 1010 1 1009 1 1010 1010 10102能被 12 整除，所以則 a1 + a3 + a5 +L+ a2019 被 12 整除，余數(shù)是

25、 0.16已知數(shù)列 a 滿足 ，若nan+1 £ 對任意 nÎ N* 恒成立，則實數(shù)l 的取值范lan圍為_【詳解】在數(shù)列 a 中， 1 2 3 n 1 Î ，n ³ 2 時， a1a2a3 Lan-1 =n ，a a a La =n + ，當 n N* n則有an=n+1，而a1 = 2滿足上式，因此，nan=n+1，na + n(n + 2) 1n 1 1= = -a (n+1) (n+1)2 2na 1 +1 是遞增數(shù)列，且 n N n * 1- <1，顯然數(shù)列 " Î ， 2a (n +1)n又an l1+ £

26、 對任意 nÎ N* 恒成立，則l ³1，an所以實數(shù)l 的取值范圍為l ³1.故答案為：l ³1四解答題（共 6 大題，10 分+12 分+12 分+12 分+12 分+12 分，共 70 分）917求函數(shù)f (x) = x - 3x 在區(qū)間3 2é 1 ù - ,4ê úë û2上的最大值和最小值【答案】最大值為 16，最小值為 -4.【解析】【分析】求出 f ¢(x)，求出 f (x)在閉區(qū)間é 1 ù - ,4ê úë 

27、1;2æ 1 ö上的極值，與 f - , f (4)比較大小，即得最值.ç ÷è ø2【詳解】 ¢( ) = -f x 3x 6x ，2令 f ¢(x)= 0，得 x = 0 或 x = 2 ，1由 f ¢(x)> 0，得 2 < x < 4 或 0- < x < ；由 f ¢(x)< 0，得 0 < x < 2，2æ 1 ö 在區(qū)間(2, 4)，f (x)- ,0ç ÷è ø2上單調(diào)遞增

28、，在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減， 在 x = 0 時有極大值 f (0)= 0，在 x = 2時有極小值 f (2) = 8-12 = -4 ，f (x)又 f (4) = 64 - 48 =16 ，fæ 1 ö 1 3 7- = - - = -ç ÷è ø2 8 4 8 f (x)在é 1 ù - ,4ê úë û2上的最大值為 16，最小值為 -4.18如圖所示在多面體 ABC - DEF 中，AD 平面 ABC ，四邊形 ACFD是正方形，EF/BC ，BC = 2EF

29、，AB AC ， AB = AC = 2 .（1）求證：直線 AF / 平面 BDE ；（2）求平面 BDE 與平面CDE 夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）13.【解析】10【分析】（1）以點 A 為坐標原點，分別以 AB 、 AC 、 AD 為 x、 y 、 z 軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可證明出直線 AF / 平面 BDE ；（2）利用空間向量法可求得平面 BDE 與平面CDE 夾角的余弦值.【小問 1 詳解】證明：因為 AD 平面 ABC ， AB AC ，以點 A 為坐標原點，分別以 AB 、 AC 、 AD 為 x 、 y 、 z 軸建立空間直角坐標系，則 A

30、(0, 0, 0)、 B(2, 0, 0)、C (0, 2,0)、 E(1,1, 2)、 F (0, 2, 2)、 D(0,0, 2)，所以， BD = (-2,0, 2)， BE = (-1,1, 2)，設平面 BDE 的法向量為 n = (x, y, z)，依題意有vìBD×n = 0uuuv v ，即íBE ×n = 0îì-2x + 2z = 0í-x + y + 2z = 0î，令 x =1，可得 n = (1,-1, 1)，QAF ×n = 0-2+ 2 = 0，則 AF n ，Q AF &#

31、203;平面 BDE ，因此， AF / 平面 BDE .【小問 2 詳解】解：由題 DE = (1,1, 0)， DC = (0, 2,-2)，設平面CDE 的法向量為 ( 1, 1, 1 )m = x y z ，依題意有vìDE ×m = 0uuuv v ，即íDC ×m = 0îìx + y = 01 1í2y - 2z = 0î1 1，取x1 =1，可得 m = (1,-1,-1)，ur rm×n 1 1cos < m,n >= ur r = = ， m × n 3´

32、; 33因此，平面 BDE 與平面CDE 的夾角余弦值為13.11mæ 2 ö19已知 x2 +ç ÷è x ø的展開式中，第 4 項的系數(shù)與倒數(shù)第 4 項的系數(shù)之比為12.（1）求 m 的值；（2）求展開式中所有項的系數(shù)和與二項式系數(shù)和；（3）將展開式中所有項重新排列，求有理項不相鄰的概率.r ræ 1 ö 5m-r - 2m-（1）展開式的通項為 ( )T 1 = C × x ×ç2x ÷ = C × 2 × xr 2 r r 2 2r+ m m

33、32; ø， C3 × 23 ，倒數(shù)第 4 項的系數(shù)為Cm-3 × 2m-3 ，展開式中第 4 項的系數(shù)為m mC ×2 13 3 =mC - ×2 - 2m 3 m 3m，即1 1- = , m = 7 .2m 26（2）令 x =1可得展開式中所有項的系數(shù)和為37 = 2187 ，展開式中所有項的二項式系數(shù)和為 27 =128.5r（3）展開式共有 8 項，由（1）可得當 2m - 為整數(shù)，即 r = 0, 2, 4,6 時為有理項，共 4 項，2A A5 14 4由插空法可得有理項不相鄰的概率為 4 = .A 148 820（12 分 ）

34、第 24 屆冬奧會將于 2022 年 2 月在中國北京市和張家口市聯(lián)合舉行某城市為傳播冬奧文化，舉行冬奧知識講解員選拔大賽選手需關注活動平臺微信公眾號后，進行在線答題，滿分為 200 分經(jīng)統(tǒng)計，有 40 名選手在線答題總分都在150，200內(nèi)將得分區(qū)間平均分成 5 組，得到了如圖所示的頻率分布折線圖（1）請根據(jù)頻率分布折線圖，畫出頻率分布直方圖，并估計這 40 名選手的平均分；（2）根據(jù)大賽要求，在線答題總分不低于 190 分的選手進入線下集訓，線下集訓結束后，進行兩輪考核第一輪為筆試，考試科目為外語和冰雪運動知識，每科的筆試成績從高到低依次有 A，B，C，D 四個等級兩科均不低于 C，且至少

35、有一科為 A，才能進入第二輪面試，第二輪得到“通過”的選手將獲得“冬奧知識講解員”資格已知總分高于 195 分的選手在每科筆試中取得 A，B，C，D 的概率分別為23，161，12，12112；總分不超過 195 分的選手在每科筆試中取得 A，B，C，D 的概率分別為13，14，16，14；若兩科筆試成績均為 A，則無需參加面試，直接獲得“冬奧知識講解員”資格；若兩科筆試成績只有一個 A，則2要參加面試，總分高于 195 分的選手面試“通過”的概率為 ，總分不超過 195 分的選手面試“通過”3 2的概率為 若參加線下集訓的選手中有 2 人總分高于 195 分，求恰有兩名選手獲得“冬奧知識講解

36、員”5資格的概率21（12 分）已知橢圓 C：x y2 22 2 1+ = （ a > 0 ，b > 0）的焦距為 2 3b ，經(jīng)過點 P（ -2，1）a b（1）求橢圓 C 的標準方程；（2）設 O 為坐標原點，在橢圓短軸上有兩點 M，N 滿足OM = NO ，直 線 PM，PN 分別交橢圓于 A，BPQAB，Q 為垂足是否存在定點 R，使得 QR 為定值，說明理由13a22已知函數(shù) f (x) = ax - - 2 ln x(a ÎR) .x（1）若 f (x) 是定義域上的增函數(shù)，求 a 的取值范圍；（2）設3a > ，5x ，1x 分別為 f (x) 的極大值點和極小值點，若 S = f (x - ，求 S 的取值范圍.1) f (x )2 2a 2 ax -2x +a2【解析】（1） f (x)的定義域為(0,+¥ )， ( ) f