逆向思維在高中數(shù)學(xué)解題中的一些應(yīng)用

1、.逆向思維在高中數(shù)學(xué)解題中的一些應(yīng)用-中學(xué)數(shù)學(xué)論文逆向思維在高中數(shù)學(xué)解題中的一些應(yīng)用談敏（南京市秦淮中學(xué)，江蘇南京211100）摘要：在高中數(shù)學(xué)解題過程中，幫助學(xué)生培養(yǎng)逆向思維能力，引導(dǎo)他們正確而巧妙地利用逆向思維，不僅有助于學(xué)生突破思維定勢(shì)，改變其思維結(jié)構(gòu)，進(jìn)入新的境界，還可以使他們的思維靈活性和深刻性得到培養(yǎng)，分析和解決問題的綜合能力也能進(jìn)一步得到提高。本文從定義、定理、公式等幾方面的應(yīng)用對(duì)逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行了論述。關(guān)鍵詞：逆向思維；高中數(shù)學(xué)解題；應(yīng)用中圖分類號(hào)：G633文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1005-6351(2013)-12-0072-01逆向思維是一種與正向思維相反，從

2、問題的反面進(jìn)行思考的思維方式，也就是把命題的結(jié)論作為出發(fā)點(diǎn)，進(jìn)而找尋結(jié)論成立的充要條件或者充分條件。在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師應(yīng)該意識(shí)到逆向思維的重要性，結(jié)合教材，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，積極地引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中正確有效的利用逆向思維，由根索源，反向思考，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，完善他們的綜合知識(shí)，更好地完成教學(xué)目標(biāo)，提升學(xué)生的分析能力。本文作者通過對(duì)實(shí)際數(shù)學(xué)問題的解析，探討了逆向思維在數(shù)學(xué)解題過程中的應(yīng)用。一、逆向思維的含義和培養(yǎng)逆向思維是一種發(fā)散性思維，是指人們從問題的反面出發(fā)，從問題的對(duì)立面去思考問題的答案。逆向思維的特點(diǎn)是另辟蹊徑，從不同的角度思考問題，思路寬廣，靈活多變，考慮精細(xì)，且

3、答案新穎。逆向思維幫助學(xué)生突破思維定勢(shì)，產(chǎn)生新的思考方法，發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，開拓認(rèn)識(shí)的新領(lǐng)域，形成新的思考方法以及新的科學(xué)理論的思維方式。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的關(guān)鍵在于挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的逆向思維素材，并選擇典型的逆向思維范例。其主要途徑有：1、通過數(shù)學(xué)定義的逆向思維。例如，關(guān)于異面直線的定義：不在一個(gè)平面內(nèi)的任何兩條直線都是異面關(guān)系；2、通過數(shù)學(xué)定理的逆向思維。雖然并非所有定理的逆命題都正確，但是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理的逆命題進(jìn)行探討，驗(yàn)證其是否正確，是指導(dǎo)學(xué)生研究新問題的有效方法；3、通過數(shù)學(xué)公式的逆向思維。公式的兩邊是等價(jià)的，其本身是雙向的，平時(shí)學(xué)生在運(yùn)用公式時(shí)總是習(xí)慣地由左至右，化繁

4、為簡(jiǎn)。但在一些數(shù)學(xué)習(xí)題中對(duì)公式進(jìn)行逆向應(yīng)用，由右到左，由簡(jiǎn)到繁能更好地對(duì)問題進(jìn)行解答，有助于學(xué)生形成解題技巧，而且又利于提高他們的解題能力，培養(yǎng)其逆向思維能力，使他們的思維得到鍛煉；4、在數(shù)學(xué)基本概念的學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。例如在對(duì)“直角三角形”的定義進(jìn)行講解時(shí)，教師可以采用如下的形式：正向思維：有一個(gè)角為90度的三角形稱之為直角三角形。逆向思維：直角三角形中必須有一個(gè)角為90度。另外，在教學(xué)過程中，教師要明確哪些定理的逆命題是真命題；5、通過反證法，分析法，待定系數(shù)法等培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。二、逆向思維在高中數(shù)學(xué)解題中的一些具體應(yīng)用實(shí)例（一）逆用定義以雙曲線定義為例，若點(diǎn)P的軌

5、跡是雙曲線，則等式2a=|PF1|-|PF2|恒成立。點(diǎn)評(píng)：當(dāng)已知是何種圓錐曲線且與兩焦點(diǎn)有關(guān)時(shí)，可直接利用定義求解，以達(dá)到簡(jiǎn)縮思路、簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的。（二）定理的逆用勾股定理的逆定理是判斷三角形為銳角或鈍角的一個(gè)簡(jiǎn)單的方法。若c為最長(zhǎng)邊，且a2+b2=c2，則ABC是直角三角形。如果a2+b2c2，則ABC是銳角三角形。如果a2+b2c2，則ABC是鈍角三角形。例2:如圖所示，在四邊形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2:2:3:1，且角B=90°，求角BAD的度數(shù)。解：設(shè)AD=a，則AB=BC=2a，CD=3a，連接AC，三角形ABC為等腰三角形，所以角BAC=45°，

6、在Rt三角形中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=2AB2=8a2，又因?yàn)锳D2=a2，CD2=9a2，所以AC2+AD2=CD2。由勾股定理的逆定理知三角形CAD是直角三角形。所以CAD=90°，BAD=BAC+CAD=45°+90°=135°。（三）公式的逆用即顯示了兩角正切乘積與正切和與差的關(guān)系，若+是特殊角，可直接找出它們的關(guān)系。例3：求tan17°+tan43°+tan17°·tan43°的值。分析：注意17°+43°=60°解：因?yàn)? =tan60°=

7、tan（17°+43°）=（tan17°+tan43°）（1-tan17°tan43°）。所以tan17°+tan43°=3（1-tan17°tan43°）所以原式=3（1-tan17°tan43°）+3tan17°·tan43°=3。（四）反證法與分析法，待定系數(shù)法等的應(yīng)用反證法，分析法和待定系數(shù)法等重要的數(shù)學(xué)方法也都是通過逆向思維體現(xiàn)出來的。例4：已知b=b1+b2，其中b1與a成正比例關(guān)系，b2與a成反比例關(guān)系，并且當(dāng)a=1時(shí)，b=4；a=2時(shí)，b=5，求b與a之間存在的函數(shù)關(guān)系。綜上所述，在數(shù)學(xué)解題中，當(dāng)應(yīng)用常規(guī)正向思維受阻，或者需要迂回曲折才能找到答案時(shí)，改為應(yīng)用逆向思維，往往能得到更為簡(jiǎn)單的解答，開拓出新的解答途徑。因此，在平時(shí)的教學(xué)過程中，重視對(duì)學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維，以及思維的敏捷性，并且有助于提高學(xué)生的綜合能