隨機(jī)變量及其概率分布

1、 第第 二二 章章 第一節(jié)第一節(jié) 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 主講人：趙洪欣實(shí)例實(shí)例 1 擲一個(gè)硬幣擲一個(gè)硬幣, 觀察出現(xiàn)的結(jié)果觀察出現(xiàn)的結(jié)果 , 共有兩種共有兩種情況情況:),(1反面朝上反面朝上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示擲一個(gè)硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)表示擲一個(gè)硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù), 則有則有)(eX)(1反面朝上反面朝上 e)(2正面朝上正面朝上 e100)(1 eX1)(2 eX即即 X (e) 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量.1.1.定義定義一、隨機(jī)變量的概念一、隨機(jī)變量的概念( )( ).EXXX設(shè) 為隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間為 ，如果對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)，有一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，

2、這樣就得到一個(gè)定義在 上的實(shí)函數(shù)，稱為隨機(jī)變量123, ,X Y ZXXXLL隨機(jī)變量通常用或者表示2.隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量的分類離散型離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量連續(xù)型連續(xù)型 觀察擲一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)觀察擲一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 的可能值是的可能值是 :實(shí)例實(shí)例11, 2, 3, 4, 5, 6.XX隨機(jī)變量 只取有限多個(gè)或者可列無(wú)窮多個(gè)值，則稱 為離散型隨機(jī)變量（1）離散型）離散型實(shí)例實(shí)例2 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 記為記為 “連續(xù)射擊連續(xù)射擊, 直至命直至命中時(shí)的射擊次數(shù)中時(shí)的射擊次數(shù)”, 則則 X 的可能值是的可能值是: 1,2,3,.L(2)連續(xù)型連續(xù)型實(shí)例實(shí)例1 隨

3、機(jī)變量隨機(jī)變量 X 為為“燈泡的壽命燈泡的壽命”.).,0 實(shí)例實(shí)例2 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 為為“測(cè)量某零件尺寸時(shí)的測(cè)誤測(cè)量某零件尺寸時(shí)的測(cè)誤差差”.則則 X 的取值范圍為的取值范圍為 (a, b) 內(nèi)的任一值內(nèi)的任一值.隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個(gè)區(qū)間隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個(gè)區(qū)間,叫叫做連續(xù)型隨機(jī)變量做連續(xù)型隨機(jī)變量.則X的取值范圍為性質(zhì)性質(zhì) (1)0,1,2,;kpk非負(fù)性 1( 2 )1 .kkp規(guī) 范 性二、離散型隨機(jī)變量的分布律定義定義12,kXx xxLL設(shè)隨機(jī)變量 所有可能取值為,1,2kkP Xxp kL且kpX則稱為 的分布律（或分布列，概率分布）分

4、布律也可表示為1212kkXxxxPpppLLLL例1X設(shè)離散型隨機(jī)變量 的分布律為0120.20.5XPcC求解:由分布律的性質(zhì)知:0.20.51c0.3c 例2512 3 4 5.XX袋子當(dāng)中有 個(gè)同樣大小的球，編號(hào)為， ， ， ，從中同時(shí)取出3個(gè)球，記 為取出的球的最大編號(hào)，求 的分布律.解:3 4 5X的取值為 ， ，3511310P XC23353410CP XC24356510CP XC3450.10.30.6XPX所以 的分布律為例3p某人有3發(fā)子彈，對(duì)一目標(biāo)連續(xù)進(jìn)行射擊，每次射擊的命中率為 ，(1)如果擊中目標(biāo)就停止，否則一直到子彈用完，用X表示耗用子彈數(shù)，求X的分布律.(2)

5、若3發(fā)子彈都打完，用Y表示擊中目標(biāo)的子彈數(shù)，求Y的分布律.解:X（1） 的可能取值為1，2，3123XPp(1)p p2(1)pp（2）Y的可能取值為0，1，2，30123YP0033(1)C pp1123(1)C pp2213(1)C pp3303(1)C pp33(1).0,1,2,3kkkP YkC ppk或者例4 已知一批零件共10個(gè),其中有3個(gè)不合格,現(xiàn)任取一件使用，若取到不合格零件就丟棄,再重新抽取一個(gè)，如此下去,試求取到合格零件之前取出的不合格零件個(gè)數(shù)X的分布律.解:012 3X的可能取值 ， ， ，7010P X 3 77110 930P X g3 2 77210 9 8120

6、P X g g3 2 1 71310 9 8 7120P X g g gX所以 的分布律為012377711 03 01 2 01 2 0YP對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a0）3. 正態(tài)分布正態(tài)分布22()21( )2x f xe標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化XY 第第 二二 章章 第四節(jié)第四節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布主講人：趙洪欣一一.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布例1X設(shè)離散型隨即變量 的分布律為10120.20.10.30.4XP32(1)(2)YXYX求：的分布律解：(1)1018.Y的可能取值， ， ，1P Y 31P X 1P X 0.20P Y 30P X0P X

7、0.11P Y 31P X1P X0.38P Y 38P X2P X0.410180.20.10.30.4YP3YX所以的分布律為10120.20.10.30.4XP(2)014.Y的可能取值， ， ，0P Y 20P X0P X0.11P Y 21P X11P XX 11P XP X 0.54P Y 24P X2P X0.43YX所以的分布律為0140.10.50.4YP例2(3)(3,0.4),12XXXBYP Y令，求解：112XXP YP（3- ）12P XP X11222133(0.4) (0.6)(0.4) (0.6)CC0.72二二.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)

8、的概率分布( )( )( )0.( )( )()( )XYXfxyg xg xxh yyg xYg Xfx 設(shè) 為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為，是一嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo)函數(shù)，其值域?yàn)?, ,且記為的反函數(shù)，則概率密度函數(shù)為：定理,0,XYYXfhyhyyfyfyfhyhyy 其 它若證明：( )( )g xxh y若為單調(diào)增函數(shù)，則其反函數(shù)也是增函數(shù)，y則當(dāng)時(shí)， ()Yyg Xy( )Xh yY所以 的分布函數(shù)為( ) ()( )YFyP YyP g XyP Xh y( )( )h yXfx dx( )( )YYfyFy故( ( )( ( )Xfh yh y( )0Yyyfy當(dāng)或時(shí)，( )( )

9、g xxh y若為單調(diào)減函數(shù)，則其反函數(shù)也是減函數(shù)，y則當(dāng)時(shí)， ()Yyg Xy( )Xh yY所以 的分布函數(shù)為( ) ()( )YFyP YyP g XyP Xh y( )( )Xh yfx dx( )( )YYfyFy故( ( )( )Xfh yh y( )0Yyyfy當(dāng)或時(shí)，例22( ,),XXNY 設(shè)求:的概率密度.解：22()21( )2xXXfxe的密度函數(shù)為( )XYxh yy的反函數(shù)( )h y( )( ( )( )YXfyfh yh y所以()Xfy 22()212ye 2212ye04( )28.80XXxxfxYX設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度為，求的概率密度其他例2解：828

10、( )2yyxxh y的反函數(shù)為1( )2h y 0,8;4,16xyxy時(shí)時(shí)8,16即,0,XYfhyhyyfy 其 它81()816220Xyfy其他8816320yy其他解二：( ),( )YXYFyXFx記 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為( )YFyP Yy8282yPXyP X8()2XyF( )( )YYfyFy8()2XyF81()22Xyf1818()0482220yy其他8816320yy其他練習(xí)：(1)21.XEYX設(shè)，求的概率密度例32( ),( )XYXfxYXfy設(shè) 的密度函數(shù)為求的密度函數(shù)2(0,1).XNYX特別地，當(dāng)時(shí)，求的概率密度解：0,yY 時(shí)的分布函數(shù)( )YFyP Yy20P Xy0( )YyFyP Yy時(shí)，2P XyPyXy()()XXFyFy( )( )YYfyFy1()()2XXfyfyy