隨機變量及其概率分布

1、 第第 二二 章章 第一節(jié)第一節(jié) 離散型隨機變量離散型隨機變量 主講人：趙洪欣實例實例 1 擲一個硬幣擲一個硬幣, 觀察出現(xiàn)的結果觀察出現(xiàn)的結果 , 共有兩種共有兩種情況情況:),(1反面朝上反面朝上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示擲一個硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)表示擲一個硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù), 則有則有)(eX)(1反面朝上反面朝上 e)(2正面朝上正面朝上 e100)(1 eX1)(2 eX即即 X (e) 是一個隨機變量是一個隨機變量.1.1.定義定義一、隨機變量的概念一、隨機變量的概念( )( ).EXXX設 為隨機試驗，樣本空間為 ，如果對于每一個樣本點，有一個實數(shù)與之對應，

2、這樣就得到一個定義在 上的實函數(shù)，稱為隨機變量123, ,X Y ZXXXLL隨機變量通常用或者表示2.隨機變量的分類隨機變量的分類離散型離散型隨機變量隨機變量連續(xù)型連續(xù)型 觀察擲一個骰子出現(xiàn)的點數(shù)觀察擲一個骰子出現(xiàn)的點數(shù).隨機變量隨機變量 X 的可能值是的可能值是 :實例實例11, 2, 3, 4, 5, 6.XX隨機變量 只取有限多個或者可列無窮多個值，則稱 為離散型隨機變量（1）離散型）離散型實例實例2 若隨機變量若隨機變量 X 記為記為 “連續(xù)射擊連續(xù)射擊, 直至命直至命中時的射擊次數(shù)中時的射擊次數(shù)”, 則則 X 的可能值是的可能值是: 1,2,3,.L(2)連續(xù)型連續(xù)型實例實例1 隨

3、機變量隨機變量 X 為為“燈泡的壽命燈泡的壽命”.).,0 實例實例2 隨機變量隨機變量 X 為為“測量某零件尺寸時的測誤測量某零件尺寸時的測誤差差”.則則 X 的取值范圍為的取值范圍為 (a, b) 內的任一值內的任一值.隨機變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個區(qū)間隨機變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個區(qū)間,叫叫做連續(xù)型隨機變量做連續(xù)型隨機變量.則X的取值范圍為性質性質 (1)0,1,2,;kpk非負性 1( 2 )1 .kkp規(guī) 范 性二、離散型隨機變量的分布律定義定義12,kXx xxLL設隨機變量 所有可能取值為,1,2kkP Xxp kL且kpX則稱為 的分布律（或分布列，概率分布）分

4、布律也可表示為1212kkXxxxPpppLLLL例1X設離散型隨機變量 的分布律為0120.20.5XPcC求解:由分布律的性質知:0.20.51c0.3c 例2512 3 4 5.XX袋子當中有 個同樣大小的球，編號為， ， ， ，從中同時取出3個球，記 為取出的球的最大編號，求 的分布律.解:3 4 5X的取值為 ， ，3511310P XC23353410CP XC24356510CP XC3450.10.30.6XPX所以 的分布律為例3p某人有3發(fā)子彈，對一目標連續(xù)進行射擊，每次射擊的命中率為 ，(1)如果擊中目標就停止，否則一直到子彈用完，用X表示耗用子彈數(shù)，求X的分布律.(2)

5、若3發(fā)子彈都打完，用Y表示擊中目標的子彈數(shù)，求Y的分布律.解:X（1） 的可能取值為1，2，3123XPp(1)p p2(1)pp（2）Y的可能取值為0，1，2，30123YP0033(1)C pp1123(1)C pp2213(1)C pp3303(1)C pp33(1).0,1,2,3kkkP YkC ppk或者例4 已知一批零件共10個,其中有3個不合格,現(xiàn)任取一件使用，若取到不合格零件就丟棄,再重新抽取一個，如此下去,試求取到合格零件之前取出的不合格零件個數(shù)X的分布律.解:012 3X的可能取值 ， ， ，7010P X 3 77110 930P X g3 2 77210 9 8120

6、P X g g3 2 1 71310 9 8 7120P X g g gX所以 的分布律為012377711 03 01 2 01 2 0YP對于任意的實數(shù)a0）3. 正態(tài)分布正態(tài)分布22()21( )2x f xe標準化標準化XY 第第 二二 章章 第四節(jié)第四節(jié) 隨機變量函數(shù)的概率分布隨機變量函數(shù)的概率分布主講人：趙洪欣一一.離散型隨機變量函數(shù)的概率分布離散型隨機變量函數(shù)的概率分布例1X設離散型隨即變量 的分布律為10120.20.10.30.4XP32(1)(2)YXYX求：的分布律解：(1)1018.Y的可能取值， ， ，1P Y 31P X 1P X 0.20P Y 30P X0P X

7、0.11P Y 31P X1P X0.38P Y 38P X2P X0.410180.20.10.30.4YP3YX所以的分布律為10120.20.10.30.4XP(2)014.Y的可能取值， ， ，0P Y 20P X0P X0.11P Y 21P X11P XX 11P XP X 0.54P Y 24P X2P X0.43YX所以的分布律為0140.10.50.4YP例2(3)(3,0.4),12XXXBYP Y令，求解：112XXP YP（3- ）12P XP X11222133(0.4) (0.6)(0.4) (0.6)CC0.72二二.連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率分布連續(xù)型隨機變量函數(shù)

8、的概率分布( )( )( )0.( )( )()( )XYXfxyg xg xxh yyg xYg Xfx 設 為連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為，是一嚴格單調且可導函數(shù)，其值域為 , ,且記為的反函數(shù)，則概率密度函數(shù)為：定理,0,XYYXfhyhyyfyfyfhyhyy 其 它若證明：( )( )g xxh y若為單調增函數(shù)，則其反函數(shù)也是增函數(shù)，y則當時， ()Yyg Xy( )Xh yY所以 的分布函數(shù)為( ) ()( )YFyP YyP g XyP Xh y( )( )h yXfx dx( )( )YYfyFy故( ( )( ( )Xfh yh y( )0Yyyfy當或時，( )( )

9、g xxh y若為單調減函數(shù)，則其反函數(shù)也是減函數(shù)，y則當時， ()Yyg Xy( )Xh yY所以 的分布函數(shù)為( ) ()( )YFyP YyP g XyP Xh y( )( )Xh yfx dx( )( )YYfyFy故( ( )( )Xfh yh y( )0Yyyfy當或時，例22( ,),XXNY 設求:的概率密度.解：22()21( )2xXXfxe的密度函數(shù)為( )XYxh yy的反函數(shù)( )h y( )( ( )( )YXfyfh yh y所以()Xfy 22()212ye 2212ye04( )28.80XXxxfxYX設隨機變量 的概率密度為，求的概率密度其他例2解：828

10、( )2yyxxh y的反函數(shù)為1( )2h y 0,8;4,16xyxy時時8,16即,0,XYfhyhyyfy 其 它81()816220Xyfy其他8816320yy其他解二：( ),( )YXYFyXFx記 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為( )YFyP Yy8282yPXyP X8()2XyF( )( )YYfyFy8()2XyF81()22Xyf1818()0482220yy其他8816320yy其他練習：(1)21.XEYX設，求的概率密度例32( ),( )XYXfxYXfy設 的密度函數(shù)為求的密度函數(shù)2(0,1).XNYX特別地，當時，求的概率密度解：0,yY 時的分布函數(shù)( )YFyP Yy20P Xy0( )YyFyP Yy時，2P XyPyXy()()XXFyFy( )( )YYfyFy1()()2XXfyfyy