第五章測(cè)量誤差知識(shí)

1、第四章第四章 內(nèi)容回顧內(nèi)容回顧v經(jīng)緯儀結(jié)構(gòu)v水平角觀測(cè)v豎直角觀測(cè)v三角高程測(cè)量v視距測(cè)量第五章第五章 測(cè)量誤差基礎(chǔ)知識(shí)測(cè)量誤差基礎(chǔ)知識(shí)5.1 概述概述v在測(cè)量工作中，觀測(cè)者無論使用多么精良的儀器，在測(cè)量工作中，觀測(cè)者無論使用多么精良的儀器，操作如何認(rèn)真，最后仍得不到絕對(duì)正確的測(cè)量成果。操作如何認(rèn)真，最后仍得不到絕對(duì)正確的測(cè)量成果。這說明在這說明在各觀測(cè)值之間各觀測(cè)值之間及在及在觀測(cè)值與理論值觀測(cè)值與理論值之間不之間不可避免地存在著可避免地存在著差異差異，我們稱這些差異為觀測(cè)值的，我們稱這些差異為觀測(cè)值的測(cè)量誤差測(cè)量誤差。 v設(shè)某觀測(cè)量的設(shè)某觀測(cè)量的真值真值用用X X表示。若以表示。若以L L

2、i i ( i=1, ( i=1, 2,.n2,.n）表示對(duì)某量的）表示對(duì)某量的n n次觀測(cè)值，并以表示真次觀測(cè)值，并以表示真誤差，則誤差，則真誤差可定義為真誤差可定義為: :觀測(cè)值觀測(cè)值L L與真值與真值X X之差之差，即即 i i=L=Li i-X ( i=1,2,3n)-X ( i=1,2,3n)一、測(cè)量誤差的來源一、測(cè)量誤差的來源v外界環(huán)境外界環(huán)境、測(cè)量?jī)x器測(cè)量?jī)x器和和觀測(cè)者觀測(cè)者構(gòu)成構(gòu)成觀測(cè)條件觀測(cè)條件, ,是產(chǎn)是產(chǎn)生測(cè)量誤差的根本原因。生測(cè)量誤差的根本原因。 1.1.儀器儀器精度的局限性精度的局限性 v儀器制造誤差及檢校殘余誤差。儀器制造誤差及檢校殘余誤差。 2.2.觀測(cè)者觀測(cè)者感

3、官的局限性感官的局限性 觀測(cè)者的感官的鑒別能力、技術(shù)熟練程度和勞動(dòng)觀測(cè)者的感官的鑒別能力、技術(shù)熟練程度和勞動(dòng)態(tài)度等。表現(xiàn)在對(duì)中，整平，瞄準(zhǔn)，讀數(shù)各環(huán)節(jié)。態(tài)度等。表現(xiàn)在對(duì)中，整平，瞄準(zhǔn)，讀數(shù)各環(huán)節(jié)。3.3.外界環(huán)境外界環(huán)境的影響的影響 主要指觀測(cè)環(huán)境中溫度、濕度、氣壓、風(fēng)力、大氣主要指觀測(cè)環(huán)境中溫度、濕度、氣壓、風(fēng)力、大氣折光、煙霧等。折光、煙霧等。v等精度觀測(cè)等精度觀測(cè) : : 觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)。觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)。 v不等精度觀測(cè)不等精度觀測(cè): : 觀測(cè)條件不同的各次觀測(cè)。觀測(cè)條件不同的各次觀測(cè)。 可見，觀測(cè)條件不可能完全理想，測(cè)量誤差的產(chǎn)生可見，觀測(cè)條件不可能完全理想，測(cè)量誤差的

4、產(chǎn)生不可避免。但是，在測(cè)量工作實(shí)踐中，可以采取一不可避免。但是，在測(cè)量工作實(shí)踐中，可以采取一定的措施和方法來改善乃至控制觀測(cè)條件，從而能定的措施和方法來改善乃至控制觀測(cè)條件，從而能夠控制測(cè)量誤差。夠控制測(cè)量誤差。二、測(cè)量誤差的分類及減少誤差的措施二、測(cè)量誤差的分類及減少誤差的措施 1、系統(tǒng)誤差、系統(tǒng)誤差在相同的觀測(cè)條件下，誤差的符在相同的觀測(cè)條件下，誤差的符號(hào)和數(shù)值相同或按一定的規(guī)律變化。號(hào)和數(shù)值相同或按一定的規(guī)律變化。v產(chǎn)生原因產(chǎn)生原因: :儀器、觀測(cè)者、外界環(huán)境。儀器、觀測(cè)者、外界環(huán)境。v特征特征: : 規(guī)律性、累積性。規(guī)律性、累積性。v措施措施: : 找出規(guī)律，加以消除或減少。找出規(guī)律，

5、加以消除或減少。2、偶然誤差、偶然誤差在在相同相同的觀測(cè)條件下，誤差出現(xiàn)的觀測(cè)條件下，誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小的符號(hào)和數(shù)值大小都不相同都不相同，從表面看沒有任何規(guī)，從表面看沒有任何規(guī)律性，但律性，但大量大量的誤差有的誤差有“統(tǒng)計(jì)規(guī)律統(tǒng)計(jì)規(guī)律”。 偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性：偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性： 對(duì)對(duì)358358個(gè)三角形在相同的觀測(cè)條件下觀測(cè)了個(gè)三角形在相同的觀測(cè)條件下觀測(cè)了全部?jī)?nèi)角，三角形內(nèi)角和的誤差全部?jī)?nèi)角，三角形內(nèi)角和的誤差 i i=(=(測(cè)量測(cè)量值值-180-180), ), 其結(jié)果如下表所示，分析三角其結(jié)果如下表所示，分析三角形內(nèi)角和的誤差形內(nèi)角和的誤差 i i的規(guī)律。的規(guī)律。7 誤差區(qū)間誤差

6、區(qū)間 負(fù)誤差負(fù)誤差 正誤差正誤差 誤差絕對(duì)值誤差絕對(duì)值dd K K/n K K/n K K/n K K/n K K/n K K/n 0303 45 450.1260.126 46 46 0.128 91 0.254 0.128 91 0.254 36 36 40 400.1120.112 41 0.115 81 0.226 41 0.115 81 0.226 69 33 69 330.0920.092 33 0.092 66 0.184 33 0.092 66 0.184 912 23 912 230.064 21 0.0590.064 21 0.05944440.123 0.123 1215

7、 121517170.0470.047 16 0.045 16 0.04533330.092 0.092 1518 151813130.0360.036 13 13 0.036 0.03626260.073 0.073 1821 1821 6 60.017 5 0.014 0.017 5 0.014 11110.031 0.031 2124 4 2124 40.011 20.011 2 0.006 0.0066 60.017 0.017 24 24以上以上 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 181181 0.505 0.505 177177 0.495 0.495 358358

8、1.000 1.000 偶然誤差的統(tǒng)計(jì)偶然誤差的統(tǒng)計(jì) 8 -24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X= k/d 偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性: :（1 1）有界性）有界性: :在有限次觀測(cè)中，偶然誤差應(yīng)小于限值；在有限次觀測(cè)中，偶然誤差應(yīng)小于限值；（2 2）密集性）密集性: :誤差小的出現(xiàn)的概率大；誤差小的出現(xiàn)的概率大； （3 3）對(duì)稱性）對(duì)稱性: :絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差概率相等；絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差概率相等； （4 4）抵償性）抵償性: :當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增大時(shí)，偶然誤差的平均當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增大時(shí)，偶然誤差的平均數(shù)趨近于零

9、。數(shù)趨近于零。 lim0nn3.粗差粗差v由于各種原因造成的由于各種原因造成的大于限差大于限差的誤差。的誤差。v粗差可以避免。粗差可以避免。v措施：多余觀測(cè)，根據(jù)其差值與限差比較，或重措施：多余觀測(cè)，根據(jù)其差值與限差比較，或重測(cè)或分配。測(cè)或分配。 總結(jié)：總結(jié)：測(cè)量成果中會(huì)不可避免地含有誤差。但測(cè)測(cè)量成果中會(huì)不可避免地含有誤差。但測(cè)量成果只有符合規(guī)范規(guī)定的量成果只有符合規(guī)范規(guī)定的限差限差要求時(shí)，才要求時(shí)，才算合格，否則應(yīng)重測(cè)。算合格，否則應(yīng)重測(cè)。5.2 評(píng)定精度的指標(biāo)評(píng)定精度的指標(biāo)v精度精度: :指誤差分布的離散程度。指誤差分布的離散程度。v評(píng)定精度的指標(biāo)：評(píng)定精度的指標(biāo)：中誤差中誤差、相對(duì)誤差

10、相對(duì)誤差、極限誤差極限誤差。一、中誤差一、中誤差 1.1.定義定義: :若被觀測(cè)對(duì)象的真值已知為若被觀測(cè)對(duì)象的真值已知為X X，真誤差為，真誤差為，標(biāo)準(zhǔn)差（概率統(tǒng)計(jì)）在測(cè)繪中稱為中誤差，常用標(biāo)準(zhǔn)差（概率統(tǒng)計(jì)）在測(cè)繪中稱為中誤差，常用m m表示。表示。 2lim(1,2, )iininn 在測(cè)量專業(yè)中在測(cè)量專業(yè)中, ,標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差指在一定觀測(cè)條件下，當(dāng)指在一定觀測(cè)條件下，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)觀測(cè)次數(shù)n n無限增加時(shí)，觀測(cè)量的真誤差的平方和無限增加時(shí)，觀測(cè)量的真誤差的平方和的平均數(shù)的平方根的極限，表示為：的平均數(shù)的平方根的極限，表示為：v通常，觀測(cè)次數(shù)通常，觀測(cè)次數(shù)n n總是有限的，只能求得標(biāo)準(zhǔn)差的總是有限

11、的，只能求得標(biāo)準(zhǔn)差的“估值估值”，記作，記作m m，稱為，稱為“中誤差中誤差”。其值可用下。其值可用下式計(jì)算式計(jì)算: :v由定義可知，中誤差由定義可知，中誤差m m不等于每個(gè)測(cè)量值的真誤差，不等于每個(gè)測(cè)量值的真誤差，它只是反映這組它只是反映這組真誤差群體分布的離散程度真誤差群體分布的離散程度大小的大小的數(shù)字指標(biāo)。數(shù)字指標(biāo)。iimn 2.用改正數(shù)計(jì)算中誤差用改正數(shù)計(jì)算中誤差v在大多數(shù)情況下，真值無法知道。在大多數(shù)情況下，真值無法知道。v在實(shí)際工作中，觀測(cè)次數(shù)總是有限的，算術(shù)平均值在實(shí)際工作中，觀測(cè)次數(shù)總是有限的，算術(shù)平均值x x作為未作為未知量的估值，稱為未知量的知量的估值，稱為未知量的“最或然

12、值最或然值( (或稱最可靠值或稱最可靠值)”)”，它比任何觀測(cè)值都接近真值。它比任何觀測(cè)值都接近真值。v改正數(shù)改正數(shù)v v：觀測(cè)值觀測(cè)值L Li i與最或然值與最或然值x x之差。之差。 Vi = x-Li 1vvmn 12nLLLxn15 中誤差計(jì)算方法小結(jié)中誤差計(jì)算方法小結(jié)v已知真值已知真值X X，則真誤，則真誤差：差： 中誤差：中誤差： v若真值不知，則改正數(shù)：若真值不知，則改正數(shù)： 中誤差：中誤差： iiLX nm ilxnvxLi1nvvm二、相對(duì)誤差二、相對(duì)誤差 觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值之比，稱為觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值之比，稱為“相對(duì)誤差相對(duì)誤差”。三、極限誤差（限差）三、極限誤差（

13、限差）偶然誤差的絕對(duì)值大于偶然誤差的絕對(duì)值大于2 2倍中誤差的占倍中誤差的占5%5%，而大于，而大于3 3倍的約占倍的約占0.3%0.3%，所以常取，所以常取2 2倍中誤差為極限誤差。倍中誤差為極限誤差。2m容mKL17 5.3 誤差傳播定律誤差傳播定律 已知：mx1，mx2 ， - ，mxn 求：my=? 由觀測(cè)值的中誤差推算函數(shù)值的中誤差，稱為由觀測(cè)值的中誤差推算函數(shù)值的中誤差，稱為誤差誤差傳播定律傳播定律。 12( ,.)yf x x設(shè)有函數(shù)式：一、觀測(cè)值的函數(shù)一、觀測(cè)值的函數(shù)1 1、和差函數(shù)、和差函數(shù)2 2、倍數(shù)函數(shù)、倍數(shù)函數(shù)3 3、線性函數(shù)、線性函數(shù)4 4、一般函數(shù)（非線性）、一般函

14、數(shù)（非線性）12nzxxxzkx1 122.nnzk xk xk x12(,.)nyfxxx二、函數(shù)的中誤差二、函數(shù)的中誤差1、和差函數(shù)、和差函數(shù) z= z= x xy yv結(jié)論結(jié)論：和差函數(shù)中誤差等于兩獨(dú)立觀測(cè)值中誤差平：和差函數(shù)中誤差等于兩獨(dú)立觀測(cè)值中誤差平方和的平方根。方和的平方根。11122222222./2/,znnnzxyzxyxyzxyzxynnnnmmmmmm 平方求和再除以n 得：z zx xy yx y2、倍數(shù)函數(shù)、倍數(shù)函數(shù) z=z=kxkxv結(jié)論結(jié)論：倍數(shù)函數(shù)中誤差等于觀測(cè)值中誤差的：倍數(shù)函數(shù)中誤差等于觀測(cè)值中誤差的k倍。倍。11222222./,znnzxzxkxzkx

15、zkxnknmk mmkm 平 方 求 和 再 除 以 n 得 ：zzxx3、線性函數(shù)、線性函數(shù) z=kz=k1 1x x1 1k k2 2x x2 2. knxnv根據(jù)根據(jù)和差函數(shù)及倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)及倍數(shù)函數(shù)的中誤差公式的中誤差公式, ,可得一般可得一般函數(shù)中誤差的公式為函數(shù)中誤差的公式為: :4、非線性函數(shù)、非線性函數(shù)v非線性函數(shù)的真誤差關(guān)系式可用全微分式近似表示非線性函數(shù)的真誤差關(guān)系式可用全微分式近似表示：22222221122.znnmk mk mk m22222221122(/)(/). (/)znnmfxmfxmfxm 12(,.)nzfxxx22 v中誤差公式：中誤差公式： v計(jì)

16、算步驟：計(jì)算步驟： l寫出函數(shù)式；寫出函數(shù)式； l寫出全微分式寫出全微分式 ；l計(jì)算中誤差計(jì)算中誤差 。2222222121.nnymfmfmfm23 三、誤差傳播定律應(yīng)用舉例三、誤差傳播定律應(yīng)用舉例 1、觀測(cè)值：斜距、觀測(cè)值：斜距S和豎直角和豎直角a 待定值：水平距離待定值：水平距離D 22222221cos2cos3cossinsin(206265)DSaDSadDa dsmmSa daSa ma（）（ ）（ ）24 2、用三角形閉合差求測(cè)角中誤差、用三角形閉合差求測(cè)角中誤差(菲列羅公式菲列羅公式) 244.37.05m 秒ABC223mm3mm34.0/mm秒5.4 算術(shù)平均值及觀測(cè)值的

17、中誤差算術(shù)平均值及觀測(cè)值的中誤差 1niiLLxn一、算術(shù)平均值一、算術(shù)平均值v在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某未知量進(jìn)行了在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某未知量進(jìn)行了n n次觀次觀測(cè)，將各觀測(cè)值取測(cè)，將各觀測(cè)值取算術(shù)平均值算術(shù)平均值，作為該量的最，作為該量的最可靠的數(shù)值。可靠的數(shù)值。證明（證明（x x是最或然值）是最或然值） 0limLXnnnn跟據(jù)偶然誤差的特性4LxXnv 1=L1-Xv 2=L2-X v i=Li-Xv 1 +2 +i = (L1+L2+Li)-nXv =L-nX27 二、由改正數(shù)計(jì)算中誤差二、由改正數(shù)計(jì)算中誤差v若被觀測(cè)對(duì)象的真值不知，則取平均數(shù)為最若被觀測(cè)對(duì)象的真值不知，則取平均數(shù)

18、為最優(yōu)解優(yōu)解X X。 v改正數(shù)改正數(shù): : v中誤差可按下式計(jì)算中誤差可按下式計(jì)算( (白塞爾公式白塞爾公式) ) iivxL112nvmnii28 三、算術(shù)平均值的中誤差三、算術(shù)平均值的中誤差 已已 知知 ：m m1 1=m=m2 2=m mn n=m =m 求：求：m mx x 。12nLLLxn22222212111()()()1xnmmmmnnnmn 5.5 廣義算術(shù)平均值及權(quán)廣義算術(shù)平均值及權(quán)一.廣義算術(shù)平均值 對(duì)于不等精度觀測(cè)值，常用對(duì)于不等精度觀測(cè)值，常用帶權(quán)平均值帶權(quán)平均值（廣義算術(shù)平均值廣義算術(shù)平均值）, ,表示最或然值。表示最或然值。112212nnnp Lp Lp Lxppp二.權(quán)的計(jì)算方法22iipm1.距離測(cè)量時(shí)，權(quán)的確定方法 同精度丈量時(shí)，邊長(zhǎng)的權(quán)與邊長(zhǎng)成反比