高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第九節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用課件 文

1、第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用總綱目錄教材研讀1.幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型考點(diǎn)突破2.三種增長(zhǎng)型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)3.解函數(shù)應(yīng)用題的步驟（四步八字）考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型考點(diǎn)一二次函數(shù)模型考點(diǎn)三函數(shù)y=ax+的模型充要條件的應(yīng)用bx考點(diǎn)四分段函數(shù)1.幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型教材研讀教材研讀函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a、b為常數(shù),且a0)反比例函數(shù)模型f(x)=(k為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),b0,a0且a1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常

2、數(shù),b0,a0且a1)冪函數(shù)模型f(x)=axn+b(a,b為常數(shù),且a0)kx抽象函數(shù)的性質(zhì)特殊函數(shù)模型f(x+y)=f(x)+f(y)(x0,y0);f(x-y)=f(x)-f(y)(x0,y0)正比例函數(shù)f(x)=kx(k0)f(x)f(y)=f(x+y)(x,yR); =f(x-y)(x,yR, f(y)0)指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a0,且a1)f(xy)=f(x)+f(y)(x0,y0);f=f(x)-f(y)(x0,y0)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=logax(a0,且a1)f(xy)=f(x)f(y)(x,yR);f=(x,yR,y0)冪函數(shù)f(x)=xn( )( )f xf yxyxy(

3、 )( )f xf y常見(jiàn)抽象函數(shù)的性質(zhì)與對(duì)應(yīng)的特殊函數(shù)模型的對(duì)照表常見(jiàn)抽象函數(shù)的性質(zhì)與對(duì)應(yīng)的特殊函數(shù)模型的對(duì)照表2.三種增長(zhǎng)型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)三種增長(zhǎng)型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y=ax(a1)y=logax(a1)y=x(0)在(0,+)上的增減性 增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越快越來(lái)越慢越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x增大逐漸表現(xiàn)為與 y軸軸平行隨x增大逐漸表現(xiàn)為與x軸軸平行隨值變化而不同值的比較存在一個(gè)x0,當(dāng)xx0時(shí),有l(wèi)ogaxxax3.解函數(shù)應(yīng)用題的步驟解函數(shù)應(yīng)用題的步驟(四步八字四步八字)(1)審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,初步選

4、擇數(shù)學(xué)模型;(2)建模:將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言,利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;(3)求模:求解數(shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論;(4)還原:將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的意義.以上過(guò)程用框圖表示如下:1.下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù):與這組數(shù)據(jù)最吻合的函數(shù)模型是()A.一次函數(shù)模型 B.冪函數(shù)模型C.指數(shù)函數(shù)模型 D.對(duì)數(shù)函數(shù)模型x45678910y15171921232527答案答案 A根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知,自變量每增加1,函數(shù)值增加2,因此函數(shù)值的增量是均勻的,故為一次函數(shù)模型.A2.小明騎車(chē)上學(xué),開(kāi)始時(shí)勻速行駛,途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間,后為了趕時(shí)間

5、加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖象是() C答案答案 C小明勻速行駛時(shí),圖象為一條直線,且距離學(xué)校越來(lái)越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段時(shí)間,與學(xué)校的距離不變,故排除D.后來(lái)為了趕時(shí)間加快速度行駛,故排除B.故選C.3.某種細(xì)菌在培養(yǎng)過(guò)程中,每15分鐘分裂一次(由一個(gè)分裂成兩個(gè)),這種細(xì)菌由1個(gè)繁殖成4 096個(gè)需經(jīng)過(guò)()A.12小時(shí) B.4小時(shí) C.3小時(shí) D.2小時(shí)答案答案 C設(shè)需經(jīng)過(guò)t小時(shí),由題意知24t=4 096,即16t=4 096,解得t=3.C4.某公司為了發(fā)展業(yè)務(wù)制定了一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案,在銷(xiāo)售額x為8萬(wàn)元時(shí),獎(jiǎng)勵(lì)1萬(wàn)元.銷(xiāo)售額x為64萬(wàn)元時(shí),獎(jiǎng)勵(lì)4萬(wàn)元.若公

6、司擬定的獎(jiǎng)勵(lì)模型為y=alog4x+b.某業(yè)務(wù)員要得到8萬(wàn)元獎(jiǎng)勵(lì),則他的銷(xiāo)售額應(yīng)為 萬(wàn)元.1024答案答案1 024解析解析依題意得即解得所以y=2log4x-2.當(dāng)y=8時(shí),2log4x-2=8,解得x=1 024(萬(wàn)元).44log 81,log 644,abab31,234,abab2,2.ab 5.據(jù)調(diào)查,某自行車(chē)存車(chē)處在某星期日的存車(chē)量為4 000輛次,其中變速車(chē)存車(chē)費(fèi)是每輛一次0.3元,普通車(chē)存車(chē)費(fèi)是每輛一次0.2元.若普通車(chē)存車(chē)量為x輛次,存車(chē)費(fèi)總收入為y元,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為 .y=-0.1x+1200,x0,4000答案答案 y=-0.1x+1 200,x0,4 000

7、解析解析由題意知,y=0.2x+0.3(4 000-x)=-0.1x+1 200,其中x0,4 000.6.用長(zhǎng)度為24的材料圍一矩形場(chǎng)地,且中間有兩道隔墻(如圖),要使矩形的面積最大,則隔墻的長(zhǎng)度為 . 3答案答案3解析解析設(shè)隔墻的長(zhǎng)度為x,矩形的面積為S,則S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,當(dāng)x=3時(shí),S取最大值.典例典例1某自來(lái)水廠的蓄水池存有400噸水,水廠每小時(shí)可向蓄水池中注水60噸,同時(shí)蓄水池又向居民小區(qū)不間斷供水,t小時(shí)內(nèi)供水總量為120噸(0t24).(1)從供水開(kāi)始到第幾小時(shí)時(shí),蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少?lài)?(2)若蓄水池中水量少于80

8、噸時(shí),就會(huì)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象,則在一天的24小時(shí)內(nèi),有幾小時(shí)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象?6t考點(diǎn)一二次函數(shù)模型考點(diǎn)一二次函數(shù)模型考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破解析解析(1)設(shè)t小時(shí)后蓄水池中的水量為y噸,則y=400+60t-120,令=x,則x2=6t,6t6t即y=400+10 x2-120 x=10(x-6)2+40,所以當(dāng)x=6,即t=6時(shí),ymin=40,即從供水開(kāi)始到第6小時(shí)時(shí),蓄水池中的存水量最少,只有40噸.(2)由(1)及題意有400+10 x2-120 x80,得x2-12x+320,解得4x8,即48,t200,則lg130(1+12%)n-1lg 200,lg 130+(n-1)lg 1.12l

9、g 2+2,2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12lg 2+2,0.11+(n-1)0.050.30,解得n,又nN*,n5,該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是2019年.故選B.245規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)一般地,涉及增長(zhǎng)率問(wèn)題、存蓄利息問(wèn)題、細(xì)胞分裂問(wèn)題等,都可以考慮用指數(shù)函數(shù)的模型求解.求解時(shí)注意指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化,指數(shù)函數(shù)的值域的影響以及實(shí)際問(wèn)題中的條件限制.2-1一種放射性元素的質(zhì)量按每年10%衰減,這種放射性元素的半衰期(剩余質(zhì)量為最初質(zhì)量的一半所需的時(shí)間叫做半衰期)是(精確到0.1,已知lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)()A.5.2 B.6.6

10、 C.7.1 D.8.3答案答案 B設(shè)這種放射性元素的半衰期是x年,則(1-10%)x=,化簡(jiǎn)得0.9x=,即x=log0.9=6.6(年).故選B.1212121lg2lg0.9lg22lg3 10.301 02 0.477 1 1B考點(diǎn)三考點(diǎn)三函數(shù)函數(shù)y=ax+的模型的模型bx典例典例3為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系C(x)=(0 x10),若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元,設(shè)f(x)為隔熱層建

11、造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式;(2)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小?并求最小值.35kx解析解析(1)由已知條件得C(0)=8,則k=40,因此f(x)=6x+20C(x)=6x+(0 x10).(2)f(x)=6x+10+-102-10=70,當(dāng)且僅當(dāng)6x+10=,即x=5時(shí),等號(hào)成立.所以當(dāng)隔熱層厚度為5 cm時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小,最小值為70萬(wàn)元.80035x80035x800(610)35xx80035x規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)應(yīng)用函數(shù)y=ax+模型的關(guān)鍵點(diǎn)(1)明確對(duì)勾函數(shù)是正比例函數(shù)f(x)=ax與反比例函數(shù)f(x)=疊加而成的.(2)

12、解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)一般可以直接建立f(x)=ax+的模型,有時(shí)可以將所列函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為f(x)=ax+的形式.(3)利用模型f(x)=ax+求解最值時(shí),要注意自變量的取值范圍,及取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件.bxbxbxbxbx3-1某養(yǎng)殖場(chǎng)需定期購(gòu)買(mǎi)飼料,已知該場(chǎng)每天需要飼料200千克,每千克飼料的價(jià)格為1.8元,飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用平均每千克每天0.03元,購(gòu)買(mǎi)飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元.求該場(chǎng)多少天購(gòu)買(mǎi)一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少.解析解析設(shè)該場(chǎng)x(xN*)天購(gòu)買(mǎi)一次飼料,平均每天支付的總費(fèi)用為y元.因?yàn)轱暳系谋９苜M(fèi)與其他費(fèi)用每天比前一天少2000.03=6(元),所以x天飼料的保管

13、費(fèi)與其他費(fèi)用共是6(x-1)+6(x-2)+6=(3x2-3x)元.從而有y=(3x2-3x+300)+2001.8=+3x+357417,當(dāng)且僅當(dāng)=3x,即x=10時(shí),y有最小值.故該場(chǎng)10天購(gòu)買(mǎi)一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少.1x300 x300 x典例典例4國(guó)慶期間,某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游,若每團(tuán)人數(shù)在30或30以下,飛機(jī)票每張收費(fèi)900元;若每團(tuán)人數(shù)多于30,則給予優(yōu)惠:每多1人,機(jī)票每張減少10元,直到達(dá)到規(guī)定的75人為止.每團(tuán)乘飛機(jī),旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15 000元.(1)寫(xiě)出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;(2)每團(tuán)人數(shù)為多少時(shí),旅行社可獲得最大利潤(rùn)?考點(diǎn)四分

14、段函數(shù)考點(diǎn)四分段函數(shù)解析解析(1)設(shè)旅行團(tuán)人數(shù)為x,由題得0 x75(xN*),飛機(jī)票的價(jià)格為y元,則y=(xN*),即y=(xN*).(2)設(shè)旅行社獲利S元,則S=(xN*),即S=(xN*).900,030,900 10(30),3075xxx900,030,1 200 10 ,3075xxx90015 000,030,(1 200 10 ) 15 000,3075xxxxx290015 000,030,10(60)21 000,3075xxxx因?yàn)镾=900 x-15 000在區(qū)間(0,30上為單調(diào)增函數(shù),故當(dāng)x=30時(shí),S取最大值12 000,又S=-10(x-60)2+21 000的

15、定義域?yàn)?30,75,當(dāng)x=60時(shí),S取得最大值21 000.故當(dāng)x=60時(shí),旅行社可獲得最大利潤(rùn).規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)1.在很多實(shí)際問(wèn)題中,變量間的關(guān)系不能用一個(gè)關(guān)系式表示,這時(shí)就需要構(gòu)建分段函數(shù)模型,如出租車(chē)的收費(fèi)與路程的關(guān)系.2.求函數(shù)的最值常利用基本不等式、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性等.在求分段函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)先求每一段上的最值,然后比較得最大值或最小值.4-1 (2018山東濟(jì)南質(zhì)檢)提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車(chē)流速度v(單位:千米/小時(shí))是車(chē)流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),造成交通堵塞,此時(shí)車(chē)流速度為0千米

16、/小時(shí);當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí),車(chē)流速度為60千米/小時(shí),研究表明:當(dāng)20 x200時(shí),車(chē)流速度v是車(chē)流密度x的一次函數(shù).(1)當(dāng)0 x200時(shí),求函數(shù)v(x)的表達(dá)式;(2)當(dāng)車(chē)流密度x為多大時(shí),車(chē)流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù),單位:輛/小時(shí))f(x)=xv(x)可以達(dá)到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時(shí))解析解析(1)由題意可知當(dāng)0 x20時(shí),v(x)=60;當(dāng)20 x200時(shí),設(shè)v(x)=ax+b(a0),顯然v(x)=ax+b在20,200上是減函數(shù),由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)=(2)依題意及(1)可得2000,2060,abab1,3200,3ab 60,020,1(200),20200.3xxxf(x)=當(dāng)0 x20時(shí), f(x)為