高中數(shù)學(xué)立體幾何中的最值問題專題輔導(dǎo)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學(xué)立體幾何中的最值問題海紅樓立體幾何主要研究空間中點、線、面之間的位置關(guān)系，與空間圖形有關(guān)的線段、角、體積等最值問題常常在試題中出現(xiàn)。下面舉例說明解決這類問題的常用方法。一、運用變量的相對性求最值例1. 在正四棱錐S-ABCD中，SO平面ABCD于O，SO=2，底面邊長為，點P、Q分別在線段BD、SC上移動，則P、Q兩點的最短距離為（ ）A. B. C. 2D. 1解析：如圖1，由于點P、Q分別在線段BD、SC上移動，先讓點P在BD上固定，Q在SC上移動，當(dāng)OQ最小時，PQ最小。過O作OQSC，在RtSOC中，中。又P在BD上運動，且當(dāng)P運動到點O時，PQ最小，

2、等于OQ的長為，也就是異面直線BD和SC的公垂線段的長。故選B。圖1二、定性分析法求最值例2. 已知平面/平面，AB和CD是夾在平面、之間的兩條線段。ABCD，AB=3，直線AB與平面成30°角，則線段CD的長的最小值為_。解析：如圖2，過點B作平面的垂線，垂足為O，連結(jié)AO，則BAO=30°。過B作BE/CD交平面于E，則BE=CD。連結(jié)AE，因為ABCD，故ABBE。則在RtABE中，BE=AB·tanBAEAB·tanBAO=3·tan30°=。故。圖2三、展成平面求最值例3. 如圖3-1，四面體A-BCD的各面都是銳角三角形，

3、且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面分別截棱AB、BC、CD、DA于點P、Q、R、S，則四邊形PQRS的周長的最小值是（ ）A. 2aB. 2bC. 2cD. a+b+c圖3-1解析：如圖3-2，將四面體的側(cè)面展開成平面圖形。由于四面體各側(cè)面均為銳角三角形，且AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A與A、D與D在四面體中是同一點，且，A、C、A共線，D、B、D共線，。又四邊形PQRS在展開圖中變?yōu)檎劬€SPQRS，S與S在四面體中是同一點。因而當(dāng)P、Q、R在SS上時，最小，也就是四邊形PQRS周長最小。又，所以最小值。故選B。圖3-2四、利用向量求最值例4. 在棱長為1的正方體ABCD-EFGH中，P是AF上的動點，則GP+PB的最小值為_。解析：以A為坐標(biāo)原點，分別以AB、AD、AE所在直線為x，y，z軸，建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（1，0，0），G（1，1，1）。根據(jù)題意設(shè)P（x，0，x），則，那么圖4式子可以看成x軸正半