2020年高考數(shù)學(xué)專題六第3講

1、第 3 講不等式高考定位 1利用不等式性質(zhì)比較大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題是高考的熱點，主要以選擇題、填空題為主；2.在解答題中，特別是在解析幾何中求最值、范圍問題或在解決導(dǎo)數(shù)問題時常利用不等式進(jìn)行求解， 難度較大.XfiKfi考點整合I:用考向扣要點艷止真題感悟2x+3y3w0,1. （2017 全國U卷）設(shè) x, y 滿足約束條件 2x 3y+ 30,y+ 3 0,是（）A. 15B. 9C.1解析 可行域如圖陰影部分所示，當(dāng)直線 y= 2x+ z 經(jīng)過點 A（ 6， 3）時，所求最小值為15.答案 A12. （2018 天津卷）已知 a，b R，且 a 3b +

2、 6 = 0,則 2a+ gb的最小值為_.b1/ 1a 3b解析 由題設(shè)知 a 3b= 6,又 2a0,8b0,所以 2a+ gb2、2agb= 2 2 =11 1 14，當(dāng)且僅當(dāng) 2agb，即卩 a= 3, b= 1 時取等號.故 2a+ gb的最小值為4答案 1x 2y 20,則 z= 3x+ 2y 的最大值為yw0,則 z=2x+ y 的最小值D.9答案 6x+ 1, x1 的 x 的取值2 , x0,范圍是_.1 1解析 當(dāng) x1，解得41，該式恒成立，1 11當(dāng) x2 時，f(x)+ f x 2 = 2x+ 公2,111又 x1 時，2x+ 2x222+ 2= 1+ ,;21 恒成

3、立，1綜上可知，不等式的解集為4，+.1答案 一 4，+考點整合1.不等式的解法(1)一元二次不等式的解法.一元二次不等式 a 點 + bx+ c0(或0)，如果 a 與 ax2+ bx+ c同號，則其解集在兩根之外；如果 a 與 ax2+ bx+ c 異號，則其解集在兩根之間.(2)簡單分式不等式的解法.J (x)廠0(w0)f(x)g(x)0(w0)且 g(x)工 0.(3) 指數(shù)不等式、對數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解 2幾個不等式(1)a2+ b2 2ab(取等號的條件是當(dāng)且僅當(dāng) a= b).a+ b2abw (a,bR).2Taab0+0，b0).(4) 2(a2+

4、 b2)(a+ b)2(a, b R，當(dāng) a= b 時等號成立).3. 利用基本不等式求最值(1)如果 x0, y0, xy= p(定值)，當(dāng) x= y 時，x+y 有最小值 2 p(簡記為：積定， 和有最小值)12如果 x0, y0, x+ y= s(定值)，當(dāng) x= y 時，xy 有最大值 4s2(簡記為：和定，積 有最大值).4. 簡單的線性規(guī)劃問題解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時可行域上的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點問題要驗證解決.熱點聚焦廿類突貼硏Mi點費易汰熱點一不等式的解法4【例 1】(1)不等式

5、 xrrwx-2 的解集是()o(0(0,x3,x0 時，不等式化為(x 2)24,Ax4.當(dāng) x 20 時，原不等式化為(x 2)2 4,A0 x 0,x0,由得 0Wx9;由得一 1 x0.故使得 f(x) 1 成立的 xlg(x+ 1) 1 x30(a0),再結(jié)合相應(yīng)二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集.2.(1)對于和函數(shù)有關(guān)的不等式，可先利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.(2)含參數(shù)的不等式的求解，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論.【訓(xùn)練 1】(1)(2018 衡陽一模)已知一元二次不等式 f(x)w0 的解集為1x x 3，則 f(ex)0 的解集為()A. x|xln 3B. x|ln

6、 2xln 3C. x|xln 3D. x| ln 2x0的解集為()A.x|x2 或 x 2B.x| 2x2C.x|x4D.x|0 x0 的解集為 x 2x0，所以 2ex3，解得-ln 2x0.f(2 x)0 即 ax(x 4)0,解得 x4.答案(1)D(2)C熱點二基本不等式及其應(yīng)用【例 2】(1)若直線x+y= 1(a0, b0)過點(1, 2),則 2a+ b 的最小值為_a b如圖所示，一張正方形的黑色硬紙板，剪去兩個一樣的小矩形得到一個“ E形1的圖形，設(shè)小矩形的長、寬分別為 a, b(2a0, b0)過點(1, 2),12口-a+ b= 1(a0,且 b0),1 2則 2a

7、+ b= (2a + b)：+bb 4a 小 b 4a二4+a+亍4+2立&當(dāng)且僅當(dāng) b = 4,即 a = 2, b = 4 時上式等號成立.因此 2a+ b 的最小值為 8.41_ _ _ _ 9+ = + = 1 +b+ 1a+ 9 4+ a a+ 9a+ 945_a+4=1+36三1+a+4a+ + 1313 +=6當(dāng)且僅當(dāng)a=36即a=6時計9+亠取得最大值a+ 965.答案(1)8 (2)C5探究提高 1利用基本不等式求最值，要注意 拆、拼、湊”等變形，變形的原則 是在已知條件下通過變形湊出基本不等式應(yīng)用的條件，即 和”或 積”為定值，等 號能夠取得.2.特別注意：(1)應(yīng)用基本不

8、等式求最值時，若遇等號取不到的情況，則應(yīng)結(jié)合函 數(shù)的單調(diào)性求解.(2)若兩次連用基本不等式，要注意等號的取得條件的一致性，否則會出錯.a4+ 4 b4+ 1【訓(xùn)練 2】(1)若 a, b R, ab0,則ab 的最小值為_ 1 1 2(2018 北京海淀區(qū)調(diào)研)當(dāng) 0mk3 4-2k 恒成立，則實數(shù) k2 m 1 2m的取值范圍為()8要使原不等式恒成立，只需 k2-2k8,- 2 k0,a4+ 4b4+ 1 4a2b2+ 1 ab ab 4ab+ 存24abi=4,當(dāng)且僅當(dāng)a2=2b2,丄即4ab=2曇a = 2，.22b二 4時取得等號.氣燈的最小值是4.1 1且 0m2又 m(1 - 2

9、m)= 2m(1 - 2m) 0,【例 31】(2017 全國川卷)若 x, y 滿足約束條件 x + y 2 0,的最小值為_.解析 畫出可行域如圖陰影部分所示.由 z= 3x 4y,得 y=3x 4,3作出直線 y= gx,平移使之經(jīng)過可行域，觀察可知，當(dāng)直線經(jīng)過點A(1, 1)處取最小值，故 Zmin= 3X1 4X1 = 1.JI 和一:i滬|戀Jk - =11(J1答案 1探究提高 1.線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，需要注意的是：一、準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二、畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線 的斜率進(jìn)行比較，避免出錯2.般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會在可行

10、域的頂點或邊界上取得x+ 2y 5 0,【訓(xùn)練 3】(2018 全國U卷)若 x, y 滿足約束條件 x 2y+ 30,則 z= x+ y 的x 5 0,最大值為_ .解析 畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影 部分所示作出直線 x+y= 0,平移該直線，當(dāng)直線過點 B(5, 4)時，z 取得最大值，zmax= 5+ 4= 9.答案 9考法 2 求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值【例 3 2】（2018 合肥質(zhì)檢）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，M（a, b）為不等式組x+y 2,b 12x 3y 0解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域（如圖陰影部分）則 M（a,b 16 在厶 AEF 內(nèi)（含邊界），易知

11、表示點 M 與點 B（4, 1）連線a 4x+y=2，的斜率，當(dāng)點 M 與點 A 重合時，kAB取最大值，又2x 3y= 9，解得 A（3， 1），b 11( 1)的最大值為 kAB= 2.a443答案 2考法 3 線性規(guī)劃中參數(shù)問題x y 2 4，目標(biāo)函數(shù) z= 2x 3y 的最大x 2y+ 3 0，值是 2,則實數(shù) a=()1AQB.1解析 作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示,【例 3 3】 已知 x，y 滿足約束條件3C.3D.4目標(biāo)函數(shù) z= 2x 3y 的最大值是 2,由圖象知 z= 2x 3y 經(jīng)過平面區(qū)域的 A 時目標(biāo)函數(shù)取得最大值 2.x y 一 2= 0,由解得A(

12、4, 2),同時 A(4, 2)也在直線 ax+ y4= 0 上，二 4a= 2,2x- 3y= 2， 1則 a=勺答案 A探究提高 1.非線性目標(biāo)函數(shù)的最值主要涉及斜率、 點與點（線）的距離，利用數(shù)形 結(jié)合，抓住幾何特征是求解的關(guān)鍵2 對于線性規(guī)劃中的參數(shù)問題，需注意：（1）當(dāng)最值是已知時，目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)往往與直線斜率有關(guān)，解題時應(yīng)充分利用斜率這一特征加以轉(zhuǎn)化（2） 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與最值都是已知， 且約束條件中含有參數(shù)時， 因為平面區(qū)域是變動 的，所以要抓住目標(biāo)函數(shù)及最值已知這一突破口，先確定最優(yōu)解，然后變動參數(shù) 范圍，使得這樣的最優(yōu)解在該區(qū)域內(nèi)x + y 1 0，【訓(xùn)練 4】（1）（2018

13、 西安聯(lián)考）已知 x，y 滿足約束條件 x 3y+ 3 0，則目標(biāo)函x2y K0，數(shù) z= /x2+ y2的最小值為（）2x y+ 2 0，（2018 濟(jì)南質(zhì)檢）若實數(shù) x,y 滿足 2x+ y60，且 z= mx y（m2）的最小值為0 y 3,；則 m 等于（）A.|C.1D. 2551一 一 一 一 |0+ 0 1| 二 zmin是點 0(0, 0)到直線 AB 的距離，易知 O 到 x+ y1 = 0 的距離 d=寸 12+ 12(2)作不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,5z= mx y(m 1,則 z= x+y 的最大值為（）y 0,A.0B.1C.2D.3解析 根據(jù)約束條件畫出可行域

14、，如圖中陰影部分（含邊q 1/V界）,則當(dāng)目標(biāo)函數(shù) z= x+ y 經(jīng)過 A（3, 0）時取得最大值，故L/ = JL+ =Zmax= 3+ 0= 3.答案 D1 一 x2.(2018 合肥模擬)設(shè)函數(shù) f(x)=，則使 f(a) + 1f(a+ 1)成立的 a 的取值范圍是I 十 x()A. (一 2)B. (1,+x)C. (x,2)U(1,+x)D. ( x,1)21 a a a + 3a + 42解析 f(a) + 1 f(a+ 1)+ 1 0.va2+ 3a+ 401 + aa + 2(a+ 1)( a + 2)對一切 a R 恒成立，原不等式等價于(a+ 1)(a+ 2)0，解得

15、a 1.故所求 a 的取值范圍是（一x2）U（1,+x）答案 Cx+ y 2,3.（2018 西安質(zhì)檢）若變量 x, y 滿足 2x 3y 0,解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示A.4B.9C.10 x2+ y2表示區(qū)域內(nèi)點到原點距離的平方.x+y=2,由得 A(3, 1).2x 3y= 9由圖形知，(x2+ y2)max= |0A|2= 32+ ( 1)2= 10.答案 C4.已知當(dāng) XV0時，2x2 mx+ 1 0 恒成立，則 m 的取值范圍為()A.2 2,+)B.( x,2.2C.( 2.2,+)D.( x, 2.2)aa取到最大值 6.又 A 2，a ,zmax=

16、+ a= 6,解析 由 2x2 mx+ 1 0,得 mxv2x2+ 1,2x2+ 11因為 xv0,所以 m =2x+ -.入入1又2x+x 二1當(dāng)且僅當(dāng)一 2x= x，即 x=所以 m 2 2.孑時取等號,答案 C5.（2018 長沙雅禮中學(xué)聯(lián)考）x, y 滿足約束條件ywa,x+y 1, 若 z = x+ y 的最大2x y 0,6.實數(shù) x, y 滿足使 z ax+ y 取得最大值的最優(yōu)解有 2個，則 zi ax|x+y|w1,+ y+1 的最小值為()A.0B.-2C.1D.-1解析 畫出不等式組所表示的可行域，如圖中陰影部分所示，因為 z ax+ y 取得最大值的最優(yōu)解有 2 個，所

17、以-a 1, a-1,所以當(dāng) x 1, y 0 或 x 0, y- 1 時，z ax+ y-x+y 有最小值1,所以 ax+ y+ 1 的最小值是 0.答案 A二、填空題2x+ y + 30,17. (2018 全國川卷)若變量 x, y 滿足約束條件 x-2y + 40,則 z x+ y 的最大x-20.+ ), f(x)XI 恒成立，貝 U a 的取值范圍是_ 解析 當(dāng)3 x0 時，f(x)W兇恒.2,H x2+ x成立等價轉(zhuǎn)化為x + 2x 2aWx 恒成立，即 a2 恒成立，所以 a_x2+ x11h max=1.綜上，a 的取值范圍是 1，1答案 1，2x+yW6,9.(2018 衡

18、水中學(xué)檢測)設(shè)滿足xyW2，的實數(shù) x, y 所在的平面區(qū)域為Q,則Qx 0,解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域Q如圖所示.則區(qū)域Q是四邊形 ABCO(含內(nèi)部及邊界).易知 BC丄 AB,則外接圓的圓心 為 AC 的中點， 又 A(0, 6),C(2, 0),則該四邊形外接圓圓心1y 0的外接圓方程是_答案 3為(1, 3)，半徑 r = Q|AC|= 10.故所求圓的方程為(x 1)2+ (y3)2= 10.答案(x 1)2+ (y 3)2= 10y 0,10. (2018 湖南長郡中學(xué)調(diào)研)已知實數(shù) x, y 滿足 x+y0,2x+ y+ 2 0,y 13則 z= log2x1 +3的取值范

19、圍是_解析作線性約束條件表示的可行域如圖所示 令 t=口表示可行域內(nèi)的點 P(x, y)與定點 M(1, 1)連線的斜率.x 11 0 1易求點 B(10),kMB= 丁不=1且x+y=0的斜率為1.11 y 13 1t，從而亍2,故一 1zk 的解集為x|xv 3,或 x 2，求 k 的值;對任意 x0, f(x) k kx2 2x+ 6kv0.由已知x|xv 3,或 x 2是其解集,得 kx2 2x+ 6k= 0 的兩根是3, 2.2 2由根與系數(shù)的關(guān)系可知(一 2)+ ( 3) = 即 k= 5.2x 226因為x 0, f(x) = 口=時 6, x+二當(dāng)且僅當(dāng) Xh6 時取等號.由已知 f（x）wt 對任意 x 0 恒成立,故 t6，即 t 的取值范圍是專，+X