矢量場的旋度

1、矢量場的旋度第1頁，共12頁。2 、有旋場、有旋場、無旋場無旋場（保守場）：（保守場）： 在某一矢量在某一矢量 的場中，矢的場中，矢量量 沿沿任意任意閉合路徑的線積閉合路徑的線積分，恒等于零，則該矢量場為分，恒等于零，則該矢量場為無旋場無旋場；反之，為；反之，為有旋場有旋場。AA二、旋度：二、旋度：1 、環(huán)流密度：、環(huán)流密度：v 在矢量場在矢量場 中來研究其中來研究其 M點的性點的性質，取包含此點的一個面元質，取包含此點的一個面元 ，其，其邊界為邊界為 C，保持面元，保持面元 的的 方向不方向不變，而變，而 以以任意方式任意方式趨近于零。則趨近于零。則ASSSneSldACS0lim環(huán)流密度環(huán)

2、流密度環(huán)量環(huán)量AA線線l dM環(huán)量面密度環(huán)量面密度第2頁，共12頁。v 討論：討論：neAAS 與與 的邊界的邊界 C 保持一致，保持一致，CldAmax取最大值取最大值l d AAl dM 與與 有一夾角有一夾角 ，則，則AneCldAmaxne A Cl dA0v 當當 ， 時，（有旋矢量場時，（有旋矢量場 與面元與面元 的的法向分量法向分量 垂直），垂直），環(huán)流密度有最大值環(huán)流密度有最大值，此即被稱為，此即被稱為 的的旋度旋度大??；大?。?的方向就稱為的方向就稱為 旋度的方向。旋度的方向。neAASneA與與 不在同一平面上不在同一平面上ASneAl d A第3頁，共12頁。2、旋度的定

3、義：、旋度的定義：矢量矢量 的旋度的旋度。記作。記作ArotA故故0limCnnSA dlrot ArotA eS即即SdArotldAC方向上的投影在面元矢量是 e Arot Arotnn任意方向的環(huán)流密度任意方向的環(huán)流密度Arotne第4頁，共12頁。 、旋度的物理意義、旋度的物理意義 旋度的計算旋度的計算 矢量的旋度為矢量的旋度為矢量矢量，是空間坐標的函數；，是空間坐標的函數； 矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的漩渦源密度漩渦源密度； 在直角坐標系下：在直角坐標系下：)()()(yAxAexAzAezAyAeArot xyzzxyyzxA

4、)()(zzyyxxzyxAeAeAezeyexe故故zyxzyxAAAzyxeeeAArot第5頁，共12頁。例：求矢量場例：求矢量場 在在點點 M（1，0，1）處的旋度及沿）處的旋度及沿)()()(xyzezxyeyzxeAzyxzyxeeel362方向的方向的環(huán)流密度環(huán)流密度。解：矢量場解：矢量場 的旋度的旋度A)()()(xyzzxyyzxzyxeeeAzyx)()()(xyezxeyzezyx在點在點 M（1，0，1）處的旋度）處的旋度zyxMeeeA2第6頁，共12頁。方向的單位矢量 l)362(3621222zyxleeellezyxeee737672在點 M（1，0，1）處沿

5、方向的環(huán)流密度7177327672lMeAl第7頁，共12頁。三、矢量場旋度的重要性質旋度的散度恒等于零。旋度的散度恒等于零。證明：證明：)()(AArotdiv)()()()(yAxAexAzAezAyAezeyexexyzzxyyzxzyx0)()()(yAxAzxAzAyzAyAxxyzxyz 旋度與散度的定義都與坐標系無關。旋度與散度的定義都與坐標系無關。0)(A 應用：應用：AB B 0若第8頁，共12頁。斯托克斯定理：斯托克斯定理：SCSdAldA證明：證明：將將 S 分成許多面元分成許多面元,21iSSS其相應面元的邊界為其相應面元的邊界為iCCC,21對每一個面元對每一個面元

6、，其邊界，其邊界 的環(huán)繞方向均取與大的環(huán)繞方向均取與大回路回路 C一致的環(huán)繞方向。一致的環(huán)繞方向。iSiC則：相鄰兩面元則：相鄰兩面元 、 的邊界的邊界 、 在在公共邊界上的積分等值異號，相互抵消。公共邊界上的積分等值異號，相互抵消。iSjSiCjCiCjC第9頁，共12頁。21CCCldAldAldA 又又11SdArotldAC22SdArotldAC故故21SdArotSdArotl dA CSCSdAl dA證畢證畢第10頁，共12頁。例例1.4 已知已知 。現有一個在?，F有一個在 面內的面內的閉合路徑閉合路徑C，此閉合路徑由，此閉合路徑由 和和 之間的一段拋物之間的一段拋物線線 和兩段平行于坐標軸的直線組成，如圖所示。和兩段平行于坐標軸的直線組成，如圖所示。 22,yxxyxyxe ee eA Ayx0 , 02, 2xy2求：（求：（1 1）矢量場的）矢量場的A A旋度；旋度； （2 2）計算環(huán)流）計算環(huán)流 。積分區(qū)域。積分區(qū)域為如圖所示的閉合路徑為如圖所示的閉合路徑C C； （3 3）驗證斯托克斯定理。）驗證斯托克斯定理。CldA A第11頁，共12頁。解 （1） 2220yyxxzyxzzyxe ee ee ee eA A（2） yyxxxyxyxxyxyxddddd2222e ee ee e