矢量場(chǎng)的旋度

1、矢量場(chǎng)的旋度第1頁，共12頁。2 、有旋場(chǎng)、有旋場(chǎng)、無旋場(chǎng)無旋場(chǎng)（保守場(chǎng)）：（保守場(chǎng)）： 在某一矢量在某一矢量 的場(chǎng)中，矢的場(chǎng)中，矢量量 沿沿任意任意閉合路徑的線積閉合路徑的線積分，恒等于零，則該矢量場(chǎng)為分，恒等于零，則該矢量場(chǎng)為無旋場(chǎng)無旋場(chǎng)；反之，為；反之，為有旋場(chǎng)有旋場(chǎng)。AA二、旋度：二、旋度：1 、環(huán)流密度：、環(huán)流密度：v 在矢量場(chǎng)在矢量場(chǎng) 中來研究其中來研究其 M點(diǎn)的性點(diǎn)的性質(zhì)，取包含此點(diǎn)的一個(gè)面元質(zhì)，取包含此點(diǎn)的一個(gè)面元 ，其，其邊界為邊界為 C，保持面元，保持面元 的的 方向不方向不變，而變，而 以以任意方式任意方式趨近于零。則趨近于零。則ASSSneSldACS0lim環(huán)流密度環(huán)

2、流密度環(huán)量環(huán)量AA線線l dM環(huán)量面密度環(huán)量面密度第2頁，共12頁。v 討論：討論：neAAS 與與 的邊界的邊界 C 保持一致，保持一致，CldAmax取最大值取最大值l d AAl dM 與與 有一夾角有一夾角 ，則，則AneCldAmaxne A Cl dA0v 當(dāng)當(dāng) ， 時(shí)，（有旋矢量場(chǎng)時(shí)，（有旋矢量場(chǎng) 與面元與面元 的的法向分量法向分量 垂直），垂直），環(huán)流密度有最大值環(huán)流密度有最大值，此即被稱為，此即被稱為 的的旋度旋度大?。淮笮?； 的方向就稱為的方向就稱為 旋度的方向。旋度的方向。neAASneA與與 不在同一平面上不在同一平面上ASneAl d A第3頁，共12頁。2、旋度的定

3、義：、旋度的定義：矢量矢量 的旋度的旋度。記作。記作ArotA故故0limCnnSA dlrot ArotA eS即即SdArotldAC方向上的投影在面元矢量是 e Arot Arotnn任意方向的環(huán)流密度任意方向的環(huán)流密度Arotne第4頁，共12頁。 、旋度的物理意義、旋度的物理意義 旋度的計(jì)算旋度的計(jì)算 矢量的旋度為矢量的旋度為矢量矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)；，是空間坐標(biāo)的函數(shù)； 矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處的矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處的漩渦源密度漩渦源密度； 在直角坐標(biāo)系下：在直角坐標(biāo)系下：)()()(yAxAexAzAezAyAeArot xyzzxyyzxA

4、)()(zzyyxxzyxAeAeAezeyexe故故zyxzyxAAAzyxeeeAArot第5頁，共12頁。例：求矢量場(chǎng)例：求矢量場(chǎng) 在在點(diǎn)點(diǎn) M（1，0，1）處的旋度及沿）處的旋度及沿)()()(xyzezxyeyzxeAzyxzyxeeel362方向的方向的環(huán)流密度環(huán)流密度。解：矢量場(chǎng)解：矢量場(chǎng) 的旋度的旋度A)()()(xyzzxyyzxzyxeeeAzyx)()()(xyezxeyzezyx在點(diǎn)在點(diǎn) M（1，0，1）處的旋度）處的旋度zyxMeeeA2第6頁，共12頁。方向的單位矢量 l)362(3621222zyxleeellezyxeee737672在點(diǎn) M（1，0，1）處沿

5、方向的環(huán)流密度7177327672lMeAl第7頁，共12頁。三、矢量場(chǎng)旋度的重要性質(zhì)旋度的散度恒等于零。旋度的散度恒等于零。證明：證明：)()(AArotdiv)()()()(yAxAexAzAezAyAezeyexexyzzxyyzxzyx0)()()(yAxAzxAzAyzAyAxxyzxyz 旋度與散度的定義都與坐標(biāo)系無關(guān)。旋度與散度的定義都與坐標(biāo)系無關(guān)。0)(A 應(yīng)用：應(yīng)用：AB B 0若第8頁，共12頁。斯托克斯定理：斯托克斯定理：SCSdAldA證明：證明：將將 S 分成許多面元分成許多面元,21iSSS其相應(yīng)面元的邊界為其相應(yīng)面元的邊界為iCCC,21對(duì)每一個(gè)面元對(duì)每一個(gè)面元

6、，其邊界，其邊界 的環(huán)繞方向均取與大的環(huán)繞方向均取與大回路回路 C一致的環(huán)繞方向。一致的環(huán)繞方向。iSiC則：相鄰兩面元?jiǎng)t：相鄰兩面元 、 的邊界的邊界 、 在在公共邊界上的積分等值異號(hào)，相互抵消。公共邊界上的積分等值異號(hào)，相互抵消。iSjSiCjCiCjC第9頁，共12頁。21CCCldAldAldA 又又11SdArotldAC22SdArotldAC故故21SdArotSdArotl dA CSCSdAl dA證畢證畢第10頁，共12頁。例例1.4 已知已知 ?，F(xiàn)有一個(gè)在?，F(xiàn)有一個(gè)在 面內(nèi)的面內(nèi)的閉合路徑閉合路徑C，此閉合路徑由，此閉合路徑由 和和 之間的一段拋物之間的一段拋物線線 和兩段平行于坐標(biāo)軸的直線組成，如圖所示。和兩段平行于坐標(biāo)軸的直線組成，如圖所示。 22,yxxyxyxe ee eA Ayx0 , 02, 2xy2求：（求：（1 1）矢量場(chǎng)的）矢量場(chǎng)的A A旋度；旋度； （2 2）計(jì)算環(huán)流）計(jì)算環(huán)流 。積分區(qū)域。積分區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的閉合路徑為如圖所示的閉合路徑C C； （3 3）驗(yàn)證斯托克斯定理。）驗(yàn)證斯托克斯定理。CldA A第11頁，共12頁。解 （1） 2220yyxxzyxzzyxe ee ee ee eA A（2） yyxxxyxyxxyxyxddddd2222e ee ee e