計量經濟學第3章-多元線性回歸模型

1、計量經濟學計量經濟學理論理論方法方法EViewsEViews應用應用 郭存芝郭存芝 杜延軍杜延軍 李春吉李春吉 編著編著電子教案第三章第三章 多元線性回歸模型多元線性回歸模型 學習目的學習目的 理解多元線性回歸模型的矩陣表示，掌握多元線性回歸模型進行參數(shù)估計、檢驗和預測。 基本要求基本要求 1) 理解多元線性回歸模型的矩陣表示；理解多元線性回歸模型的矩陣表示； 2) 了解多元線性回歸模型的基本假設、多元線性回了解多元線性回歸模型的基本假設、多元線性回歸模型的普通最小二乘參數(shù)估計量與樣本回歸線的性質、歸模型的普通最小二乘參數(shù)估計量與樣本回歸線的性質、多元線性回歸模型隨機誤差項方差的估計；多元線性

2、回歸模型隨機誤差項方差的估計； 3) 學會對多元線性回歸模型進行擬合優(yōu)度檢驗，對學會對多元線性回歸模型進行擬合優(yōu)度檢驗，對多元線性回歸模型的參數(shù)進行區(qū)間估計，掌握變量的顯多元線性回歸模型的參數(shù)進行區(qū)間估計，掌握變量的顯著性檢驗和方程的顯著性檢驗；著性檢驗和方程的顯著性檢驗； 4) 學會進行多元線性回歸模型被解釋變量的總體均學會進行多元線性回歸模型被解釋變量的總體均值和個別值預測；值和個別值預測； 5)學會利用學會利用Eviews軟件進行多元線性回歸模型的參軟件進行多元線性回歸模型的參數(shù)估計、檢驗和預測。數(shù)估計、檢驗和預測。第三章第三章 多元線性回歸模型多元線性回歸模型第三章第三章 經典單方程計

3、量經濟學模型：多經典單方程計量經濟學模型：多元線性回歸模型元線性回歸模型 多元線性回歸模型多元線性回歸模型 多元線性回歸模型的參數(shù)估計多元線性回歸模型的參數(shù)估計 多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 多元線性回歸模型的預測多元線性回歸模型的預測第一節(jié)第一節(jié) 多元線性回歸模型多元線性回歸模型 一、一、多元線性回歸模型多元線性回歸模型 二、二、多元線性回歸模型的基本假定多元線性回歸模型的基本假定 一、多元線性回歸模型一、多元線性回歸模型 多元線性回歸模型多元線性回歸模型:表現(xiàn)在線性回歸模型中的解釋變量有多個。 一般表現(xiàn)形式一般表現(xiàn)形式：ikikiiiXXXY 22110i=1,2,

4、n其中:k為解釋變量的數(shù)目，j稱為回歸系數(shù)回歸系數(shù)（regression coefficient）。ikikiiiXXXY 22110也被稱為也被稱為總體回歸函數(shù)總體回歸函數(shù)的的隨機表達形式隨機表達形式。它。它 的的非隨機表達式非隨機表達式為為:kikiikiiiiXXXXXXYE 2211021),|(表示：表示：各變量各變量X X值固定時值固定時Y Y的平均響應的平均響應。 習慣上習慣上：把常數(shù)項（或截距項）常數(shù)項（或截距項）看成為一虛變量虛變量的系數(shù)，該虛變量的樣本觀測值始終取1。于是：模型中解釋變量的數(shù)目為（模型中解釋變量的數(shù)目為（k+1） 總體回歸模型n個隨機方程的矩陣表達式矩陣表達

5、式為: XY其中其中 j也被稱為偏回歸系數(shù)偏回歸系數(shù)，表示在其他解釋變量保持不變的情況下，X j每變化1個單位時，Y的均值E(Y)的變化; 或者說j給出了X j的單位變化對Y均值的“直接”或“凈”（不含其他變量）影響。)1(212221212111111knknnnkkXXXXXXXXXX1)1(210kk121nn用來估計總體回歸函數(shù)的樣本回歸函數(shù)樣本回歸函數(shù)為：121.nnyyyYkikiiiiXXXY22110其其隨機表示式隨機表示式: : ikikiiiieXXXY22110 ei稱為殘差殘差或剩余項剩余項(residuals)，可看成是總體回歸函數(shù)中隨機擾動項 i的近似替代。 樣本回

6、歸函數(shù)樣本回歸函數(shù)的矩陣表達矩陣表達: XY或或eXY其中其中：k10neee21e二、多元線性回歸模型的基本假定二、多元線性回歸模型的基本假定 假設1，解釋變量是非隨機的或固定的，且各X之間互不相關（無多重共線性）。 假設2，隨機誤差項具有零均值、同方差及不序列相關性。0)(iE22)()(iiEVar0)(),(jijiECovnjiji, 2 , 1, 假設3，解釋變量與隨機項不相關 0),(ijiXCovkj,2 , 1 假設4，隨機項滿足正態(tài)分布 ), 0(2Ni上述假設的上述假設的矩陣符號表示矩陣符號表示： 假設1，n(k+1)維矩陣X是非隨機的，且X的秩=k+1，即X滿秩。 假設

7、2， 0)()()(11nnEEEEnnEE11)( 21121nnnEI22211100)var(),cov(),cov()var(nnn回憶回憶線性代數(shù)線性代數(shù)中關于滿秩、線性中關于滿秩、線性無關無關!對角線說明了擾動項的同方差性！對對角線說明了擾動項的同方差性！對角線之外說明了擾動項的序列無關性！角線之外說明了擾動項的序列無關性！假設4，向量 有一多維正態(tài)分布，即 ),(2I0N假設3，E(X )=0，即 0)()()(11iKiiiiiKiiiiEXEXEXXE假設5，回歸模型的設定是正確的。第二節(jié)第二節(jié) 多元線性回歸模型的多元線性回歸模型的 參數(shù)估計參數(shù)估計 任務任務 方法方法 模型

8、結構參數(shù)模型結構參數(shù) 012k、 、 、的估計的估計 隨機誤差項的方差隨機誤差項的方差2的估計的估計 普通最小二乘法普通最小二乘法 一、參數(shù)的普通最小二乘估計一、參數(shù)的普通最小二乘估計二、參數(shù)的普通最小二乘估計量的性質二、參數(shù)的普通最小二乘估計量的性質三、普通最小二乘樣本回歸函數(shù)性質三、普通最小二乘樣本回歸函數(shù)性質五、樣本容量問題五、樣本容量問題四、隨機誤差項的方差的普通最小二乘估計四、隨機誤差項的方差的普通最小二乘估計內容內容 估計方法：估計方法：3大類方法：大類方法：OLS、ML（最大似然法）（最大似然法）或者或者MM（矩估計法）（矩估計法）在經典模型中多應用在經典模型中多應用OLS在非經

9、典模型中多應用在非經典模型中多應用ML或者或者MM在本節(jié)中，在本節(jié)中， ML與與MM為選學內容為選學內容),.,1 , 0(kjj多元線性回歸模型參數(shù)估計的任務：多元線性回歸模型參數(shù)估計的任務：1，求結構參數(shù)的估計量，求結構參數(shù)的估計量2，求得隨機干擾項的方差估計，求得隨機干擾項的方差估計2一、普通最小二乘估計一、普通最小二乘估計 對于隨機抽取的n組觀測值kjniXYjii, 2 , 1 , 0, 2 , 1),(如果樣本函數(shù)樣本函數(shù)的參數(shù)估計值已經得到，則有： KikiiiiXXXY22110i=1,2n 根據(jù)最最小二乘原小二乘原理理，參數(shù)估計值應該是右列方程組的解 0000210QQQQk

10、其中2112)(niiiniiYYeQ2122110)(nikikiiiXXXY最小化問題的一階條件。最小化問題的一階條件。 于是得到關于待估參數(shù)估計值的正規(guī)方程組正規(guī)方程組： kiikikikiiiiikikiiiiiikikiiikikiiXYXXXXXYXXXXXYXXXXYXXX)()()()(221102222110112211022110 解該（k+1） 個方程組成的線性代數(shù)方程組，即可得到(k+1) 個待估參數(shù)的估計值$, , ,jj 012 。k正規(guī)方程組正規(guī)方程組的矩陣形式矩陣形式nknkknkkiikikikiiiikiiYYYXXXXXXXXXXXXXXXXn212111

11、211102112111111即YXX)X(由于XX滿秩，故有 YXXX1)(正規(guī)方程組正規(guī)方程組 的另一種寫法對于正規(guī)方程組正規(guī)方程組 XXYXXXeXXX于是 0eX或 (*)或（*）是多元線性回歸模型正規(guī)方程組正規(guī)方程組的另一種寫法。 (*)(*)0ie0iijieX二、參數(shù)估計量的性質二、參數(shù)估計量的性質 在滿足基本假設的情況下，其結構參數(shù) 的普通最小二乘估計具有： 線性性線性性、無偏性無偏性、有效性有效性。 同時，隨著樣本容量增加，參數(shù)估計量具有： 漸近無偏性、漸近有效性、一致性漸近無偏性、漸近有效性、一致性。 1、線性性、線性性 CYYXXX1)(其中,C=(XX)-1 X 為一僅

12、與固定的X有關的行向量 ?？梢?，參數(shù)估計量是被解釋變量Y的線性組合。 2、無偏性、無偏性 XXXXXXXYXXX11)()()()()()(1EEEE等于等于0，因為解，因為解釋變量與隨機擾釋變量與隨機擾動項不相關。動項不相關。這里利用了假設: E(X )=0 3、有效性（最小方差性）有效性（最小方差性） 的方差的方差-協(xié)方差矩陣為協(xié)方差矩陣為2 () CovEEEEEEE -1-1-1-1-1-1-1（ ）（ ）（ ）()()（）（）（）（）（）（）（）XXXXXXXXXX XXXXXX XXXXXX 2 -1-1（）（）XXXX（3-16）其中利用了 YXXX1)(XXXXXXX11)()

13、()(和I2)(E三、普通最小二乘樣本回歸函數(shù)性質三、普通最小二乘樣本回歸函數(shù)性質01122iiikkiYXXX 1樣本回歸線通過樣本均值點，即點（樣本回歸線通過樣本均值點，即點（Y1X2XkX ， ， ， ， ） 滿足滿足。樣本回歸函數(shù)樣本回歸函數(shù)。3殘差和為零，即殘差和為零，即10niie。2被解釋變量的估計的均值等于被解釋變量的均值，即被解釋變量的估計的均值等于被解釋變量的均值，即YY。4各解釋變量與殘差的乘積之和為零，即各解釋變量與殘差的乘積之和為零，即1012nji iiX ejk（， ， ， ）。10ni iiYe5被解釋變量的估計與殘差的乘積之和為零，即被解釋變量的估計與殘差的乘

14、積之和為零，即。四、隨機誤差項的方差的普通最小二乘估計四、隨機誤差項的方差的普通最小二乘估計多元線性回歸模型的隨機誤差項的方差的普通最小二乘估計量為多元線性回歸模型的隨機誤差項的方差的普通最小二乘估計量為 2211niienk （3-18） 是一個無偏估計量。是一個無偏估計量。 容易看出，多元線性回歸模型的隨機誤差項的方差的普通最小二乘估容易看出，多元線性回歸模型的隨機誤差項的方差的普通最小二乘估計量，與一元線性回歸模型的隨機誤差項的方差的普通最小二乘估計量一致。計量，與一元線性回歸模型的隨機誤差項的方差的普通最小二乘估計量一致。 因為在一元線性回歸模型中因為在一元線性回歸模型中k=1。所以，

15、殘差平方和可用矩陣表示為所以，殘差平方和可用矩陣表示為21niiee e（3-19） 五、樣本容量問題五、樣本容量問題 樣本容量越大，樣本觀測數(shù)據(jù)對經濟活動的反映越全面，從樣本樣本容量越大，樣本觀測數(shù)據(jù)對經濟活動的反映越全面，從樣本觀測數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律的可能性就越大，計量經濟研究的結果就越可靠。觀測數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律的可能性就越大，計量經濟研究的結果就越可靠。參數(shù)估計的最小樣本容量要求是參數(shù)估計的最小樣本容量要求是1nk8nk例如，模型的檢驗要求有足夠大的樣本容量，例如，模型的檢驗要求有足夠大的樣本容量，z 檢驗在檢驗在 n 30 時不能使用，時不能使用， 因為因為n 30時構造不出用于檢驗的服從標

16、準正態(tài)分布的統(tǒng)計量；時構造不出用于檢驗的服從標準正態(tài)分布的統(tǒng)計量； t 檢驗在檢驗在時才比較有效，因為時才比較有效，因為時時 t 分布才比較穩(wěn)定。分布才比較穩(wěn)定。8nk30n 31nk（）一般經驗認為，當一般經驗認為，當或者至少或者至少時，才能滿足基本要求。時，才能滿足基本要求。第三節(jié)第三節(jié) 多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 一、一、擬合優(yōu)度檢驗擬合優(yōu)度檢驗 二、二、方程的顯著性檢驗方程的顯著性檢驗(F(F檢驗檢驗) ) 三、三、變量的顯著性檢驗（變量的顯著性檢驗（t t檢驗）檢驗） 四、四、參數(shù)的置信區(qū)間參數(shù)的置信區(qū)間 多元線性回歸模型的參數(shù)估計出來后，即求出樣本回歸函數(shù)

17、后，還需進一步對該樣本回歸函數(shù)進行統(tǒng)計檢驗，以判定估計的可靠程度。一、擬合優(yōu)度檢驗一、擬合優(yōu)度檢驗1、可決系數(shù)與調整的可決系數(shù)、可決系數(shù)與調整的可決系數(shù) 總離差平方和的分解總離差平方和的分解殘差離差分解離差分解111000nnniii iiiiie YYYeYe（）所以，在多元線性回歸模型中，依然有所以，在多元線性回歸模型中，依然有2211221112211 2 nniiiiinnniiiiiiinniiiiyYYeYYee YYYYe（）（）（）（） （3-20） 即即TSSESSRSS（3-21） 可決系數(shù)可決系數(shù)TSSRSSTSSESSR12該統(tǒng)計量越接近于1，模型的擬合優(yōu)度越高。 問題

18、：問題：在應用過程中發(fā)現(xiàn)，如果在模型中增加一個解釋變量， R2往往增大（Why?)因為殘差平方和往往隨著解釋變量個數(shù)的增加而減少。 這就給人一個錯覺一個錯覺：要使得模型擬合得好，只要增加要使得模型擬合得好，只要增加解釋變量即可解釋變量即可。 但是，現(xiàn)實情況往往是，由增加解釋變量個數(shù)引起的R2的增大與擬合好壞無關，因此在，因此在多元回歸模型之間比較擬合優(yōu)度，多元回歸模型之間比較擬合優(yōu)度，R2 就不是一個合適就不是一個合適的指標，必須加以的指標，必須加以調整調整。 調整的可決系數(shù)調整的可決系數(shù)（adjusted coefficient of determination） 在樣本容量一定的情況下，增

19、加解釋變量必定使得自在樣本容量一定的情況下，增加解釋變量必定使得自由度減少由度減少，所以調整的思路是:將殘差平方和與總離差平將殘差平方和與總離差平方和分別除以各自的自由度，以剔除變量個數(shù)對擬合優(yōu)度方和分別除以各自的自由度，以剔除變量個數(shù)對擬合優(yōu)度的影響的影響:) 1/() 1/(12nTSSknRSSR其中：n-k-1為殘差平方和的自由度，n-1為總體平方和的自由度。顯然，如果增加的解釋變量沒有解釋能力，則對殘差平殘差平方和方和RSS的減小的減小沒有多大的幫助，卻增加了待估參數(shù)的個數(shù)，從而使得 有較大幅度的下降。2R11)1 (122knnRR沒有絕對的標準，要看具體的情況而定。模型的擬合優(yōu)度

20、并沒有絕對的標準，要看具體的情況而定。模型的擬合優(yōu)度并不是判斷模型質量的唯一標準，有時甚至為了追求模型的經不是判斷模型質量的唯一標準，有時甚至為了追求模型的經濟意義，可以犧牲一點擬合優(yōu)度。濟意義，可以犧牲一點擬合優(yōu)度。 *赤池信息準則和施瓦茨準則赤池信息準則和施瓦茨準則 為了比較所含解釋變量個數(shù)不同的多元回歸模型的擬合優(yōu)度，常用的標準還有: 赤池信息準則赤池信息準則（Akaike information criterion, AIC）nknAIC) 1(2lnee施瓦茨準則施瓦茨準則（Schwarz criterion，SC） nnknAClnlnee 這兩準則均要求這兩準則均要求僅當所增加的

21、解釋變量能夠僅當所增加的解釋變量能夠減少減少AICAIC值或值或SCSC值時才在原模型中增加該解釋變量值時才在原模型中增加該解釋變量。 二、方程的顯著性檢驗二、方程的顯著性檢驗(F(F檢驗檢驗) ) 方程的顯著性檢驗，旨在對模型中被解釋變量與解方程的顯著性檢驗，旨在對模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關系在總體上是否顯著成立作出推斷。釋變量之間的線性關系在總體上是否顯著成立作出推斷。 1、方程顯著性的、方程顯著性的F檢驗檢驗 即檢驗模型 Yi=0+1X1i+2X2i+ +kXki+i i=1,2, ,n中的參數(shù) 是否顯著不為0。方程的顯著性檢驗所應用的方法仍是數(shù)理統(tǒng)計學中的方程的顯著性檢驗所

22、應用的方法仍是數(shù)理統(tǒng)計學中的假設檢驗假設檢驗。k,.1 可提出如下原假設與備擇假設： H0： 1=2= =k=0 H1： j (j=1,2,.k)不全為0 F F檢驗的思想檢驗的思想來自于總離差平方和的分解式： TSS=ESS+RSS由于回歸平方和2iyESS是解釋變量X的聯(lián)合體對被解釋變量Y的線性作用的結果，考慮比值 22/iieyRSSESS 如果這個比值較大，則X的聯(lián)合體對Y的解釋程度高，可認為總體存在線性關系，反之總體上可能不存在線性關系。 因此因此, ,可通過該比值的大小對總體線性關系可通過該比值的大小對總體線性關系進行推斷進行推斷。 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學中的知識，在原假設H0成立的條件下

23、，統(tǒng)計量 ) 1/(/knRSSkESSF服從自由度為(k , n-k-1)的F分布。 給定顯著性水平，查表可得到臨界值F(k,n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計量F的數(shù)值，通過 F F(k,n-k-1) 或 FF(k,n-k-1)來拒絕或接受原假設H0，以判定原方程總體上總體上的線性關系是否顯著成立。 2、關于擬合優(yōu)度檢驗與方程顯著性檢驗關系的討論關于擬合優(yōu)度檢驗與方程顯著性檢驗關系的討論 擬合優(yōu)度檢驗和方程總體線性的顯著性檢驗是從不同原理出擬合優(yōu)度檢驗和方程總體線性的顯著性檢驗是從不同原理出發(fā)的兩類檢驗，發(fā)的兩類檢驗，前者前者是從已經得到估計的模型出發(fā)，檢驗它是從已經得到估計的模型出發(fā)，檢驗它對

24、樣本觀測值的擬合程度，對樣本觀測值的擬合程度，后者后者是從樣本觀測值出發(fā)檢驗模是從樣本觀測值出發(fā)檢驗模型總體線性關系的顯著性。型總體線性關系的顯著性。二者又是關聯(lián)的，模型對樣本觀測值的擬合程度高，模型總二者又是關聯(lián)的，模型對樣本觀測值的擬合程度高，模型總體線性關系的顯著性就強。體線性關系的顯著性就強。因此，找到兩個用作檢驗標準的因此，找到兩個用作檢驗標準的統(tǒng)計量之間的數(shù)量關系統(tǒng)計量之間的數(shù)量關系，在，在實際應用中互為驗證，是有實際意義的。實際應用中互為驗證，是有實際意義的。由) 1/() 1/(12nTSSknRSSR) 1/(/knRSSkESSF可推出：kFknnR1112與或) 1/()

25、1 (/22knRkRF這兩個統(tǒng)計量之間的關系：這兩個統(tǒng)計量之間的關系：三、變量的顯著性檢驗（三、變量的顯著性檢驗（t t檢驗檢驗）方程的總體線性總體線性關系顯著 每個解釋變量每個解釋變量對被解釋變量的影響都是顯著的。因此，必須對每個解釋變量進行顯著性檢驗，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。如果某個變量對被解釋變量的影響并不顯著，就應該將它剔除，以建立更為簡單的模型。這一檢驗是由對變量的這一檢驗是由對變量的 t 檢驗完成的。檢驗完成的。 1、t統(tǒng)計量統(tǒng)計量 由于12)()(XXCov 以cjj表示矩陣(XX)-1 主對角線上的第j+1個元素，于是參數(shù)估計量的方差為： 其中2為隨機誤差項的方

26、差，在實際計算時，用它的估計量代替: 1122knkneieekjcVarjjj.,2 , 1 , 0,)(2因此，可構造如下t統(tǒng)計量 因為因為 服從如下正態(tài)分布服從如下正態(tài)分布j)(2,jjjjcN) 1(1kntkneecStjjjjjjj 2、t檢驗檢驗 設計原假設與備擇假設： H1：j0 給定顯著性水平，查表可得到臨界值t/2(n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計量t的數(shù)值，通過 |t| t/2(n-k-1) 或 |t|t/2(n-k-1)來拒絕或接受原假設H0，從而判定對應的解釋變判定對應的解釋變量是否應包括在模型中。量是否應包括在模型中。 H0：j=0 （j=0,1,2k） 雙尾雙尾注意：

27、注意：一元線性回歸中，一元線性回歸中，t t檢驗與檢驗與F F檢驗一致檢驗一致 一方面一方面，t檢驗與F檢驗都是對相同的原假設H0： 1=0=0 進行檢驗; 另一方面另一方面，兩個統(tǒng)計量之間有如下關系： 222212221222122212212)2()2()2()2(txnexnexnenexneyFiiiiiiiiii在實際中，各個變量的在實際中，各個變量的t值相差較大，有的在很高的顯值相差較大，有的在很高的顯著性水平下影響顯著，有的則在不太高的顯著性水平著性水平下影響顯著，有的則在不太高的顯著性水平下影響顯著，是否都認為通過顯著性檢驗？下影響顯著，是否都認為通過顯著性檢驗？沒有絕對的顯著

28、性水平。關鍵仍然是考察變量在經濟沒有絕對的顯著性水平。關鍵仍然是考察變量在經濟關系上是否對解釋變量有影響關系上是否對解釋變量有影響，顯著性檢驗起到驗證，顯著性檢驗起到驗證的作用；同時還要看顯著性水平不太高的變量在模型的作用；同時還要看顯著性水平不太高的變量在模型中及模型應用中的作用，不要簡單的剔除變量。中及模型應用中的作用，不要簡單的剔除變量。四、參數(shù)的置信區(qū)間四、參數(shù)的置信區(qū)間 參數(shù)的置信區(qū)間參數(shù)的置信區(qū)間用來考察：在一次抽樣中所在一次抽樣中所估計的參數(shù)值離參數(shù)的真實值有多估計的參數(shù)值離參數(shù)的真實值有多“近近”。 在變量的顯著性檢驗中已經知道：在變量的顯著性檢驗中已經知道：) 1(1kntk

29、neecStjjjjjjj容易推出容易推出：在(1-)的置信水平下j的置信區(qū)間是 其中，t/2為顯著性水平為 、自由度為n-k-1的臨界值。 ),(22jjststjj如何才能縮小置信區(qū)間？如何才能縮小置信區(qū)間？ 增大樣本容量增大樣本容量n n，因為在同樣的樣本容量下，n越大，t分布表中的臨界值越小，同時，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計量的標準差減??； 提高模型的擬合優(yōu)度提高模型的擬合優(yōu)度，因為樣本參數(shù)估計量的標準差與殘差平方和呈正比，模型優(yōu)度越高，殘差平方和應越小，置信區(qū)間的就越窄。在實際應用中，我們希望置信度越高越好，置信區(qū)在實際應用中，我們希望置信度越高越好，置信區(qū)間越小越好。間越小越

30、好。 提高樣本觀測值的分散度提高樣本觀測值的分散度,一般情況下，樣本觀測值越分散， 的分母的|XX|的值越大， 越小，致使區(qū)間縮小。值得注意的是：值得注意的是：置信度的高低與置信區(qū)間的大小存在此消彼漲的置信度的高低與置信區(qū)間的大小存在此消彼漲的關系。置信度越高，在其他情況不變時，臨界值關系。置信度越高，在其他情況不變時，臨界值越大，置信區(qū)間越大。如果要求縮小置信區(qū)間，越大，置信區(qū)間越大。如果要求縮小置信區(qū)間，在其他情況不變時，就必須降低對置信度的要求。在其他情況不變時，就必須降低對置信度的要求。1)(XXjjc第四節(jié)第四節(jié) 多元線性回歸模型的多元線性回歸模型的 預測預測被解釋變量的總體均值的點

31、預測被解釋變量的總體均值的點預測被解釋變量的總體均值的區(qū)間預測被解釋變量的總體均值的區(qū)間預測被解釋變量的個別值的區(qū)間預測被解釋變量的個別值的區(qū)間預測( Why? )0Y將已知或事先測定的樣本觀察數(shù)據(jù)以外的解釋變量的觀察值記為將已知或事先測定的樣本觀察數(shù)據(jù)以外的解釋變量的觀察值記為，對應的被解釋變量的觀察值記為，對應的被解釋變量的觀察值記為由樣本回歸函數(shù)由樣本回歸函數(shù)010200 kXXX（1， ，）X，01122iiikkiYXXX對應于解釋變量對應于解釋變量0Y，被解釋變量，被解釋變量的預測值為的預測值為010200 kXXX（1， ，）X0001102200kkYXXXX （3-33）作為

32、被解釋變量的總體均值作為被解釋變量的總體均值的點預測的點預測 10200/ kE YXXX（， ，）這是被解釋變量的總體均值這是被解釋變量的總體均值的一個無偏估計的一個無偏估計 10200/ kE YXXX（， ，）一、總體均值一、總體均值10200/ kE YXXX（， ，）的點預測的點預測表表3-1 某商品的銷售量、價格、售后服務支出數(shù)據(jù)某商品的銷售量、價格、售后服務支出數(shù)據(jù)序號序號銷售量銷售量Y （千個）（千個）價格價格X1（元（元/個）個）售后服務支出售后服務支出X2（萬元）（萬元）1234567891011121314151617181920212212113313012613114

33、7148159160156155157179189180183202200201203258234150014901480147014601450144014301420141014001390138013701360135013401330132013101300129012151310111413151312111015151312141211101512例例3-63-6假設已獲得假設已獲得了某商品的了某商品的銷售量、價銷售量、價格、售后服格、售后服務支出數(shù)據(jù)務支出數(shù)據(jù)如表如表3-1所示，所示，求價格為求價格為1250元元/個、售后服個、售后服務支出為務支出為16萬萬元時銷售量的元時銷售量

34、的預測值。預測值。263.603（千個）（千個）0Y12iY in（， ， ， ）0Y也可以表示為也可以表示為的線性組合，的線性組合，服從正態(tài)分布。服從正態(tài)分布。 由于由于所以所以010200/ kE YE Y XXX（ ） （， ，）002002002000002100()() ) ) () Var YVarEEEEE（）（）（）()()(X X - E X X - X X - X - - XX - - XXX XX2100 ()XX XX2101020000( / () )kYN E YXXX（， ，）,XX XX二、總體均值二、總體均值10200/ kE YXXX（， ，）的預測置信區(qū)間

35、的預測置信區(qū)間222用用的無偏估計量的無偏估計量替代替代，有，有對于給定的顯著性水平對于給定的顯著性水平 0102000/ 1kYE YXXXt nkSE Y（， ，）（）（ ）其中其中21000()SE Y（ ）=XX XX010200220/ ( )1kYE YXXXPttSE Y （， ，）（ ）1由此可得，總體均值由此可得，總體均值的置信度為的置信度為的預測置信區(qū)間為的預測置信區(qū)間為10200/ kE YXXX（， ，）0 Y 02t SE Y（ ），0Y02 t SE Y（ ） （3-34）表表3-1 某商品的銷售量、價格、售后服務支出數(shù)據(jù)某商品的銷售量、價格、售后服務支出數(shù)據(jù)序號序號銷售量銷售量Y （千個）（千個）價格價格X1（元（元/個）個）售后服務支出售后服務支出X2（萬元）（萬元）12345678910111213141516171819202122121133130126131147148159160156155157179189180183202200201203258234150014901480147014601450144014301420141014001390138013701360135