二元一次方程組與二階行列式,全排列及其逆序數(shù),n階行列式的定義

1、1第第1 1章章 n 階行列式階行列式行列式理論是研究線性方程組的解法而產(chǎn)生的。行列式理論是研究線性方程組的解法而產(chǎn)生的。近代，被廣泛應用于數(shù)學、物理以及工程技術(shù)等近代，被廣泛應用于數(shù)學、物理以及工程技術(shù)等許多領(lǐng)域。許多領(lǐng)域。在線性代數(shù)中，更是一個不可缺少的重要工具。在線性代數(shù)中，更是一個不可缺少的重要工具。主要介紹主要介紹定義定義、性質(zhì)性質(zhì)、計算計算及及克萊姆法則克萊姆法則。21.1 二元一次方程組與二二元一次方程組與二階行列式階行列式3用消元法解二元一次方程組用消元法解二元一次方程組1112121222,.a xa yba xa yb 1 2時時，當當021122211 aaaa方程組的解

2、為方程組的解為22 112211221221a ba bxa aa a，11 221 111221221.a ba bya aa a由方程組的四個系數(shù)確定由方程組的四個系數(shù)確定.4 由四個數(shù)排成二行二列的數(shù)表由四個數(shù)排成二行二列的數(shù)表11122122aaaa1122122111122122(5)a aa aaaaa表達式稱為數(shù)表所確定的二階行列式，并記作即即.2112221122211211aaaaaaaaD 511a12a22a12a主對角線主對角線次對角線次對角線2211aa .2112aa 若記若記,22211211aaaaD 1112121222,.a xa yba xa yb對于二元

3、一次方程組對于二元一次方程組系數(shù)行列式系數(shù)行列式,2221211ababD .2211112babaD 22 112211221221a ba bxa aa a 11221 111221221a ba bya aa a 1DD 2DD 克萊姆公式克萊姆公式6121225346xxxx 解解: :12234D 0 15264D 8, 21536D 9, DDx11 84,2 DDx22 9922 781.2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)9定義定義1 1由n個自然數(shù)1，2，3, ，n組成的一個有序數(shù)組，稱之為n個自然數(shù)的一個全排列全排列，簡稱排列排列例例自然數(shù)自然數(shù)1,21,2構(gòu)成的排列構(gòu)成的

4、排列12122121種數(shù)種數(shù)2 2種種1,2,31,2,31231231321322132132312313123123213216 6種種1,2,3,41,2,3,412341234432143211,2,3,1,2,3, ,n2424種種n! !種種123123nn( (n-1)-1)321321標準排列標準排列/ /自然排列自然排列10定義定義 2 2一個排列中的兩個數(shù)一個排列中的兩個數(shù), ,如果排在前面的數(shù)大于排如果排在前面的數(shù)大于排在它后面的數(shù)，則稱這兩個數(shù)構(gòu)成一個在它后面的數(shù)，則稱這兩個數(shù)構(gòu)成一個逆序逆序一個排列中逆序的總數(shù)稱這個排列的一個排列中逆序的總數(shù)稱這個排列的逆序數(shù)逆序數(shù)逆

5、序數(shù)為奇數(shù)的排列稱逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱奇排列奇排列逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱偶排列偶排列排列排列 的逆序數(shù)記為的逆序數(shù)記為1 2miii1 2()miii11求逆序數(shù)的方法求逆序數(shù)的方法: :12np pp是是n個自然數(shù)的一個排列，個自然數(shù)的一個排列，考察每一個考察每一個ip的逆序數(shù)的逆序數(shù)it（排在（排在ip前面并且比前面并且比ip大的數(shù)的個數(shù)）大的數(shù)的個數(shù)）則全體元素的逆序數(shù)之和則全體元素的逆序數(shù)之和12nttt1niit即為這個排列的逆序數(shù)即為這個排列的逆序數(shù)例例1 1413250 +1 +1 +2 +0 =4偶排列偶排列例例2 2n( (n-1)(-1)(n-2-2）32

6、13210 +1 +2+n-1+(1)2n n12對換對換：1sntpppp1tnspppp(,)stpp例例213213312312(2,3)253425341 1253125314 4(4,1)1（奇）2（偶）6（偶）5（奇）13定理定理 1 1一個排列經(jīng)一次對換后必改變其奇偶性。一個排列經(jīng)一次對換后必改變其奇偶性。證明證明:（1 1）相鄰對換）相鄰對換AabBAbaB(,)abA,B中的每一個數(shù)的逆序數(shù)沒有發(fā)生改變，所中的每一個數(shù)的逆序數(shù)沒有發(fā)生改變，所以只需考慮以只需考慮a ,b的逆序數(shù)的逆序數(shù)若若aba的逆序數(shù)不變，的逆序數(shù)不變，b的逆序數(shù)減少的逆序數(shù)減少1 1若若aba的逆序數(shù)增加

7、的逆序數(shù)增加1 1，b的逆序數(shù)不變，的逆序數(shù)不變，所以，所以，,AabBAbaB的奇偶性不同奇偶性不同14（2 2）一般對換）一般對換12mBaA k kk b12mBbA k kk a(,)ab情況太復雜，改變思考角度情況太復雜，改變思考角度不是通過一次性得到結(jié)果，而是作如下過程：不是通過一次性得到結(jié)果，而是作如下過程：12mBaA k kk b12mAk kkBba作作m+1+1次相鄰對換次相鄰對換12mBbA k kk a作作m次相鄰對換次相鄰對換由（由（1 1）知，）知，改變了改變了2m+1(2m+1(奇數(shù)奇數(shù)) )次奇偶性次奇偶性奇偶性當然改變。奇偶性當然改變。15定理定理1 1推論

8、推論奇排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)奇排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù); ;偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù). .補充補充n個自然數(shù)組成的所有排列中共有個自然數(shù)組成的所有排列中共有n!個，個，其中奇偶排列各占一半其中奇偶排列各占一半. .一個排列經(jīng)一次對換后必改變其奇偶性。一個排列經(jīng)一次對換后必改變其奇偶性。161.3 n階行列式的定義階行列式的定義17三階行列式三階行列式112233122331132132112332122133132231,a a aa a aa a aa a aa a aa a a 333231232221131211aaaaaaa

9、aa11a12a22a12a2211aa .2112aa 18323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)三階行列式的計算三階行列式的計算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD 333231232221131211aaaaaaaaaD 19333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注注 紅線上三元素的乘積冠以正號，紅線上三元素的乘積冠以正號， 藍線上三元素的乘積冠以負號藍線上三元素的乘積冠以負號對角線法

10、則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 三階行列式包括三階行列式包括3!3!項項, ,每一項都是位于不同行每一項都是位于不同行, ,不同列的三個元素的乘積不同列的三個元素的乘積, ,其中三項為正其中三項為正, ,三項為負三項為負. .20 如果三元一次方程組如果三元一次方程組 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 ,333312322113

11、1112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 則則:,11DDx ,22DDx .33DDx ,3332323222131211aabaabaabD 21111213212223313233aaaaaaaaa112233132132122331132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a三階行列式的結(jié)構(gòu)：三階行列式的結(jié)構(gòu)：（1 1）每一項都是三數(shù)相乘，）每一項都是三數(shù)相乘，這三數(shù)來自不同行不同列，這三數(shù)來自不同行不同列，除符號外可寫成除符號外可寫成123123,pppaaa123p p p是是1,2,3

12、1,2,3的一個排列，的一個排列，共有共有6 6種，種，右邊剛好有右邊剛好有6 6項；項；（2）若正號項列標排列若正號項列標排列 123312231(0)t (2)t (2)t 偶排列偶排列若負號項列標排列若負號項列標排列 321213132(3)t (1)t (1)t 奇排列奇排列22111213212223313233aaaaaaaaa112233132132122331132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a112323()123( 1)pppp p paaa123p p p求和表示對1,2，3的所有排列2312122()12111

13、212122212( 1).nnp ppppnpnnnnnnnnnaaaaaaaaaDaaa由個數(shù)組成的階行列式等于所有取自不同行不同列的個元素的乘積的代數(shù)和記作定義定義det()ija1122()12( 1)nnppp ppnpaaa ija241、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的定義的;2、 階行列式是階行列式是 項的代數(shù)和項的代數(shù)和,n!n3、 階行列式的每項都是位于不同行、不同階行列式的每項都是位于不同行、不同列列 個元素的乘積個元素的乘積;nn4、

14、一階行列式一階行列式 不要與絕對值記號相混淆不要與絕對值記號相混淆;aa 注注: :冠正負號各占一半；冠正負號各占一半；5 5、若有一行（或一列）元素全為、若有一行（或一列）元素全為0 0，則，則D0 0。25例例1 111121314152122232425313233343541424344455152535455aaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaaaa共有共有5 5！120120項項11131415222324253132333541424445515253512213443554aaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaaaaaa1221344355a a a a a214

15、35帶正號帶正號22612131415212324253132343541424344515253112233455545aaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaaa1122334554a a a a a123541帶負號帶負號27例例 2 2上三角形行列式上三角形行列式11121222nnnnaaaaaDa,0ijij a1122nna aa證明證明:1212( 1)npppnDaaa1122( 1)nna aa 01122( 1)nna aa 1122nna aa28類似，類似，下三角形行列式下三角形行列式112122112212nnnnnnaaaDa aaaaa111(1)212,111( 1)nn nnnnnaaDa aaa 29