第1講　平行截割定理與相似三角形

1、第1講平行截割定理與相似三角形【2013年高考會這樣考】考查相似三角形的判定和性質(zhì)定理的應用及直角三角形的射影定理的應用【復習指導】復習本講時，只要掌握好教材上的內(nèi)容，熟練教材上的習題即可達到高考的要求，該部分的復習以基礎知識、基本方法為主，掌握好解決問題的基本技能即可.基礎梳理1平行截割定理(1)平行線等分線段定理及其推論定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也相等推論：經(jīng)過梯形一腰的中點而且平行于底邊的直線平分另一腰(2)平行截割定理及其推論定理：兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對應線段成比例推論：平行于三角形一邊

2、的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，截得的三角形與原三角形的對應邊成比例(3)三角形角平分線的性質(zhì)三角形的內(nèi)角平分線分對邊成兩段的長度比等于夾角兩邊長度的比(4)梯形的中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半2相似三角形(1)相似三角形的判定判定定理a兩角對應相等的兩個三角形相似b兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似c三邊對應成比例的兩個三角形相似推論：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似直角三角形相似的特殊判定斜邊與一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似(2)相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對應線段的比等于相似比，面積比等于相似比的平方(3)直角

3、三角形射影定理直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在斜邊上射影與斜邊的乘積，斜邊上的高的平方等于兩條直角邊在斜邊上射影的乘積雙基自測1如圖所示，已知abc，直線m、n分別與a、b、c交于點A，B，C和A，B，C，如果ABBC1，AB，則BC_. 解析由平行線等分線段定理可直接得到答案答案2如圖所示，BD、CE是ABC的高，BD、CE交于F，寫出圖中所有與ACE相似的三角形_ 解析由RtACE與RtFCD和RtABD各共一個銳角，因而它們均相似，又易知BFEA，故RtACERtFBE.答案FCD、FBE、ABD3(2011·西安模擬)如圖，在ABC中，M、N分別是AB、BC的中點，A

4、N、CM交于點O，那么MON與AOC面積的比是_解析M、N分別是AB、BC中點，故MN綉AC，MONCOA，.答案144如圖所示，已知DEBC，BFEF32，則ACAE_，ADDB_. 解析DEBC，.BFEF32，.ACAE32.同理DEBC，得ABAD32，即.，即2.即2.ADBD21.答案32215(2010·廣東)如圖，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，ABADa，CD，點E、F分別為線段AB、AD的中點，則EF_. 解析連接DE和BD，依題知，EBDC，EBDC，EBCD為平行四邊形，CBAB，DEAB，又E是AB的中點，故ADDBa，E，F(xiàn)分別是AD、AB的中點

5、，EFDBa.答案考向一平行截割定理的應用【例1】(2011·廣州測試(二)在梯形ABCD中，ADBC，AD2，BC5，點E、F分別在AB、CD上，且EFAD，若，則EF的長為_審題視點 把梯形的兩腰BA、CD分別延長交于一點，利用平行截割定理可求解解析如圖所示，延長BA、CD交于點P，ADBC， ，又，.ADEF，又AD2，EF.答案 在解題時要注意添加輔助線【訓練1】 如圖，在ABC中，DEBC，EFCD，若BC3，DE2，DF1，則AB的長為_解析由，又DF1，故可解得AF2，AD3，又，AB.答案考向二相似三角形的判定和性質(zhì)的應用【例2】已知，如圖，在ABC中，ABAC，BD

6、AC，點D是垂足求證：BC22CD·AC. 審題視點 作AEBC，證明AEC和BDC相似即可證明過點A作AEBC，垂足為E，CEBEBC，由BDAC，AEBC.又CC，AECBDC.，即BC22CD·AC. 判定兩個三角形相似要注意結合圖形的性質(zhì)特點靈活選擇判定定理在一個題目中，相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理可能多次用到【訓練2】 (2011·惠州調(diào)研)如圖，在ABC中，DEBC，DFAC，AEAC35，DE6，則BF_. 解析因為DEBC，所以ADEABC，所以，即，所以BC10.又DFAC，所以四邊形DECF是平行四邊形，故BFBCFCBCDE1064.答案4

7、考向三直角三角形射影定理的應用【例3】已知圓的直徑AB13，C為圓上一點，過C作CDAB于D(ADBD)，若CD6，則AD_.審題視點 ACB為直角三角形，可直接利用射影定理求解解析如圖，連接AC，CB，AB是O的直徑，ACB90° 設ADx，CDAB于D，由射影定理得CD2AD·DB，即62x(13x)，x213x360，解得x14，x29.ADBD，AD9.答案9 注意射影定理的應用條件【訓練3】 在ABC中，ACB90°，CDAB于D，ADBD23.則ACD與CBD的相似比為_解析如圖所示，在RtACB中，CDAB，由射影定理得：CD2AD·BD，又ADBD23，令AD2x，BD3x(x0)，CD26x2，CDx.又ADCBDC90°，ACDCBD.易知ACD與CBD的相似比為.即相似比為3.答案3 高考中幾何證明選講問題(一)從近兩年新課標高考試題可以看出，高考主要以填空題的形式考查平行截割定理和相似三角形判定定理的應用，難度不大【示例1】 (2011·陜西)如圖，BD，AEBC，AC