不定方程的整數(shù)解問題及其方法簡介(含答案)

1、專題三：不定方程的整數(shù)解問題所謂不定方程，是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程個數(shù)，且未知數(shù)受到某些條件限制(如要求是有理數(shù)、整 數(shù)或正整數(shù)等等)的方程或方程組。數(shù)學競賽中的不定方程問題，不僅要求學生對初等數(shù)論的一般理論、 方法有一定的了解，而且更需要講究思想、方法與技巧，創(chuàng)造性地解決問題。在本專題中我們一起來學習 不定方程整數(shù)解的一些解法技巧。【基礎知識】1 1 不定方程整數(shù)解的常見類型：(1 1 )求不定方程的整數(shù)解；(2 2 )判定不定方程是否有整數(shù)解；(3)判定不定方程整數(shù)解的個數(shù)(有限個還是無限個)。2 2 解不定方程整數(shù)解問題常用的解法：(1 1 )代數(shù)恒等變形：如因式分解法、配方法、分離整數(shù)

2、法、換元法(參數(shù)法)等；(2 2 )奇偶分析法：縮小變量的范圍或性質(zhì)，得出不定方程的整數(shù)解或判定其無解；(3 3 )構(gòu)造法：如構(gòu)造一元二次方程，利用根的判別式和韋達定理等性質(zhì)；(4) 枚舉法：列舉出所有可能的情況；(5) 不等式分析法：通過不等式估算法，確定出方程中某些變量的范圍，進而求解；(6) 無窮遞推法。【典型例題分析】一、代數(shù)恒等變形1 1 因式分解法【例 1 1】已知x, y都是整數(shù)，且滿足xy 2 = 2(x y)，求x2y2的最大值. .分析：由xy 2=2(x y)，得(x-2)(y-2) =2-2 = 2x2=11-2 = -2x2 = 1因為(x-2),(y-2)都是整數(shù)，

3、所以，或，或，或2=12=2 2=-1 2=_2Xx=4Xx=3Xx=OXx=1解得，或，或，或)=3)=4、y = 1y=O故x2y2的最大值為 2525注：一般地，整系數(shù)a,b, c,d的二次方程axy bx cy 0,可變形為：a2xy abx acy ad = 0分解，得(ax c)(ay b)二bead. .求整數(shù)解時，只需把整數(shù)(bc_ad)分解成兩個整數(shù)的積，ax + e =轉(zhuǎn)化為解幾個方程組，(這厶#=bc-ad)來解，通過取舍求出符合題意的整數(shù)解。ay + b = #【例2 2】求方程x2- y2 3x _7y -2 = 0的整數(shù)解(x, y). .分析：原方程可化為4x2-

4、4y2 12x-28y-8 = 0,配方得(2x 3)(2y 7)230所以(x y 5)(x_y _2) = -8因為(x y 5)和(x - y - 2)的奇偶性不同/曰x y 5- -8x y 5- -1x y 5 = 8x y 5=1得，或，或，或x_y_2=1xy_2=8xy_2 = -1x_y2= _8解得：(x,y)=(-5,-8),(2, -8),(2,1),( -5,1)2 2、配方法【例 3 3】求3x2xy y3x 2y=0的非負整數(shù)解(x, y)的組數(shù)為()A A、0 0 B B、1 1 C C、2 2 D D、3 3分析：由3x2xyy2-3x 2y = 0，配方得4

5、x2(x-3)2(x y)2(y2)2= 13當x _2時，左邊_4x2_1613當x 0時，左邊_(x-3)2-1613所以x = 0或 1 1當x=0時，代入原方程得y=0當x =1時，代入原方程得y =0或-3因此共有 3 3 組非負整數(shù)解. .3 3、分離整數(shù)法分析：由x_y 3=0,ax_y_a=0，得x=-_ - -1為整數(shù)1 -a1-a根據(jù)整除性質(zhì)，可知：1_a1,_2, _4，即a -一3,一1,0,2,3,5共 6 6 個值. .【例 5 5】求x(x_1) xy y =51的正整數(shù)解2x x 51(-x 2)(x 1) 49 / c、49解：原萬程可化為y(_x - 2)x

6、+1x+1x + 149因為x為正整數(shù)，且 竺 是整數(shù)，所以x1=7或 4949,即x=6或 4848X +1當x = 6時，y =3；當x =48時，y - -45 : 0舍去故所求正整數(shù)解(x, y) =(6,3)4 4、換元法4020【例 6 6】 已知：x, y為整數(shù)，且y =-；，求y的最大值為Jx+2009 -Jx -2011分析：原方程可化為y = Jx 2009x - 2011,令a二、x 2009, b二x-2011, 則y二a b(a2-b2=(x 2009)-(x-2011) = 40202.(a b)(a -b) =23 5 67因為(a b),(a -b)具有相同的奇

7、偶性，且都是正整數(shù) 故y =a b的最大值為2 3 5 67 =2010. .二、奇偶分析法【例 7 7】證明方程x2y2-8z =6無整數(shù)解. .分析：不妨設原方程有整數(shù)解，因為x2y2=68z為偶數(shù)，所以x, y具有相同的奇偶性若x, y都是偶數(shù)，令x=2a,y =2b，代入原方程，化簡，得2a2，2b2-4z=3，左右奇偶數(shù)不同,矛盾。若x, y都是奇數(shù)，令2a 1,2b 1，代入原方程，化簡，得a(a 1) b(b 121【例 4 4】已知x, y是整數(shù)，滿足x-y ,3=0, ax-y-a=0，則整數(shù)a的所有可能值有()個A.A. 4 4B.B. 5 5C.C. 6 6D.D. 8

8、8因為a(a 1),b(b 1)都是偶數(shù)，所以上式左邊為偶數(shù)，右邊奇數(shù)，矛盾綜上，原方程無整數(shù)解。【例 8 8】求x2- y=328的正整數(shù)解. .分析：顯然x = y，不妨設x . y 0，由于 328328 是偶數(shù)，故x, y的奇偶性相同，而 328328 能被 4 4 整除，偶數(shù) 的平方被 4 4除余 0 0，奇數(shù)的平方被 4 4 余 1 1 所以x, y都是偶數(shù). .設x =2a,y =2b，則a2b2=82，由a b 0,得b2：41，取b2= 1,4,9,16,25,36對應a2=81,78,73,66,57,46，故只能取a2=81,b2=1，即a =9,b=1由x, y的對稱性

9、，因此所求正整數(shù)解(x, y) =(18,2),(2,18). .三、構(gòu)造法如構(gòu)造一元二次方程， 利用根的判別式和韋達定理等性質(zhì)進行討論， 且當方程有整數(shù)解時，判別式為 完全平方式?！纠?9 9】已知a,b都是質(zhì)數(shù)，且a2-13a m = 0,b2-13b m = 0，求m的值. .分析：若a =b =2，貝U 4-26 m =0，即卩m=22；若a = b，則a,b可看作關(guān)于x的一元二次方程x2_13x m = 0的兩個根. .由韋達定理，得a b =13,ab = m而a,b都是質(zhì)數(shù)，由a b =13，故a,b的值只能是 2 2 或 1111，所以m = 22因此，所求m的值為 2 2 或

10、 22.22.【例 1010】已知a,b,c是整數(shù)，且滿足a b =3,c2-2c ab = -2，求a, b, c的值。分析： 由a b =3,ab=-c2 2c-2， 可構(gòu)造以a,b為根的一元二次程t2-3t - c2 2c - 2 = 0根據(jù)題意&=9-4(-c2 2c-2)=4c2-8c 1(22)213是一個完全平方式，因此存在非負整數(shù)k，使得(2c - 2)2 13 = k2，即k2-(2c - 2)2= 13”3k 3 7亠所以t，即a =5,b - -2，或a - -2,b =52 2故所求正整數(shù)(a,b,c) =(5,-2,4),( -2,5,4),(5, -2, -

11、2),( -2,5, -2)四、枚舉法【例 1111】方程x y 2010共有多少個正整數(shù)解？分析：當x二k(k =1,2,3, H 1,2008)時，y z =2010 -k，此時y可取 1 1 到(2009 -k),一共(2009 -k)個解. .又x可取 1 1 到 20082008,所以k 213Ik2c + 2 = 1亠k 2c-2 =1，或Ik2c + 2=13，解得7,c = 4、(2009 -k) =2009 2008 28 29=2017036個正整數(shù)解。k 42注：方程x y z =n(n N且n _ 3)的正整數(shù)解個數(shù)為:故原方程一共有n 2 (n _1 _k)二(n _

12、1)(n _2)k 1(n - 2)( n-1)2(n -2)(n-1)- 2思考：方程x y 2010的非負整數(shù)解共有多少個?【例 1212】求方程3x2 7xy-2x-5y-35 = 0的正整數(shù)解. .分析：2對于正整數(shù)x, y，由原方程得到y(tǒng) -7x 5因為x _1,y _1，所以3x2 2x 35 _7x 5，解得1乞x空2分別取x = 1和x = 2，得到y(tǒng) =17和y =3即所求的解為(x,y) =(1,17),(2,3)注：本題也可以通過分離整數(shù)法進行討論. .【例 1313】求方程5(xy - yz - zx) = 4xyz的正整數(shù)解(x,y, z)為多少組?1114分析：原方

13、程化為x y z 5 111143設x_y_z, ,由，得1:：x 4，所以x = 2,3. .x x y z 5 x11311132當x=2時，代入式，得丄丄由- -1-，y z10 y yz10 y得3：y：7 7，所以y =4,5,6將x = 2及y =4,5,6分別代入式，得到所求的解(x,y,z) =(2,4,20),(2,5,10)當x = 3時，代入式，同樣的方法可以推出，方程無整數(shù)解. .綜上，及x,y,z的對稱性，得到原方程有 1212 組正整數(shù)解. .六、無窮遞推法五、不等式分析法利用整數(shù)性或不等關(guān)系，確定出方程解的范圍5 5、方程xy|+|x + y|=1的有序整數(shù)解(x

14、,y)共有組. .【例 1414】試證明方程：x2y2z2= 2xyz無非零整數(shù)解. .分析：我們只需考慮x,y,z都是正整數(shù). .顯然x, y,z不能都是奇數(shù)，或一奇二偶，否則左邊為奇數(shù)，而右邊是偶數(shù)，矛盾。若x, y, z是二奇一偶，不妨設x = 2a 1, y = 2b 1, z = 2c,則方程左邊=x2y2z 4(a2a b2b c2) 2不是 4 4 的倍數(shù)，而右邊是因此x, y, z只能都是偶數(shù)，不妨設x = 2xi, y = 2%, z = 2z),代入原方程，得x-iyizi=4為葉乙.類似于前面的討論，可以證明x1, y1, zl都是偶數(shù)。如此繼續(xù)下去，我們可得到：x =

15、2k人，y = 2kyk, z = 2k厶由于上述過程可以無限地進行下去，因而k將無限地增大，即正整數(shù)Xk,yk,Zk將無限地小下去，這是不可能的。故原命題得證. .【針對性訓練題】A 組1 1、已知x, y滿足xy - x - y = 10，求整數(shù)x, y的值. .xy yz = 632 2、 方程組的正整數(shù)解的組數(shù)是()、xz + yz =23,A.A. 1 1 組 B.B. 2 2 組C.C. 3 3 組D.D. 4 4 組3 3、 已知關(guān)于x的一元二次方程x22(a 2b 3)x (a24b264 0無實數(shù)根,a,b的值. .24 4、已知a, b,c都是整數(shù)，且a -2b=4,ab

16、c -1=0，求a b c的值. .4 4 的倍數(shù)，矛盾。求滿足條件的正整數(shù)6 6、設自然數(shù)x, y滿足方程x319y = y3- 19x，其中x：y，則x y二_2 _ _7 7、 試確定一切有理數(shù)r，使得關(guān)于x的方程rx (r 2)x r -1=0有根且只有整數(shù)根B 組8 8、已知a, b,c都是正整數(shù)，且滿足29a 30b 31c 366，則a b c的值為()A.A. 1010 B.B. 1212 C.C. 1414 D.D. 16169 9、一直角三角形兩直角邊a,b均是整數(shù)，且滿足am 2，試求這個直角三角形的三邊長ab = 4m1010、 已知：a為自然數(shù)，且關(guān)于x的方程2x-a. 1-X-a 4 = 0至少有一個整數(shù)根，則為_ . .x + 3y 2z = 01111、 已知三個正整數(shù)x, y, z的最大公約數(shù)為 3 3,且滿足222，則x y z =2x -3y +z =01313、已知a, b, c均為整數(shù)，且恒有(x -a)(x -10) (x b)(x c)，則整數(shù)a =_a可能的值1212、已知a,b為整數(shù)，且滿足a2+b2-5a-6b-3c + 15 = 0a 3c - 4 = 0求abc的值. .2 11414、已知正整數(shù)x, y滿足a（a為正整數(shù)），求x, y的值. .x y1515、