極限的概念 函數(shù)的連續(xù)性

1、第二章.極限概念函數(shù)的連續(xù)性如果說對于函數(shù)的概念，我們總是能夠從日常直觀出發(fā)，就能很好地加以理解，因?yàn)楫吘挂蚬P(guān)系的觀念在我們的意識當(dāng)中是非常深根蒂固的。那么要真正嚴(yán)格地理解極限的觀念，就不是那么自然的了。對于極限的觀念，最為關(guān)鍵的問題是，極限的模糊形象是誰都有的，但是如何定量地加以描述，從而是可以應(yīng)用來作為一般的判別標(biāo)準(zhǔn)的呢？這個(gè)問題實(shí)際上困擾了人們幾百年，一直到19世紀(jì)才加以解決的。 數(shù)列的極限。數(shù)數(shù)是人類最原始的數(shù)學(xué)活動，應(yīng)該說，對于數(shù)數(shù)我們沒有更多的數(shù)學(xué)方面的分析可言的了，或者說至少從數(shù)學(xué)的角度而言，數(shù)數(shù)是一個(gè)足夠清楚而明確的行為。因此我們引入極限這么一個(gè)抽象概念就從數(shù)數(shù)開始

2、。最為主要的一種事物運(yùn)動變化的方式，是一種給人以連續(xù)性的感覺的變化。對于這樣的變化方式，我們可以有兩種研究方式，一是屬于物理學(xué)范疇的研究方式，就是說去探討事物變化發(fā)展中表現(xiàn)出來的連續(xù)性，究竟是一個(gè)什么樣的過程。另一種研究方式是并不考慮所謂連續(xù)性究竟是什么回事，而是首先人為地定義一種明確的可以定量處理的連續(xù)性，使得我們對于一般事物變化發(fā)展的描述都具有這種連續(xù)性的特點(diǎn)，并且總是在這種應(yīng)用當(dāng)中，隨時(shí)對實(shí)際過程與理論推理進(jìn)行驗(yàn)證與對比，從而得到使用這種人為連續(xù)性的觀念的合理性，一直到實(shí)驗(yàn)表明再也不能使用這個(gè)人為前提為止。確實(shí)，我們應(yīng)該學(xué)會承認(rèn)，當(dāng)我們對客觀事物進(jìn)行描述與分析時(shí)，肯定是要基于一些前提條件

3、或者說假設(shè)的，問題的關(guān)鍵，不是在于我們是不是應(yīng)該首先證明了這些前提的正確性，才能再來進(jìn)行隨后的工作，而是承認(rèn)任何的理論工作都只是相對的，是否有用必須經(jīng)過實(shí)驗(yàn)的證明才能決定?，F(xiàn)在我們的主要工作就是建立一個(gè)關(guān)于日常生活的連續(xù)性的嚴(yán)格表述。而這個(gè)概念是可以從我們進(jìn)行最為簡單的數(shù)數(shù)開始的。設(shè)存在一個(gè)數(shù)列，也就是一個(gè)數(shù)值的集合，這個(gè)集合的元素可以一個(gè)一個(gè)的數(shù)出來，同時(shí)，每一個(gè)元素都可以加上唯一的標(biāo)志，而自然數(shù)是最為適宜作這件工作的。比如說，把一個(gè)數(shù)列寫成這樣的樣子：，或者簡單地記成。顯然，可以想象，隨著我們的數(shù)數(shù)，這個(gè)數(shù)列的取值，就會發(fā)生某種變化，（當(dāng)然，對于總是取同一個(gè)數(shù)值的數(shù)列，我們沒有什么興趣。）

4、這種變化的過程應(yīng)該說是相當(dāng)明確而沒有任何含糊與抽象的地方。然后，我們來規(guī)定一種具有特定規(guī)律的數(shù)列變化過程：對于數(shù)列，假設(shè)存在一個(gè)確定的常數(shù)a，現(xiàn)在我們考慮變量（顯然這是一個(gè)反映數(shù)列數(shù)值變化的，隨著n而發(fā)生變化的變量。），如果我們?nèi)我庹业揭粋€(gè)數(shù)，無論它的數(shù)值有多么大或者多么小，我們總是能夠在這個(gè)數(shù)列當(dāng)中找到一個(gè)元素，使得在這個(gè)元素后面的所有的數(shù)列元素，都使得相應(yīng)的變量的數(shù)值小于，換一句話來說，就是，對于任意的，總是存在一個(gè)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，總是有成立，這時(shí)我們就把a(bǔ)稱為數(shù)列的極限。并且稱數(shù)列收斂于極限a。我們使用記號來表示這點(diǎn)。否則我們就說數(shù)列是發(fā)散的。這就是一個(gè)數(shù)列收斂于一個(gè)極限或者說

5、存在一個(gè)極限的定義。在這個(gè)定義里面，最為關(guān)鍵的地方，也是初學(xué)者最為困難的地方有兩個(gè)：1。數(shù)值是任意的。實(shí)際上也就是說，只要存在一個(gè)的數(shù)值不滿足定義的條件，就不能說數(shù)列收斂于極限a。這里初學(xué)者感到非常困難的地方是，我們是不是一定要對所有可能的都進(jìn)行檢驗(yàn)，才能得到最后的判斷呢？在實(shí)際問題當(dāng)中，由于我們的目的是希望知道變量是否越來越小，因此一般總是只要取大于0，并且足夠?。ㄒ院笪覀冊谟嘘P(guān)極限的定義當(dāng)中，總是先假設(shè)了這點(diǎn)，記住這點(diǎn)并非是必要的，而是方便的），當(dāng)然只是這樣還不能減少我們對的任意取值進(jìn)行驗(yàn)證的任務(wù)，關(guān)鍵在于，我們一般所處理的數(shù)列，總是按照某種特定的規(guī)律來變化或者說是按照某種特定的規(guī)律來定義

6、的，這樣一般從這個(gè)數(shù)列的變化規(guī)律本身，就可以足夠使得我們進(jìn)行判斷，并且還有可能找到一個(gè)特定的由決定的N的值，使得條件得到滿足，或者是可以找到反例。實(shí)際上本章的最困難的地方就是如何判斷一個(gè)數(shù)列是否存在極限，如果存在的話，又如何得到這個(gè)極限。這里最重要的方法是應(yīng)用不等式。不過，我們的課程在這個(gè)方面的要求并不是過高的，因此我們只是需要考慮一些比較簡單的例子，而我們的精力應(yīng)該集中在對于極限思想的理解。1 1滿足條件的n必須取遍所有大于N的自然數(shù)。初學(xué)者往往會覺得這是不可能的，實(shí)際上，我們并不需要對所有大于N的n值進(jìn)行檢驗(yàn)，同樣由于數(shù)列的變化是具有規(guī)律的，從生成數(shù)列本身的規(guī)律，我們一般總是能夠通過有限的

7、步驟，來得到所需要的判斷。那么究竟所謂生成數(shù)列的規(guī)律是什么呢？一般說來，一個(gè)數(shù)列的元素總是一個(gè)由變量n決定的函數(shù)，這里變量n取遍自然數(shù)，就生成了數(shù)列的全部項(xiàng)。這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式稱為通項(xiàng)的通項(xiàng)公式。不過通項(xiàng)公式有時(shí)候并非完全只是n的函數(shù)，而是同時(shí)由變量n和第n項(xiàng)之前的項(xiàng)所決定，這時(shí)，通項(xiàng)公式表現(xiàn)為一個(gè)遞推公式，這種情況的處理比較復(fù)雜，我們不過多的涉及。實(shí)際上對于上面的第二點(diǎn)，如果我們把希望得到的結(jié)論放弱一點(diǎn)，就還可以有第二種更為方便的說法，這就是相當(dāng)重要的柯西收斂原理：我們說數(shù)列收斂，它的充要條件是：對于任意的>0，總是存在正整數(shù)N，使得對于任意的自然數(shù)p和n>0，有成立。可以看到，在

8、這里對數(shù)列所進(jìn)行的檢驗(yàn)與極限的定義當(dāng)中對數(shù)列所進(jìn)行的檢驗(yàn)是存在一點(diǎn)差異的，就是在這里對數(shù)列進(jìn)行檢驗(yàn)，我們并不需要知道這個(gè)數(shù)列的極限究竟是多少，而通過檢驗(yàn)，我們也只是知道這個(gè)極限是否存在極限。而在極限的定義當(dāng)中，要對一個(gè)數(shù)列進(jìn)行檢驗(yàn)，實(shí)際上是預(yù)先假設(shè)知道了這個(gè)極限是多少，所謂的檢驗(yàn)只不過是證明這個(gè)數(shù)列的極限是否這個(gè)給出的極限值。因此，在實(shí)際問題當(dāng)中，應(yīng)用柯西原理是更為方便的檢驗(yàn)方法。在說明了一個(gè)數(shù)列的極限的含義以后，我們就可以得到一系列的這種極限過程的性質(zhì)如下：（1）數(shù)列以a為極限的另一個(gè)說法，或者說一個(gè)充要條件是：對于數(shù)列的任意一個(gè)子數(shù)列都以a為極限。這種說法一般并不是應(yīng)用于正面的結(jié)論，因?yàn)檫@

9、就意味著我們要取一個(gè)數(shù)列的任意子數(shù)列來進(jìn)行驗(yàn)證，這反而把事情搞復(fù)雜了，但一般說來更難以說明正面結(jié)論的判據(jù)，往往更易于說明反面結(jié)論，這也就是說，我們常常可以很方便地應(yīng)用這個(gè)判據(jù)來說明某個(gè)數(shù)列是發(fā)散的，因?yàn)?，我們只要能夠在一個(gè)數(shù)列里，構(gòu)造出一個(gè)發(fā)散的子數(shù)列，或者是構(gòu)造出兩個(gè)具有不同收斂極限的子數(shù)列，就可以說明這個(gè)數(shù)列是發(fā)散的。（2）如果兩個(gè)不同數(shù)列具有相同的極限：，而另外一個(gè)數(shù)列滿足條件：存在一個(gè)確定的自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，總是有成立，那么數(shù)列收斂，并且極限為c。這個(gè)性質(zhì)被稱為夾逼定理，常常用來求某個(gè)合適的數(shù)列的極限，前提是已知另外兩個(gè)數(shù)列的極限，并且這三個(gè)數(shù)列具有定理所要求的關(guān)系。（3）如

10、果我們把數(shù)列看成是以自然數(shù)為自變量的函數(shù)，那么就可以相應(yīng)地定義這個(gè)函數(shù)的有界性和單調(diào)性，這兩個(gè)概念是相當(dāng)直觀的，并且顯然可以知道一個(gè)收斂數(shù)列必然是有界的，因?yàn)榘凑帐諗康亩x，滿足的項(xiàng)總是有限的，因此總能夠得到一個(gè)確定的函數(shù)的界。反過來，則還必須加上一個(gè)條件：單調(diào)而且有界的數(shù)列必定存在極限。這是一個(gè)相當(dāng)重要的極限存在定理，因?yàn)橥卸ㄒ粋€(gè)數(shù)列的單調(diào)性和有界性是比較容易的。從這個(gè)定理可以得到一個(gè)條件比性質(zhì)（1）更弱，但結(jié)論一樣的極限存在定理：（4）如果數(shù)列的子數(shù)列和都收斂于同一個(gè)極限，那么數(shù)列也收斂于這個(gè)極限。顯然這個(gè)定理比性質(zhì)（1）所需要的條件更弱，但結(jié)論是一樣的，這是因?yàn)槲覀冞x取了特定的子數(shù)列

11、。（5）如果一個(gè)數(shù)列是由兩個(gè)收斂數(shù)列通過四則運(yùn)算得到的，那么這個(gè)數(shù)列的收斂性質(zhì)就完全由這兩個(gè)數(shù)列決定，這就是數(shù)列極限的四則運(yùn)算性質(zhì)：a其中k為實(shí)數(shù)；b；c；d，其中。 函數(shù)的極限。上面對于數(shù)列的討論，完全可以看成是對于一種最為簡單的函數(shù)的極限的討論，這里唯一的差別，就是一般的函數(shù)的取值往往是連續(xù)的，而數(shù)列的取值是可以用自然數(shù)計(jì)數(shù)的。這里數(shù)值的連續(xù)性，或者說實(shí)數(shù)的連續(xù)性，仍然是我們不清楚的概念，盡管這是一個(gè)微積分最為基本的概念，是我們下面討論的一個(gè)基礎(chǔ)，但是由于本課程的限制，我們不學(xué)習(xí)艱澀的實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)理論，因此從邏輯的角度來講，我們只能是預(yù)先承認(rèn)一種直觀上的連續(xù)性觀念，而實(shí)際上，這種直

12、觀觀念對于我們下面的學(xué)習(xí)，也是足夠了的。盡管數(shù)列的項(xiàng)是可以用自然數(shù)計(jì)數(shù)，但在數(shù)列的極限定義當(dāng)中，我們并沒有依賴于在實(shí)際的檢驗(yàn)當(dāng)中，進(jìn)行逐項(xiàng)的比較，也就是說，在極限的定義當(dāng)中，數(shù)列的這種離散取值形式是無關(guān)緊要的。我們?nèi)匀豢梢苑抡諗?shù)列的極限的定義，說明一個(gè)函數(shù)的極限的定義。不過我們還必須首先考慮一個(gè)函數(shù)與數(shù)列的形式方面的差別。我們知道，一個(gè)數(shù)列所表示的變化，是具有明確的自變量變化形式的，即隨著自然數(shù)的增大而變化，而一個(gè)一般函數(shù)所表達(dá)的，則只是一般的自變量與因變量的數(shù)值對應(yīng)，而并沒有更具體地要求指明自變量與因變量的變化過程是如何進(jìn)行的，函數(shù)的這種屬性，實(shí)際上也正是函數(shù)的抽象能力之所在。那么我們?nèi)绾慰?/p>

13、慮在一個(gè)函數(shù)所表達(dá)的變化過程當(dāng)中可能存在的極限現(xiàn)象呢？類似于數(shù)列的極限過程里面，自變量可以取得任意大一樣，在函數(shù)的極限過程里面，可以考慮自變量與某一個(gè)特定值的距離任意小。我們知道一個(gè)數(shù)列如果收斂，那么它的極限肯定是唯一的，這也可以說是極限概念之所以有意義的地方。而對于一個(gè)函數(shù)來說，同樣必須考慮自變量在一定的變化方向上的函數(shù)變化性質(zhì)，即如何定義函數(shù)的具有唯一性質(zhì)的極限。這里所謂自變量的變化方向，就是指自變量與某個(gè)特定值的距離任意小的意思。為了說明自變量與某個(gè)特定值的距離任意小這種函數(shù)變化的特定形式，我們定義一個(gè)特定的概念，就是鄰域的概念：對于確定的一個(gè)實(shí)數(shù)x，我們定義它的一個(gè)鄰域，是指一個(gè)開區(qū)間

14、這個(gè)開區(qū)間的特別之處在于可以看成是一個(gè)變量，并且一般是可以取任意小的數(shù)值的變量，因此這個(gè)開區(qū)間的特別之處在于，這個(gè)開區(qū)間的大小是可以任意地小。鄰域這個(gè)概念在下面函數(shù)的極限定義當(dāng)中具有關(guān)鍵的作用，希望同學(xué)們認(rèn)真加以體會。首先假設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，而在點(diǎn)上不一定需要有定義。如果存在一個(gè)確定的點(diǎn)A，而我們?nèi)绻↑c(diǎn)A的任意一個(gè)鄰域，都可以找到相應(yīng)的點(diǎn)的鄰域使得對于函數(shù)y=f（x）來說，只要自變量x屬于鄰域里，就有因變量y屬于鄰域，這樣我們就可以說當(dāng)函數(shù)自變量x趨向于點(diǎn)時(shí)，函數(shù)以A為極限，記成。我們也可以不使用鄰域是概念，直接使用實(shí)數(shù)之間距離的概念，以類似于數(shù)列極限的形式來說明函數(shù)的極限：

15、對于函數(shù)y=f（x），假設(shè)存在兩個(gè)確定的常數(shù)和A，現(xiàn)在我們分別考慮變量（這個(gè)變量反映了函數(shù)自變量和一個(gè)確定的點(diǎn)之間的距離）和（顯然這是一個(gè)反映函數(shù)數(shù)值變化的，隨著x而發(fā)生變化的距離變量。），如果我們?nèi)我庹业揭粋€(gè)數(shù)，無論它的數(shù)值有多么大或者多么小，我們總是能夠找到一個(gè)相應(yīng)的數(shù)，使得變量滿足時(shí)，都使得相應(yīng)的變量的數(shù)值小于，換一句話來說，就是，對于任意的，總是存在一個(gè)，使得當(dāng)時(shí)，總是有成立，這時(shí)我們就把A稱為函數(shù)f（x）在x趨向于x0時(shí)的極限。我們使用記號來表示這點(diǎn)。否則我們就說函數(shù)f（x）在x趨向于x0時(shí)是發(fā)散的。由于函數(shù)變化的連續(xù)性，使得函數(shù)的極限的概念比數(shù)列的極限的概念要顯得復(fù)雜，因此我們還可

16、以通過圖形的方式來加強(qiáng)理解。如下圖所示，我們可以分別觀察在X軸和Y軸上的取值情況?？梢钥吹?，在x的取值向x0接近的過程中，函數(shù)y=f（x）表現(xiàn)出了這么一種現(xiàn)象，就是在Y軸上存在一點(diǎn)A，無論我們?nèi)《嗝葱〉腁的一個(gè)鄰域，我們都總能至少找到x0的一個(gè)鄰域，使得在這個(gè)鄰域內(nèi)的所有函數(shù)值都處于我們?nèi)《说腁的那個(gè)鄰域內(nèi)，這就說明了函數(shù)在x趨向x0時(shí)，存在一個(gè)極限A。假如在x0的這個(gè)鄰域內(nèi)存在一點(diǎn)，使得函數(shù)值超出了A的那個(gè)鄰域，比如函數(shù)的圖形如圖中虛線所示，突出一個(gè)峰B點(diǎn)，那么我們總是還可以在繼續(xù)向x0接近的過程中，找到更小的鄰域滿足條件。注意，在圖中我們故意沒有使得也沒有使得盡管是實(shí)際問題當(dāng)中，我們可能

17、常常這么取，但這并不是必須的。因?yàn)樵诙x當(dāng)中，只是要求一種存在性就可以了。另外在圖中，我們也可以看到，極限的存在并不要求函數(shù)在x0是有定義的，只要函數(shù)能夠無限地接近這點(diǎn)就可以了。從圖形當(dāng)中我們可以體會到，函數(shù)在某點(diǎn)存在極限，反映的是函數(shù)在這點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，這里附近的意思是指與任何確定距離處函數(shù)的性質(zhì)無關(guān)，就好象圖中虛線所示，無論函數(shù)如何變化，只要這種變化被限制在確定的距離處，就不影響函數(shù)在這點(diǎn)處的極限性質(zhì)。實(shí)際上，函數(shù)在這點(diǎn)是否具有這個(gè)極限性質(zhì)，是分析函數(shù)在這點(diǎn)的行為的一個(gè)強(qiáng)大工具。后面的學(xué)習(xí)當(dāng)中，我們能夠進(jìn)一步體會到，判斷一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)處是否具有極限，是表示函數(shù)在這點(diǎn)行為的重要特征。

18、60;函數(shù)的單側(cè)極限，左右極限，函數(shù)的分段點(diǎn)處的極限。在前面的圖形說明當(dāng)中，我們可以看到，函數(shù)自變量的取值趨向某個(gè)特定的點(diǎn)，還可以取特定的方向，比方說只從左邊或者只從右邊接近特定的點(diǎn)，這在函數(shù)所表示的變化規(guī)律本身常常是允許的。這就自然地得到了單側(cè)極限的概念。根據(jù)自變量趨向某點(diǎn)的方向的左右，可以把單側(cè)極限分成兩種，即左極限與右極限。顧名思義，左極限就是在X軸上，自變量總是從左邊趨向特定的點(diǎn)，也就是說，自變量在趨向這個(gè)特定的值時(shí)，總是小于這個(gè)值；反之右極限就是在X軸上，自變量總是從右邊趨向特定的點(diǎn)，也就是說，自變量在趨向這個(gè)特定的值時(shí)，總是大于這個(gè)值。引入這個(gè)概念，首先在理論上具有重要的作用，這體

19、現(xiàn)在如下的定理當(dāng)中：一個(gè)函數(shù)在自變量趨向某點(diǎn)時(shí)具有極限A，這件事的另一個(gè)說法，或者說它的一個(gè)充要條件就是函數(shù)在這點(diǎn)的左右極限都存在，并且都是A。這個(gè)定理可以應(yīng)用于對很多函數(shù)在特定點(diǎn)的極限性質(zhì)的判斷，當(dāng)然一般是應(yīng)用于否定性的判斷，即通過很容易地得到函數(shù)在這個(gè)特定點(diǎn)的左右極限，由于它們不相等，而得到函數(shù)在這點(diǎn)不存在極限的結(jié)論。這個(gè)定理還具有另外一個(gè)方面的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，就是用于分析分段函數(shù)。我們知道分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的性質(zhì)是分段函數(shù)最為關(guān)鍵的地方，而對于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限性質(zhì)，就只有通過分別地考慮函數(shù)在分段點(diǎn)處的左右極限來得到。 無窮小量，無窮大量，無窮小量的階。在微積分的歷史上，一

20、種具有重要意義的極限過程，即無窮小量充當(dāng)了很關(guān)鍵的角色。而在理論的角度來看，這種極限過程也是非常有用的。所謂無窮小量就是這樣一種函數(shù)的極限過程，即當(dāng)函數(shù)自變量趨向于某個(gè)特定的值時(shí)，函數(shù)值本身趨向于0，直觀地說，也就是函數(shù)值要多小就有多小。更清楚地說明這點(diǎn)，就是：對于任意的，總是存在一個(gè)，使得當(dāng)時(shí)，總是有成立。這里的f（x）在x趨向于x0時(shí)，就是無窮小量。正如一個(gè)函數(shù)的極限和這個(gè)函數(shù)在這點(diǎn)的取值不能混為一談一樣，無窮小量和0不能混為一談。無窮小量是一種極限過程，可以理解為是“運(yùn)動物體”，而任何一個(gè)確定的數(shù)值，總是一個(gè)“靜止物體”。一個(gè)無窮小量可以達(dá)到和0無限地接近而總是不能取值為0，因?yàn)闃O限過程

21、畢竟表達(dá)的只是一個(gè)變量的變換過程。把無窮小量看成是以0為極限值的函數(shù)，則同樣可以對它進(jìn)行四則運(yùn)算，我們可以得到如下定理：（1） （1）     有限個(gè)無窮小量的和仍然是無窮小量。（2） （2）     有界函數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量。（3） （3）     常數(shù)和無窮小量的乘積是無窮小量。（4） （4）     有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量。 既然以0為極限的函數(shù)具有特定的研究價(jià)值，那么反過來，比方說無窮小量的倒數(shù)，是趨

22、向于無窮大的，也是具有一點(diǎn)價(jià)值的研究對象。這就是所謂無窮大量。類似地，我們可以定義無窮大量為當(dāng)函數(shù)自變量趨向于某個(gè)特定的值時(shí)，函數(shù)值本身趨向于無窮大，直觀地說，也就是函數(shù)值要多大就有多大。我們更清楚地說明這點(diǎn)，就是：對于任意的，總是存在一個(gè)，使得當(dāng)時(shí)，總是有成立。這里的f（x）在x趨向于x0時(shí)，就是無窮大量。 無窮小量最為重要的研究價(jià)值，體現(xiàn)在我們可以對它的趨向于0的“速度”進(jìn)行比較。這種比較的結(jié)果，就得到了階的概念。設(shè)在同一個(gè)極限過程當(dāng)中，和都是無窮小量，如果（1），那么關(guān)于就是高階無窮小量，反過來關(guān)于就是低階無窮小量。寫成。（2），那么和就是等階無窮小量，寫成。并且稱和互為主要部

23、分。（3），那么和就是同階無窮小量，寫成a。一般說來，如果存在常數(shù)A>0和B>0，使得成立，那么和就是同階無窮小量，寫成=O（）。（4）一般的無窮小量的比較，可以通過定義一個(gè)基本無窮小量，即定義函數(shù)x=x在x趨向于0時(shí)的x為基本無窮小量，則當(dāng)時(shí)，（k為正數(shù)。）稱為k階無窮小量。特別地，如果，那么和就是同階無窮小量，是等價(jià)的，并且稱是無窮小量的主要部分。應(yīng)用無窮小量的階的性質(zhì)，可以簡化極限計(jì)算與近似計(jì)算，下面是相關(guān)的一些定理：如果，其中，都不取0值，則（1）當(dāng)存在時(shí)，也一定存在，并且=。（2）如果存在，則=（3）如果存在，則=。這幾個(gè)定理都表明應(yīng)用等階無窮小量進(jìn)行替換，不會改變結(jié)果，

24、這樣就有可能用來進(jìn)行極限計(jì)算的簡化。（4）如果，則有和。反過來也成立。這個(gè)定理則是進(jìn)行近似計(jì)算的基本定理，即用主要部分代替一個(gè)變量，誤差為一個(gè)高階無窮小。 極限的四則運(yùn)算法則。在研究數(shù)列的極限時(shí)，我們已經(jīng)討論了數(shù)列極限的四則運(yùn)算性質(zhì)，對于函數(shù)的極限，具有同樣的性質(zhì)，因?yàn)檫@種運(yùn)算性質(zhì)只涉及到極限過程本身，與是數(shù)列還是函數(shù)無關(guān)。我們列出如下：首先假設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）都在自變量x趨向于x0時(shí)存在有限的極限，那么就有下面的運(yùn)算規(guī)則，（我們簡寫了極限符號，都是表示）：a其中k為實(shí)數(shù)；b；c；d，其中。注意這里函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則里面包括了減法，而數(shù)列的減法則沒有一般的運(yùn)算規(guī)則。函數(shù)除了通過四則

25、運(yùn)算進(jìn)行構(gòu)造以外，另一個(gè)重要的函數(shù)構(gòu)造途徑就是函數(shù)的復(fù)合，那么復(fù)合函數(shù)的極限與其組成函數(shù)的極限有什么關(guān)系呢？（1）設(shè)，；（2）設(shè)存在x0的一個(gè)去心鄰域。對于在這個(gè)鄰域內(nèi)的所有x都有，也就是說，在x趨向于x0的過程當(dāng)中，g（x）不會取值u0；在這兩個(gè)條件下，我們有這個(gè)法則對于我們求函數(shù)的極限是非常有用的，因?yàn)槌３Ｐ枰M(jìn)行變量代換，使得復(fù)雜函數(shù)變換為比較簡單的函數(shù)，從而得到所需要的極限。 極限存在的判別性質(zhì)。類似于數(shù)列極限的夾逼定理，同樣存在函數(shù)極限的夾逼定理：設(shè)兩個(gè)函數(shù)g（x）和h（x）在時(shí)，存在同一個(gè)極限A，而在x0的去心鄰域里，存在另一個(gè)函數(shù)f（x）滿足以下條件：，那么在時(shí)，f（x

26、）也存在極限A。在有關(guān)函數(shù)極限的問題當(dāng)中，記住重要的一點(diǎn)，就是函數(shù)的自變量只需要考慮在它所趨向的點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的定義即可。這個(gè)定理在某些條件下，可以應(yīng)用于求函數(shù)在某點(diǎn)的極限，即如果已知兩個(gè)具有簡單極限性質(zhì)的函數(shù)，和要考慮的函數(shù)具有上面不等式所要求的性質(zhì)，則可以直接得到所考慮函數(shù)的極限性質(zhì)。利用這個(gè)定理，可以得到重要的兩種形式的函數(shù)的極限。 兩個(gè)重要極限。對于這兩個(gè)極限，重要的是抓住它們的結(jié)構(gòu)特征：（1）。這個(gè)極限的結(jié)構(gòu)特征可以表示為：，也就是說，括號里的部分是無窮小量。這個(gè)極限可以應(yīng)用于求很多函數(shù)的極限。（2）這個(gè)極限的結(jié)構(gòu)特征可以表示為：也就是說，括號里的部分是無窮大量。這個(gè)極限同

27、樣可以應(yīng)用于求很多函數(shù)的極限。我們在后面的練習(xí)當(dāng)中，會遇到很多的例子。 函數(shù)的連續(xù)性，單側(cè)連續(xù)性。我們已經(jīng)提到過實(shí)數(shù)的連續(xù)性，不過實(shí)數(shù)的連續(xù)性是比較困難的概念，我們不要求掌握，至于這里的函數(shù)的連續(xù)性，則是另外一個(gè)概念，應(yīng)用極限作為工具，可以很好地加以說明。在上面的關(guān)于函數(shù)極限的圖形說明當(dāng)中，我們提到一個(gè)直觀問題，就是存在極限，就意味著隨著自變量趨向給定的點(diǎn)，我們希望函數(shù)值與極限值之間的距離有多小，就可以通過找到一個(gè)與給定點(diǎn)足夠接近的自變量值，使得這個(gè)自變量取值和給定點(diǎn)之間的所有的自變量取值所對應(yīng)的函數(shù)值，都與極限值之間的距離是足夠小的。針對我們關(guān)于函數(shù)連續(xù)的直觀觀念，我們討論下面的三

28、種情況：（1）如果函數(shù)在某點(diǎn)不存在有限的極限，那么函數(shù)在這點(diǎn)的表現(xiàn)肯定是不符合我們關(guān)于連續(xù)的直觀的。這也就是說，函數(shù)在這點(diǎn)存在極限，是函數(shù)在這點(diǎn)連續(xù)的必要條件。那么函數(shù)在這點(diǎn)存在極限是否就是在這點(diǎn)連續(xù)了的呢？（2）我們在討論函數(shù)極限時(shí)，強(qiáng)調(diào)了函數(shù)并不一定必須在這點(diǎn)是有定義的。如果函數(shù)在這點(diǎn)都沒有定義，那么顯然函數(shù)就不可能在這點(diǎn)是連續(xù)的了。（3）如果函數(shù)在這點(diǎn)是有定義的，而函數(shù)在這點(diǎn)的極限并不是函數(shù)在這點(diǎn)的函數(shù)值，那么可以想象，函數(shù)的圖形仍然不符合我們關(guān)于連續(xù)性的觀念。因此在直觀上，可以很容易地接受下面的連續(xù)性定義：我們說函數(shù)在某點(diǎn)是連續(xù)的，意思是說（1） （1）  

29、0;  函數(shù)在這點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義；（2） （2）     函數(shù)在這點(diǎn)存在極限；（3） （3）     函數(shù)在這點(diǎn)的極限等于函數(shù)在這點(diǎn)的函數(shù)值。上面的定義里，（2）（3）兩條還可以使用另外的說法，因?yàn)檫@里的關(guān)鍵實(shí)際上就是極限的概念。直觀地說，函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，就是函數(shù)值在極限值處的鄰域想要多小就可以多小，只需要我們?nèi)〗o定點(diǎn)的足夠小的鄰域即可得到相應(yīng)的足夠的函數(shù)值區(qū)間。精確地說，就是：我們說函數(shù)在某點(diǎn)處是連續(xù)的，意思是說（1） （1）     函數(shù)在這點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有

30、定義；（2） （2）     對于任意給定的，總是存在某個(gè)，使得只要，就可以得到相應(yīng)的，注意與極限定義相比，這里沒有要求大于0，而是存在等于0的情況。我們可以看到極限與連續(xù)存在緊密聯(lián)系，相應(yīng)于單側(cè)極限的概念是單側(cè)聯(lián)系，它正是通過單側(cè)極限來定義的：函數(shù)在某點(diǎn)存在左極限，并且左極限值等于函數(shù)在這點(diǎn)的因變量值，這稱函數(shù)在這點(diǎn)左連續(xù)；函數(shù)在某點(diǎn)存在右極限，并且右極限值等于函數(shù)在這點(diǎn)的因變量值，這稱函數(shù)在這點(diǎn)右連續(xù)。顯然函數(shù)在這點(diǎn)連續(xù)的一個(gè)充要條件就是函數(shù)在這點(diǎn)同時(shí)左連續(xù)與右連續(xù)，左右極限值都同時(shí)等于函數(shù)在這點(diǎn)的因變量值。同樣這種單側(cè)連續(xù)概念可以應(yīng)用于研究分段函數(shù)

31、。最后，我們可以看到，類似于極限性質(zhì)是一種局部性質(zhì)，這里定義的連續(xù)性同樣是函數(shù)在一點(diǎn)的局部性質(zhì)，只是依賴于函數(shù)在這點(diǎn)的某個(gè)鄰域的行為。而我們應(yīng)該已經(jīng)能夠體會到，鄰域概念本身就是一個(gè)表達(dá)一點(diǎn)的局部范圍的概念。那么對于一個(gè)函數(shù)，如果它在定義域的每一點(diǎn)都是連續(xù)的，則稱函數(shù)在它的定義域上都是連續(xù)的。 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，初等函數(shù)的連續(xù)性。非常類似于極限的運(yùn)算性質(zhì)，對于連續(xù)性，由于它的極限本質(zhì)，同樣存在相應(yīng)的四則運(yùn)算性質(zhì)和復(fù)合性質(zhì)：1設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）在x0處連續(xù)，則函數(shù)（1），其中a，b為任意常數(shù)；（2）；（3），其中g(shù)（x）不能等于0。都在x0處連續(xù)。2設(shè)函數(shù)u=g（x）在x0處連續(xù)

32、，函數(shù)y=f（u）在u0處連續(xù)，g（x0）= u0，那么函數(shù)y=fg（x）在x0處連續(xù)。有了這兩個(gè)基本定理，我們從基本初等函數(shù)的連續(xù)性開始，可以一步一步地得到初等函數(shù)的連續(xù)性，即任意初等函數(shù)在其定義域上的每一點(diǎn)處都是連續(xù)的。這個(gè)結(jié)論具有極其重要的價(jià)值。后面我們可以看到，初等函數(shù)的這個(gè)性質(zhì)使得我們對它們的處理大大簡化了。 間斷點(diǎn)及其分類。前面我們已經(jīng)把函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的意思概括為三點(diǎn)，那么相應(yīng)的，如果說一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)不連續(xù)，或者說發(fā)生了間斷，就必定是出現(xiàn)了三種情況之一：（1） （1）     函數(shù)在這點(diǎn)沒有定義；（2） （2）  

33、;   函數(shù)在這點(diǎn)不存在左右極限之一或左右極限都不存在；（3） （3）     函數(shù)在這點(diǎn)的左右極限與函數(shù)在這點(diǎn)的函數(shù)值至少有一個(gè)不相等。因此我們可以把函數(shù)發(fā)生間斷的情況分成三類：（1）函數(shù)在這點(diǎn)的左右極限都存在，并且相等，而與函數(shù)在這點(diǎn)的函數(shù)值不相等，或者函數(shù)在這點(diǎn)根本就沒有定義，我們知道，這在函數(shù)的極限定義里，是可以允許的。這種間斷點(diǎn)，由于只要通過重新定義函數(shù)在這點(diǎn)的函數(shù)值，就可以得到一個(gè)在這點(diǎn)連續(xù)的新的函數(shù)，因此稱為可去間斷點(diǎn)。（2）函數(shù)在這點(diǎn)的左右極限都存在，但不相等，這時(shí)無論函數(shù)在這點(diǎn)的函數(shù)值如何，都把這種間斷點(diǎn)稱為第一類間

34、斷點(diǎn)。（3）函數(shù)在這點(diǎn)的左右極限至少有一個(gè)不存在，這時(shí)，稱為第二類間斷點(diǎn)。對于這三類間斷點(diǎn)，我們必須擁有很好的直觀，因?yàn)閳D形直觀可以幫助我們直截了當(dāng)?shù)亟忸}。 閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，中值，最值。通過前面的學(xué)習(xí)，我們可以體會到，所謂函數(shù)的連續(xù)性，其實(shí)是保持一個(gè)連續(xù)區(qū)間的連續(xù)性的任意變換。而所謂區(qū)間的連續(xù)性，直觀地看，就是實(shí)數(shù)軸上面的一個(gè)線段區(qū)間，而函數(shù)的連續(xù)性，就正是體現(xiàn)在把X軸上面的一個(gè)連續(xù)線段區(qū)間，變換為Y軸上面的一個(gè)連續(xù)線段區(qū)間。對于所謂實(shí)數(shù)區(qū)間的連續(xù)性，我們只能從直觀的角度來把握，而不能作更進(jìn)一步的理論探討，因?yàn)檫@超出了本課程的范圍。不過基本的直觀對于我們下面的學(xué)習(xí)是足夠了的。對

35、于連續(xù)函數(shù)或者說連續(xù)變換來說，實(shí)數(shù)軸上面的閉區(qū)間具有非常重要的意義，首先我們給出一個(gè)基本定理：連續(xù)函數(shù)把一個(gè)有限閉區(qū)間變換為一個(gè)有限閉區(qū)間，或者說，定義在有限閉區(qū)間上面的連續(xù)函數(shù)的值域也是有限閉區(qū)間。從這個(gè)基本定理出發(fā)，我們可以從下面的幾個(gè)定理體會到閉區(qū)間對于連續(xù)函數(shù)的意義之所在：（1） （1）          定義在一個(gè)閉區(qū)間上面的連續(xù)函數(shù)，必定存在函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上面的最大值與最小值。這就是所謂最值定理。（2） （2）       

36、   定義在一個(gè)閉區(qū)間上面的連續(xù)函數(shù)，必定是有界的。這就是所謂有界性定理。（3） （3）          定義在一個(gè)閉區(qū)間a，b上面的連續(xù)函數(shù)f（x），對于滿足f（a）<c<f（b）的任意的c值，總是存在一個(gè)相應(yīng)的，使得這就是所謂介值定理。（4） （4）          定義在一個(gè)閉區(qū)間a，b上面的連續(xù)函數(shù)f（x），如果f（a）·f（b）<0，則總是存在一個(gè)，使得這就是所謂零值定理。（5） （5）          如果函數(shù)y=f（x）為在閉區(qū)間a，b上面嚴(yán)格單調(diào)增加（減?。┑倪B續(xù)函數(shù)，f（a）=A，f（b）=B，則在閉區(qū)間A，B上面存在f的反函數(shù)x=g（y）為嚴(yán)格單調(diào)減小（增加）。這實(shí)際上是極其基本的反函數(shù)存在定理。 二，答疑解難。1數(shù)列的極限的定義當(dāng)中，與N的取值是一一