人教a版必修1學(xué)案32函數(shù)模型及其應(yīng)用含答案_第1頁
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文檔簡介

1、3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用【入門向?qū)А肯胍幌??杰米是一個(gè)百萬富翁,一天,他碰到了一件奇怪的事一個(gè)叫韋伯的人對他說,我想和你訂個(gè)合同,在整整的一個(gè)月(30天)內(nèi),我每天給你10萬元,而你第一天只需給我1元錢,第二天給我2元錢,每天給我的錢是前一天的兩倍杰米非常高興,他同意訂這樣的合同同學(xué)們,按此合同,誰最終會(huì)獲利?(提示公式:2021222n1)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)三種函數(shù)模型的增長情況有什么區(qū)別?一般地,對于指數(shù)函數(shù)yax(a>1)和冪函數(shù)yxn(n>0),通過探索可以發(fā)現(xiàn),在區(qū)間(0,)上,無論n比a大多少,盡管在x的一定變化范圍內(nèi),ax會(huì)小于xn,但由于ax的增長快于xn的增

2、長,因此總存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),就會(huì)有ax>xn.同樣地,對于對數(shù)函數(shù)ylogax(a>1)和冪函數(shù)yxn(n>0),在區(qū)間(0,)上,隨著x的增長,logax增長得越來越慢,圖象就像是漸漸地及x軸平行一樣,盡管在x的一定變化范圍內(nèi),logax可能會(huì)大于xn,但是由于logax的增長慢于xn的增長,因此總存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),就會(huì)有l(wèi)ogax<xn.綜上所述,在區(qū)間(0,)上,盡管函數(shù)yax(a>1)、ylogax(a>1)和yxn(n>0)都是增函數(shù),但它們的增長速度不同,而且不在同一個(gè)“級別”上,隨著x的增大,yax(a&g

3、t;1)的增長速度越來越快,會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于yxn(n>0)的增長速度,而ylogax(a>1)的增長速度則會(huì)越來越慢,因此,總會(huì)存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),就會(huì)有l(wèi)ogax<xn<ax.常見的數(shù)學(xué)模型有哪些?利用具體函數(shù)解決綜合問題是我們需要關(guān)注的,具體函數(shù)的運(yùn)用在生活中有很多體現(xiàn),在學(xué)習(xí)完函數(shù)這部分內(nèi)容以后,重點(diǎn)運(yùn)用一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)來解決問題下面是幾種常見的數(shù)學(xué)模型:1一次函數(shù)模型:f(x)kxb(k、b為常數(shù),k0);2反比例函數(shù)模型:f(x)b(k、b為常數(shù),k0);3二次函數(shù)模型:f(x)ax2bxc(a、b、c為

4、常數(shù),a0);注意二次函數(shù)模型是高中階段應(yīng)用最為廣泛的模型,在高考的應(yīng)用題考查中最為常見4指數(shù)函數(shù)模型:f(x)abxc(a、b、c為常數(shù),a0,b>0,b1);5對數(shù)函數(shù)模型:f(x)mlogaxn(m、n、a為常數(shù),a>0,a1);說明隨著新課標(biāo)的實(shí)施,指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型將會(huì)起到越來越重要的作用,在高考的舞臺(tái)上將會(huì)扮演愈來愈重要的角色6冪函數(shù)模型:f(x)axnb(a、b、n為常數(shù),a0,n1);7分段函數(shù)模型:這個(gè)模型實(shí)則是以上兩種或多種模型的綜合,因此應(yīng)用也十分廣泛函數(shù)應(yīng)用舉例函數(shù)應(yīng)用題是函數(shù)知識的綜合運(yùn)用,涉及到的知識面很廣,這里主要對一、二次函數(shù)及分段函數(shù)的應(yīng)用舉例分析

5、,希望能對同學(xué)們有所幫助一、建立函數(shù)解析式,解決幾何問題例1 現(xiàn)有100米長的籬笆材料,利用一面長度夠用的墻作為一邊,圍成一個(gè)矩形的豬圈,問此矩形的長、寬各為多少時(shí),豬圈的面積最大?最大為多少?分析如圖要求出矩形的面積就要知道矩形長及寬,籬笆材料的長共為100米,因此可假設(shè)寬為x米,則矩形的長就可以表示出來,這樣就可以得到面積S關(guān)于x的解析式解如右圖,設(shè)矩形豬圈的寬為x米,則長為(1002x)米,于是Sx(1002x)2x2100x2(x25)21 250(0<x<50)這是二次函數(shù)的一部分,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)x25(米)時(shí),面積S最大,最大值為1 250(平方米),此時(shí)矩形的

6、長為1002×2550(米)答當(dāng)矩形的長及寬分別為50米、25米時(shí),面積最大,最大為1 250平方米二、由表格確定函數(shù)解析式,解決實(shí)際問題例2 某公司今年一月份推出一種新產(chǎn)品,成本價(jià)為每件492元,經(jīng)試銷調(diào)查,銷售量及銷售價(jià)的關(guān)系如下表:銷售價(jià)x(元/件)650662720800銷售量y(件)350333281200由此可知,銷售量y及銷售價(jià)格x的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)ykxb(通常取表中相距較遠(yuǎn)的兩組數(shù)據(jù)所得的一次函數(shù)較為精確)試問:銷售價(jià)定為多少時(shí),一月份利潤最大?并求最大利潤和此時(shí)的銷售量分析首先要根據(jù)表格確定銷售量y及銷售價(jià)格x的關(guān)系式,進(jìn)一步才能確定利潤解由題意及表格可得當(dāng)

7、x650時(shí),y350;當(dāng)x800時(shí),y200.將它們代入ykxb,可得解得即銷售量y及銷售價(jià)格的關(guān)系式為yx1 000(0x1 000)設(shè)一月份的利潤為P,則由題意可得Py(x492)(x1 000)(x492)x21 492x492 000(x746)264 516(0x1 000)這是二次函數(shù)的一部分,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)x746(元/件)時(shí),利潤最大,最大值為64 516(元),此時(shí)的銷售量為y254(件)答銷售價(jià)定為746元時(shí),一月份利潤最大,最大利潤為64 516元,此時(shí)的銷售量為254件三、分段函數(shù)的應(yīng)用例3 某單位決定住公房的職工必須按基本工資的高低交納建房公積金,辦法如下:每

8、月工資公積金1 000以下不交納1 000元至2 000元交納超過1 000元部分的5%2 000元至3 000元1 000元至2 000元部分交納5%2 000元至3 000元部分交納10%3 000元以上1 000元至2 000元部分交納5%2 000元至3 000元部分交納10%3 000元以上的部分交納15%(1)設(shè)職工每月工資為x元,交納公積金后實(shí)得y元,求y及x之間的關(guān)系式;(2)張某的月工資為2 400元,則他應(yīng)交納多少的公積金分析本題意為工資中要扣除公積金,由表可得分了四段,每一段交納的方式不相同,因此我們一段一段地來分析解(1)當(dāng)0<x1 000元時(shí),不交納公積金,即y

9、x;當(dāng)1 000<x2 000時(shí),交納超過1 000元的部分的5%,即y1 000(x1 000)(10.05)0.95x50.同理可得當(dāng)2 000<x3 000時(shí),交納公積金后實(shí)得y0.9x150;當(dāng)x>3 000時(shí),交納公積金后實(shí)得y0.85x300.所以所求函數(shù)的表達(dá)式為y(2)張某的月工資為2 400元,則他實(shí)得y2 400×0.91502 310(元),因此他交納的公積金為2 400231090(元)答張某應(yīng)交納公積金90元函數(shù)模型建立過程中的常見錯(cuò)誤解答函數(shù)應(yīng)用問題時(shí),要分四步進(jìn)行:第一步:閱讀、理解;第二步:建立數(shù)學(xué)模型,把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;第三

10、步:解答數(shù)學(xué)模型,求得結(jié)果;第四步:把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體問題的結(jié)論,做出解答而這四步中,最為關(guān)鍵的是把第二步處理好只要把數(shù)學(xué)模型建立妥當(dāng),所有的問題即可在此基礎(chǔ)上迎刃而解但是,很多同學(xué)在建模過程中忽視了一些細(xì)節(jié),導(dǎo)致“滿盤皆輸”一、忽視實(shí)際意義出錯(cuò)例4 生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本,它可以表示為商品數(shù)量的函數(shù)現(xiàn)知一企業(yè)生產(chǎn)某種商品的數(shù)量為x(件)時(shí)的成本函數(shù)為y102x2x2(萬元),若售出一件商品的價(jià)格是20萬元,那么該企業(yè)所能獲取的最大利潤是多少?錯(cuò)解設(shè)該企業(yè)所能獲取的最大利潤為z(萬元),則z20x(102x2x2),即z2x218x102(x4.5)230.5,故z的最大值

11、為30.5,即該企業(yè)所能獲取的最大利潤為30.5萬元剖析同學(xué)們,你認(rèn)為以上解答出現(xiàn)了什么問題?應(yīng)該怎樣進(jìn)行修正呢?題目中的條件已經(jīng)暗示了x為自然數(shù),而該錯(cuò)解中卻是在x4.5時(shí)取到的最大值30.5,這種情況在實(shí)際中是無法操作的正解設(shè)該企業(yè)所能獲取的最大利潤為z(萬元),則z20x(102x2x2)(xN),即z2x218x102(x4.5)230.5,故當(dāng)x4或5時(shí),z取最大值30,即該企業(yè)生產(chǎn)4件或5件商品時(shí)所取得的利潤最大,為30萬元二、因讀題不精而出錯(cuò)例5 已知甲、乙兩物體在同一直線上向同一方向作勻速直線運(yùn)動(dòng),其位移y(km)和運(yùn)動(dòng)時(shí)間x(h)(0x5)的關(guān)系如圖所示,給出以下說法:甲、乙

12、運(yùn)動(dòng)的速度相同,都是5 km/h;甲、乙運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同,開始移動(dòng)后相等時(shí)間內(nèi)甲的位移比乙大;甲、乙運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同,乙的速度是4 km/h;當(dāng)甲、乙運(yùn)動(dòng)了3小時(shí)后,甲的位移比乙大3 km,但乙在甲前方2 km處其中正確的說法是()A B C D錯(cuò)解和一定是一對一錯(cuò),經(jīng)分析,是對的;對于,因?yàn)橐业膱D象在甲的上方,所以應(yīng)是甲的位移比乙小,故錯(cuò)誤;對于,當(dāng)甲、乙運(yùn)動(dòng)了3小時(shí),甲的位移為3×515(km),乙的位移為53×417(km),故錯(cuò)誤故選A.剖析錯(cuò)因在于未讀懂圖象,從而作出錯(cuò)誤判斷對于,不能依據(jù)圖象的位置判斷位移大小,要經(jīng)計(jì)算判斷;對于,乙的位移計(jì)算錯(cuò)誤正解和一定是一對一錯(cuò)

13、,經(jīng)分析是對的;對于,甲、乙運(yùn)動(dòng)的時(shí)間顯然都是5小時(shí),因?yàn)榧椎乃俣葹? km/h,乙的速度為4 km/h,所以開始移動(dòng)后相等時(shí)間內(nèi)甲的位移比乙大,故正確;對于,當(dāng)甲、乙運(yùn)動(dòng)了3小時(shí),甲的位移為3×515(km),乙的位移為3×412(km),又因?yàn)橐沂菑募浊胺? km處開始運(yùn)動(dòng)的,所以甲的位移比乙大3 km,但乙在甲前方2 km處,所以正確故選D.點(diǎn)評對于圖象題,同學(xué)們一定要認(rèn)真觀察,仔細(xì)分析,切實(shí)理解其真實(shí)含義和實(shí)際背景三、因主觀性太強(qiáng)而致錯(cuò)例6 如圖所示,圓弧型聲波DFE從坐標(biāo)原點(diǎn)O向外傳播若D是DFE及x軸的交點(diǎn),設(shè)ODx(0xa),圓弧型聲波DFE在傳播過程中掃過平

14、行四邊形OABC的面積為y(圖中陰影部分),則函數(shù)yf(x)的圖象大致是()錯(cuò)解觀察圖1可知,聲波掃過的面積先增大后減小,故正確答案為B.剖析本題的錯(cuò)誤很明顯,y指的是聲波掃過的總面積,不是發(fā)展趨勢,所以掃過的面積始終是增大的,上述判斷是因主觀性太強(qiáng)而致錯(cuò)正解從題目所給的背景圖形中不難發(fā)現(xiàn):在聲波未傳到C點(diǎn)之前,掃過圖形的面積不斷增大,而且增長得越來越快當(dāng)?shù)竭_(dá)C點(diǎn)之后且離開A點(diǎn)之前,因?yàn)镺ABC,所以此時(shí)掃過圖形的面積呈勻速增長當(dāng)離開A點(diǎn)之后,掃過圖形的面積會(huì)增長得越來越慢,所以函數(shù)圖象剛開始應(yīng)是下凹的,然后是一條上升的線段,最后是上凸的故選A.點(diǎn)評函數(shù)圖象的凸凹性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì),其一般

15、規(guī)律是:上凸函數(shù)圖象若減,則從左到右減得越來越快;若增,則從左到右增得越來越慢;下凹函數(shù)圖象正好相反錯(cuò)誤總是垂青于那些基礎(chǔ)知識不扎實(shí)、思維不嚴(yán)謹(jǐn)、解題不認(rèn)真的人,讀完本文,希望同學(xué)們能知道怎樣遠(yuǎn)離錯(cuò)誤求解實(shí)際問題四策略實(shí)際問題一般文字?jǐn)⑹鲚^長、背景新穎、涉及知識面廣很多同學(xué)在應(yīng)用題面前束手無策,有的讀不懂題意、有的不會(huì)分析這里向同學(xué)們介紹求解實(shí)際問題的四種思路,望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助一、抓常規(guī),亂中找序?qū)嶋H問題往往及生活聯(lián)系密切,無論多么復(fù)雜的問題,總存在著生活中的常規(guī)現(xiàn)象,抓住它,就在紛亂的條件中找到了“頭序”,問題就能迎刃而解例1 某商店將每個(gè)進(jìn)價(jià)為10元的商品,按每個(gè)18元銷售時(shí),每天

16、可賣出60個(gè)經(jīng)調(diào)查,若將這種商品的售價(jià)(在每個(gè)18元的基礎(chǔ)上)每提高1元,則日銷售量就減少5個(gè),若將這種商品的售價(jià)(在每個(gè)18元的基礎(chǔ)上)每降低1元,則日銷售量就增加10個(gè)為獲得每日最大利潤,此商品售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)多少元?分析“總利潤銷售量×單個(gè)利潤”這是生活中的常規(guī),從這里入手我們先設(shè)每個(gè)售價(jià)為x元,每日利潤為y元解若x18(即提價(jià)),銷售量為605(x18),單個(gè)利潤為x10,那么每日利潤為y605(x18)(x10)5(x20)2500,顯然當(dāng)售價(jià)定為每個(gè)20元時(shí),利潤最大,其最大利潤為500元若x<18(即降價(jià)),銷售量為6010(18x),單個(gè)利潤為x10,那么每日利潤

17、為y6010(18x)(x10)10(x17)2490,顯然當(dāng)售價(jià)定為每個(gè)17元時(shí),利潤最大,其最大利潤為490元比較知,商品售價(jià)定為每個(gè)20元,每日利潤最大二、抓重點(diǎn),以綱帶目實(shí)際問題的一大特點(diǎn)是:信息量大、文字?jǐn)⑹鲚^長,有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)很多數(shù)據(jù),面對這些信息要善于找主要矛盾,抓重點(diǎn),以綱帶目例2 某市用水收費(fèi)的方法是:水費(fèi)基本費(fèi)超額費(fèi)損耗費(fèi)若每月用水量不超過最高限量a立方米,只付基本費(fèi)8元和每戶每月的定額損耗費(fèi)c元;若用水量超過a立方米,除了付同上的基本費(fèi)和損耗費(fèi)外,超過部分每立方米付b元的超額費(fèi),已知每戶每月的定額損耗費(fèi)不超過5元該市一家庭今年第一季度的用水量和支付的費(fèi)用如下表所示.月份用水

18、量(立方米)水費(fèi)(元)一99二1519三2233根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)求a、b、c的值分析抓住“超過及不超過最高限量的付費(fèi)方式不同”這一重點(diǎn),想到用分段函數(shù)表示用水量及水費(fèi)之間的函數(shù)關(guān)系解設(shè)用水量為x立方米,支付費(fèi)用為y元,則y由0<c5,得8<8c13,因此,第二、三兩月的用水量超過最高限量由得b2且2ac19.再分析限量a,若a<9,由82(9a)c9,得2ac17及2ac19矛盾,因此a9.此時(shí),由8c9,得c1,所以a10.故a10,b2,c1.三、抓概念,深入理解實(shí)際問題一般都會(huì)伴有新概念、新術(shù)語的產(chǎn)生,面對這些新概念、新術(shù)語,我們必須抓住它們,通過對它們的全面分析,使我

19、們能準(zhǔn)確地把握題意,從而進(jìn)行正確求解例3 某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定投入)為0.5萬元,每生產(chǎn)100臺(tái),需要加可變成本(即另增加投入)0.25萬元市場對此產(chǎn)品的年需求量為500臺(tái),銷售的收入函數(shù)為R(x)5x(萬元)(0x5),其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位:百臺(tái))則年產(chǎn)量為多少時(shí),工廠所得利潤最大?解當(dāng)0x5時(shí),L(x)4.75x0.5,當(dāng)x4.75時(shí),L(x)max10.781 25萬元當(dāng)x>5時(shí),L(x)120.25x為減函數(shù),此時(shí)L(x)<10.75(萬元)生產(chǎn)475臺(tái)時(shí)利潤最大四、用草圖,顯現(xiàn)關(guān)系例4 某工廠在甲、乙兩地的兩個(gè)分廠各生產(chǎn)某種機(jī)器12臺(tái)和6臺(tái),現(xiàn)銷售

20、給A地10臺(tái),B地8臺(tái)已知從甲地調(diào)運(yùn)1臺(tái)至A地、B地的運(yùn)費(fèi)分別為400元和800元,從乙地調(diào)運(yùn)1臺(tái)至A地、B地的運(yùn)費(fèi)分別為300元和500元(1)若總運(yùn)費(fèi)不超過9 000元,問共有幾種調(diào)運(yùn)方案?(2)求出總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案及最低的運(yùn)費(fèi)解畫一個(gè)草圖,如圖所示,設(shè)從甲地運(yùn)x臺(tái)到A地,那么甲地的另12x臺(tái)運(yùn)往B地由于A地購10臺(tái),因此,尚需從乙地運(yùn)去10x臺(tái),乙地的另6(10x)臺(tái)運(yùn)往B地設(shè)總運(yùn)費(fèi)為y,則y400x800(12x)300(10x)5006(10x)200x10 600.(1)由y9 000,即200x10 6009 000,得x8.由于甲地有12臺(tái),A地需要10臺(tái),因此有三種調(diào)運(yùn)方

21、案,即從甲地運(yùn)8臺(tái)、9臺(tái)或10臺(tái)到A地(2)由于y200x10 600為減函數(shù),又8x10,因此,當(dāng)x10時(shí),運(yùn)費(fèi)最低,最低運(yùn)費(fèi)為8 600元.函數(shù)應(yīng)用問題中的創(chuàng)新考點(diǎn)分析新課標(biāo)加大了對應(yīng)用問題的考查,近幾年各類考試中函數(shù)的應(yīng)用問題也正悄然變化,對情境文字及圖形的結(jié)合的考查增多,下面舉例說明1(廣州模擬)某民營企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查及預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤及投資成正比,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤及投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2(注:利潤及投資單位:萬元)圖1圖2(1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式,并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式;(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全

22、部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元投資,才能使企業(yè)獲得最大利潤,其最大利潤約為多少萬元?(精確到1萬元)解(1)設(shè)A產(chǎn)品的利潤y1(萬元)及投資x(萬元)之間的關(guān)系式為y1axb(a0),由x1,y10.25和x1.8,y10.45,得ab0.25,1.8ab0.45,a0.25,b0,y10.25x.設(shè)B產(chǎn)品的利潤y2(萬元)及投資x(萬元)之間的關(guān)系式為y2k(k0),由x4,y22.5,得k1.25.y21.25 .所以A、B兩種產(chǎn)品利潤及投資的函數(shù)關(guān)系式分別為y10.25x,y21.25 .(2)設(shè)將10萬資金投資B產(chǎn)品x萬元,A產(chǎn)品(10x)萬元,則利潤y0.25(10x)1.25 .令t,xt2.y0.25t21.25t2.50.25(t25t)2.50.25(t2.5)24.062 5.又0x10,t0,當(dāng)t2.5時(shí),即x6.25時(shí),y取得最大值ymax4.062 5,106.253.75.所以,當(dāng)投資A產(chǎn)品約4萬元,B產(chǎn)品約6萬元

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