必修四平面向量知識(shí)點(diǎn)與題型歸納總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上必修四平面向量知識(shí)點(diǎn)與題型歸納梳理平面向量的基本概念與線性運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1平面向量的線性運(yùn)算運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫作a與b的差aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時(shí)，a與a的方向相同；當(dāng)0，點(diǎn)P在線段AB上，且有t(0t1)，則的最大值為()Aa B2a C3a Da2【答案】t，t()(1t)t(aat，at)，a2(1t)，0t1，0a2.17已知點(diǎn)O為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且222222，則O一定為ABC的()

2、A外心 B內(nèi)心 C垂心 D重心【答案】由2222，得2()22()2，0.O在邊AB的高線上同理，O在邊AC，BC的高線上，則O為ABC的垂心故選C.18如圖，在矩形ABCD中，AB，BC2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若，則的值是_【解析】方法一：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(，0)，D(2，0)，E(，1)，設(shè)F(x，2)，(x，2)，(，0)，x，x1，F(xiàn)(1，2)，(，1)(1，2).方法二：|cosBAF，|cosBAF1，即|1，|1，()()(1)(1)121.19在三角形ABC中，是線段上一點(diǎn)，且，為線段上一點(diǎn)（1）設(shè)，設(shè)，求；

3、.（2）求的取值范圍；（3）若為線段的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，求【解析】（1）而，（2）在三角形中， ，不妨設(shè)，式，（3）為線段的中點(diǎn)不妨設(shè),，、M、D三點(diǎn)共線即，20設(shè)向量，是不共線的非零向量，且向量，（1）證明：可以作為一組基底；（2）以為基底，求向量的分解式；（3）若，求，的值【解析】（1）證明：若共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，即由，不共線，得不存在，故不共線，可以作為一組基底（2）設(shè)，則，不共線，（3）由，得，共線，,故所求，的值分別為3和1平面向量的應(yīng)用舉例（一）平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的求解策略：（1）進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量

4、，三角形的中位線及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)（2）向量的線性運(yùn)算類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用（3）用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧：觀察各向量的位置；尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；運(yùn)用法則找關(guān)系；化簡(jiǎn)結(jié)果.例1.（1）.【2018年高考全國(guó)I卷理數(shù)】在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則ABCD【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得 ，所以.故選A.（2）.【廣東省2019屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題】已知中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則ABCD【解析】由點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，可得2，由，可得2（）4，即

5、2（）+12，可得6，即，故選D【名師點(diǎn)睛】本題考查向量的中點(diǎn)表示，以及向量的加減運(yùn)算和向量共線定理的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題解答時(shí)，由向量的中點(diǎn)表示和加減運(yùn)算、以及向量的共線定理，即可得到結(jié)論【變式訓(xùn)練1】【湖師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三數(shù)學(xué)試題】如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，則 A BCD 【解析】根據(jù)題意得：，又，所以.故選D.【變式訓(xùn)練2】如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量、，的模分別為1，1，與的夾角為，且，與的夾角為，若， 則的值為_(kāi)【解析】由可得，根據(jù)向量分解易得：，即，解得 所以（2） 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（平行與垂直）：例2【福建省寧德市20

6、19屆高三畢業(yè)班第二次（5月）質(zhì)量檢查考試數(shù)學(xué)試題】若已知向量，若，則的值為ABCD【解析】向量，且，即，故選D.【變式訓(xùn)練】已知非零向量滿足，且，則的夾角為ABCD【解析】，且， ，且，又，故選D（三）平面向量數(shù)量積的類(lèi)型及求法：（1）平面向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式.（2）求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn).（3）兩個(gè)應(yīng)用：求夾角的大?。喝鬭，b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得(夾角公式)，所以平面向量的數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)角度的問(wèn)題確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明不

7、共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角.例3（1）.【2019年高考天津卷理數(shù)】在四邊形中，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則_【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，DAB=30，則，.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為.由得，所以.所以.（2）.【山東省煙臺(tái)市2019屆高三3月診斷性測(cè)試（一模)數(shù)學(xué)試題】在矩形中，,若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則A4B3C2D1【解析】由題意作出圖形，如圖所示：由圖及題意，可得：，.故選：C【變式訓(xùn)練1】如圖，已知等腰梯形中，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是AB0CD1【解析】由等腰梯形的知識(shí)可知

8、，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值故選A（四）平面向量的模及其應(yīng)用的類(lèi)型與解題策略：（1）求向量的模解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)注意模的計(jì)算公式，或坐標(biāo)公式的應(yīng)用，另外也可以運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算公式列方程求解（2）求模的最值或取值范圍解決此類(lèi)問(wèn)題通常有以下兩種方法：幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍（3）由向量的模求夾角對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題的求解，其實(shí)質(zhì)是求向量模方法的逆運(yùn)用.例4【山東省安丘市、諸城市、五蓮縣、蘭山區(qū)2019屆高三5月校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題】已知，且，則向量在方向上的投影的數(shù)量為A

9、1BCD【解析】由得，所以，所以向量在方向上的投影的數(shù)量為，故選D.【變式訓(xùn)練1】已知向量滿足，且在方向上的投影是，則實(shí)數(shù)AB2CD【解析】因?yàn)橄蛄繚M足，所以，設(shè)向量的夾角為，則，所以，即，解得.故選A.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量的投影及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:（1）求向量的夾角， （此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）若向量垂直，則；（4）求向量的模（平方后需求）.【變式訓(xùn)練2】已知向量滿足，與垂直，則的最小值為ABCD【解析】由題意知與垂直，則，可得又由，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值1故選B（五）向量

10、與平面幾何綜合問(wèn)題的解法：（1）坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決（2）基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來(lái)進(jìn)行求解例5、已知向量a，b，c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a，b是夾角為60的兩個(gè)單位向量若向量c滿足c(a2b)5，則|c|的最小值為 【解析】解法1（基向量和定義法）：因?yàn)?，設(shè)c與a2b的夾角為，由c(a2b)5得：5，即，所以，當(dāng)時(shí)，|c|的最小值為.解法2（坐標(biāo)法）：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè) a，b，c，因?yàn)閏(a2b)5，所以，即，所以點(diǎn)為直

11、線上的動(dòng)點(diǎn)，又|c| （為坐標(biāo)原點(diǎn)），所以|c|的最小值即為坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離，即|c|.【變式訓(xùn)練1】在ABC中，AB3，AC2，BAC120，.若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)【解析】解法1(基底法) 因?yàn)?)(1)，所以(1)()|2(1)|2(12)49(1)(12)23cos1201912，解得.題型六 平面向量數(shù)量積中的隱圓問(wèn)題通過(guò)建系運(yùn)用相關(guān)點(diǎn)法即可求得點(diǎn)的軌跡方程，通過(guò)點(diǎn)的軌跡方程發(fā)現(xiàn)其軌跡是一個(gè)圓，接下來(lái)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值問(wèn)題，那就簡(jiǎn)單了一般與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題，往往運(yùn)用軌跡思想，首先探求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，在了解其軌跡的基礎(chǔ)上一般可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓的關(guān)系或直線與圓的關(guān)

12、系或兩圓之間的關(guān)系例6、已知ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)P是以A為圓心的單位圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足，則|的最小值是_. 【解析】以A為原點(diǎn)，AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則(3，0)，設(shè)Q(x，y)，P(x，y)，由，得，即所以?xún)墒狡椒较嗉拥?2(x2y2)，因?yàn)辄c(diǎn)P(x，y)在以A為圓心的單位圓上，所以x2y21，從而有22，所以點(diǎn)Q是以M為圓心，R的圓上的動(dòng)點(diǎn)，因此BQminBMR.【變式訓(xùn)練1】 已知|，且1.若點(diǎn)C滿足|1，則|的取值范圍是_【答案】1，1【解析】如圖，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB，則，因?yàn)閨，1，所以|，由|1得|1，所以點(diǎn)C在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上

13、，而|表示點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離，從而|1|1，即1|1，即|的取值范圍是1，1【變式訓(xùn)練2】已知AB為圓O的直徑，M為圓O的弦CD上一動(dòng)點(diǎn)，AB8，CD6，則的取值范圍是_【解析】思路分析1 注意到圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，因此，利用圓心來(lái)將所研究的向量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究的模的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行求解思路分析2 注意到這是與圓有關(guān)的問(wèn)題，而研究與圓有關(guān)的問(wèn)題在坐標(biāo)系中研究較為方便，因此，通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行求解解法 以AB所在的直線為x軸，它的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)M(x，y)，則A(4，0)，B(4，0)，從而(4x，y)，(4x，y)，故x2y216

14、.又因?yàn)辄c(diǎn)M為弦CD上的動(dòng)點(diǎn)，且CD6，所以7169x2y216，其中最小值在CD的中點(diǎn)時(shí)取得，所以的取值范圍是9，0四、遷移應(yīng)用1.已知向量，若（），則（ ）ABCD【解析】據(jù)已知得：，所以有，2m=1,m=.2. 若等邊的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)滿足，則（ ）A.B.C. D.【解析】：，故選D.3.最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人應(yīng)是我國(guó)西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高，根據(jù)記載，商高曾經(jīng)和周公討論過(guò)“勾3股4弦5”的問(wèn)題，我國(guó)的九章算術(shù)也有記載.所以，商高比畢達(dá)哥拉斯早500多年發(fā)現(xiàn)勾股定理.現(xiàn)有滿足“勾3股4弦5”，如圖所示，其中，D為弦上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且滿足勾股定理，則（ ）A. B. C. D.【解析】由題意求出，故選A. 4.若,滿足, ,則的最大值為（ ）A. 10 B. 12 C. D. 【解析】