變化率與導(dǎo)數(shù)的概念

1、(2)在經(jīng)營(yíng)某商品中，甲用在經(jīng)營(yíng)某商品中，甲用5 5年時(shí)間年時(shí)間掙到掙到1010萬萬元，乙用元，乙用5 5個(gè)月時(shí)間個(gè)月時(shí)間掙到掙到2 2萬元，如何比較萬元，如何比較和評(píng)價(jià)甲，乙兩人的經(jīng)營(yíng)成果？和評(píng)價(jià)甲，乙兩人的經(jīng)營(yíng)成果？(1)在經(jīng)營(yíng)某商品中，甲掙到在經(jīng)營(yíng)某商品中，甲掙到10萬元，乙掙萬元，乙掙到到2萬元，如何比較和評(píng)價(jià)甲，乙兩人的經(jīng)萬元，如何比較和評(píng)價(jià)甲，乙兩人的經(jīng)營(yíng)成果？營(yíng)成果？想一想想一想本題說明本題說明: :y y與與t t中僅比較一個(gè)量的變化是中僅比較一個(gè)量的變化是不行的不行的. .問題情境問題情境1 1 過山車過山車是一項(xiàng)富有刺激性的娛樂工具。是一項(xiàng)富有刺激性的娛樂工具。那種風(fēng)馳電掣

2、、有驚無險(xiǎn)的快感令不少人那種風(fēng)馳電掣、有驚無險(xiǎn)的快感令不少人著迷。著迷。 問題情境問題情境3 3o ox xy yB BC CB BC Cx xx xy yy yk k容易看出點(diǎn)容易看出點(diǎn)B,CB,C之間的曲線較之間的曲線較點(diǎn)點(diǎn)A,BA,B之間的曲線更加之間的曲線更加“陡陡峭峭”. .如何如何量化量化陡峭程度呢？陡峭程度呢？該比值近似量化該比值近似量化B,CB,C之間之間這一段曲線的陡峭程度這一段曲線的陡峭程度. .稱該比值為曲線在稱該比值為曲線在B,CB,C之之間這一段間這一段平均變化率平均變化率. .B BA AC C交流與討論交流與討論平均變化率的定義：平均變化率的定義： )(xf一般地

3、，函數(shù)在區(qū)間一般地，函數(shù)在區(qū)間 上的平均變化率為上的平均變化率為 12 ,x x2121()()fxfxxx(2)平均變化率是曲線陡峭程度的平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化數(shù)量化”，或者說曲線陡峭程度是平均變化率或者說曲線陡峭程度是平均變化率“視覺化視覺化”建構(gòu)數(shù)學(xué)理論建構(gòu)數(shù)學(xué)理論說明說明:(1)平均變化率的實(shí)質(zhì)就是平均變化率的實(shí)質(zhì)就是:兩點(diǎn)兩點(diǎn)(x1,f(x1),(x2,f(x2)連連線的斜率線的斜率.yx（以直代曲思想）（以直代曲思想）（數(shù)形結(jié)合思想）（數(shù)形結(jié)合思想）“數(shù)離形時(shí)難直觀，形離數(shù)時(shí)難入微數(shù)離形時(shí)難直觀，形離數(shù)時(shí)難入微”華羅庚華羅庚平均變化率平均變化率 )(xf一般的，函數(shù)在區(qū)

4、間上一般的，函數(shù)在區(qū)間上 的的平均變化率平均變化率為為 ,21xx 其幾何意義是其幾何意義是 表示曲線上兩點(diǎn)連線（就是表示曲線上兩點(diǎn)連線（就是曲線的割線）的斜率。曲線的割線）的斜率。結(jié)論：結(jié)論：yx2121()()fxfxxx例例1、已知函數(shù)、已知函數(shù)f(x)=2x+1, g(x)=- -2x ,分別計(jì)算分別計(jì)算在區(qū)間在區(qū)間-3，-1，0，5上上 f(x)及及g(x) 的平均的平均變化率變化率. 數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用思考思考: :一次函數(shù)一次函數(shù)y=kx+by=kx+b在區(qū)間在區(qū)間m,nm,n上的平上的平均變化率有什么特點(diǎn)？均變化率有什么特點(diǎn)？例例2、已知函數(shù)、已知函數(shù) f(x)=x2,分別計(jì)算分

5、別計(jì)算f(x)在下列在下列區(qū)間上的平均變化率：區(qū)間上的平均變化率： （1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001. 432.12.001（5）0.9，1；（6）0.99，1；（7）0.999，1.變題變題: :1.991.91.999課后思考課后思考: :為什么趨近于為什么趨近于2 2呢？呢？2 2的幾何意義是的幾何意義是什么？什么？數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用xyp p133.1.2導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修1-1 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度為度為h（單位：（單位：m）與

6、起跳后的時(shí)間）與起跳后的時(shí)間t(單位：?jiǎn)挝唬簊 )存在函數(shù)關(guān)系存在函數(shù)關(guān)系h=-4.9t2+6.5t+10hto求求2時(shí)的瞬時(shí)速度？時(shí)的瞬時(shí)速度？20時(shí)時(shí)20時(shí)時(shí)2二二.新授課學(xué)習(xí)新授課學(xué)習(xí)2,22,2,.ttv計(jì)算區(qū)間和區(qū)間內(nèi)平均速度 可以得到如下表格t0時(shí)時(shí), 在在2, 2 +t 這段時(shí)這段時(shí)間內(nèi)間內(nèi)1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv13.051v 當(dāng)t = 0.01時(shí),13.149v 當(dāng)t = 0.01時(shí),0951.13v當(dāng)t = 0.001時(shí),1049.13v當(dāng)t =0.001時(shí),13.09951v 當(dāng)t = 0.0001時(shí),13.10049v 當(dāng)t =0.0001時(shí),0

7、99951.13vt = 0.00001,100049.13vt = 0.00001,13.0999951v t = 0.000001,13.1000049v t =0.000001, 平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢(shì)勢(shì).l如何精確地刻畫曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢(shì)呢如何精確地刻畫曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢(shì)呢?105 . 69 . 4)(2ttth當(dāng)當(dāng)t趨近于趨近于0時(shí)時(shí),平均平均速度有什么變化趨勢(shì)速度有什么變化趨勢(shì)? .,.lim,11302113220 定值趨近于確平均速度時(shí)趨勢(shì)近于當(dāng)表示我們用為了表述方便vttththt .時(shí)的極限時(shí)的

8、極限趨近于趨近于當(dāng)當(dāng)是是我們稱確定值我們稱確定值022113tthth 瞬時(shí)速度0limt(2)(2)13.1htht 示？處的瞬時(shí)變化率怎么表在、函數(shù)xxfxxflimxylimxf0 x0 x0即：、函數(shù)的平均變化率怎么表示？、函數(shù)的平均變化率怎么表示？思考：0 xlim 000 xxyxfxxxfy或記作：處的導(dǎo)數(shù)，在我們稱它為函數(shù)定義定義:函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的瞬時(shí)變化率是處的瞬時(shí)變化率是xxxfxxfxx ylim )()(lim 0000稱為函數(shù)稱為函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), 記作記作0000( )() ()li

9、m. xf xxf xfxx )(0 xf 或或 , 即即0|xxy。其導(dǎo)數(shù)值一般也不相同的值有關(guān)，不同的與000)(. 1xxxf 的具體取值無關(guān)。與 xxf)(. 20一概念的兩個(gè)名稱。瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)是同. 3導(dǎo)數(shù)的作用：導(dǎo)數(shù)的作用：導(dǎo)數(shù)可以描繪任何事物的瞬時(shí)變化率導(dǎo)數(shù)可以描繪任何事物的瞬時(shí)變化率 由導(dǎo)數(shù)的意義可知由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是的基本方法是:);()()1(00 xfxxfy 求求函函數(shù)數(shù)的的增增量量;)()()2(00 xxfxxfxy 求求平平均均變變化化率率.lim)()3(00 xyxfx 取取極極限限，得得導(dǎo)導(dǎo)

10、數(shù)數(shù)注意注意:這里的增量不是一般意義上的增量這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負(fù)它可正也可負(fù). 自變量的增量自變量的增量x的形式是多樣的的形式是多樣的,但不論但不論x選擇選擇 哪種形式哪種形式, y也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式.一差、二比、三極限一差、二比、三極限例例1. (1)求函數(shù)求函數(shù)y=3x2在在x=1處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).(2)求函數(shù)求函數(shù)f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) (3)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=t2+3，求，求質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在t=3的瞬時(shí)速度的瞬時(shí)速度.三典例分析三典例

11、分析題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)例例1. (1)求函數(shù)求函數(shù)y=3x2在在x=1處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).三典例分析三典例分析題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)(1)(1)yfxf解：23(1)3x263()xx263()yxxxx63 x/00(1)limlim(63)6xxyfxx例例1.(2)求函數(shù)求函數(shù)f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均變附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 三典例分析三典例分析題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)( 1)( 1)yfxf 解：22( 1)( 1) ( 1)( 1)xx

12、 2()3xx 2()3yxxxx平均變化率3x /00( 1)limlim(3)3xxyfxx例例1.(3)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=t2+3，求質(zhì)點(diǎn)在，求質(zhì)點(diǎn)在t=3的瞬時(shí)速度的瞬時(shí)速度.三典例分析三典例分析題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)(3)(3)sftf解：22(3)3(33)t 2()6tt2()6stttt6t/00(3)limlim(6)6ttsftt例例1:(1)求函數(shù)求函數(shù)y=x2在在x=1處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù); (2)求函數(shù)求函數(shù)y=x+1/x在在x=2處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).,)(21)1 () 1 (222xxxy 解解：,2)(22xxxxxy .

13、2|, 2)2(limlim100 xxxyxxy,)2( 2)212(21)2() 2(xxxxxy ,)2( 211)2( 2xxxxxxy .43|,43411)2( 211 limlim200 xxxyxxy.,21| ,:2000的的值值求求且且處處附附近近有有定定義義在在已已知知函函數(shù)數(shù)例例xyxxxyxx ,:00 xxxy 解解.1)()(0000000000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxy ,211limlim00000 xxxxxyxx . 1,2121,21| 000 xxyxx得得由由.yxy已知，求1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 練習(xí)

14、練習(xí):xyxxxxxxDD=+ D-=+ D+解：.)0( |2的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)：利利用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的定定義義求求函函例例 xxy|,yx解：0,xyx 當(dāng)時(shí).0101 xxy0,xyx當(dāng)時(shí)()1,yxxxxx則0lim1;xyx ()()1,yxxxxx 0lim1;xyx .,62).80(157:,.,220并說明它們的意義的瞬時(shí)變化率原油溫度時(shí)和第計(jì)算第為單位的溫度原油時(shí)如果在和加熱行冷卻油進(jìn)對(duì)原需要品產(chǎn)柴油、塑膠等各種不同將原油精煉為汽油、例hhxxxxfCxh,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義 xfxfxy22 .6f和 262,fhh就是原油溫度的瞬時(shí)變化率時(shí)和第在第解 xxx1527215272

15、22 , 3742 xxxxx , 33limlim2,00 xxyfxx所以 .56 f同理可得.運(yùn)運(yùn)算算過過程程請(qǐng)請(qǐng)同同學(xué)學(xué)們們自自己己完完成成具具體體0026,35.2,3/;6,5/.hhhC hhC h在第與第時(shí) 原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為與它說明：在第附近 原油溫度大約以的速率下降在附近 原油溫度大約以的速率上升00,.fxx一般地反映了原油溫度在時(shí)刻 附近的變化情況計(jì)算第計(jì)算第3（h）和第）和第5（h）時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)）時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義。變化率，并說明它們的意義。 35f 13f）（，解：這說明這說明:在第在第3小時(shí)附近，原油溫度大約以小時(shí)附近，原油溫度大約以1的速率下降，的速率下降，在第在第5小時(shí)附近，小時(shí)附近，原油溫度大約以原油溫度大約以3的速率上升。的速率上升。練習(xí)：練習(xí)：小結(jié)：