圓錐曲線中取值范圍最值問(wèn)題

1、1 /15圓錐曲線中的最值取值范圍問(wèn)題2 2F1, F2分別是雙曲線 篤 占=l=l( a0a0, b0b0)的左、右焦點(diǎn)，P P 為雙曲線上的一點(diǎn),a b.F1PF2=90, ,且：FIPF2的三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列又一橢圓的中心在原點(diǎn)，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的距離為3，雙曲線與該橢圓離心率之積為年。(I(I)求橢圓的方程;、(H)設(shè)直線l與橢圓交于 A A , B B 兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn) O O 到直線 I I 的距離為，求 AOBAOB2面積的最大值.90.90.解：設(shè)|PR |=m,|PF2卜n，不妨 P 在第一象限，則由已知得m - n = 2a,m2+ n2= (2c)2戶(hù)5a2-6ac

2、+c2= 0,二 e2-6e +5 = 0,n +2c = 2m.(H)當(dāng) AB _x 軸時(shí),| AB|= 3.90.90.已知解得e = 5或 e = 1(舍去)。設(shè)橢圓離心率為則5乎可設(shè)橢圓的方程為2 2-”,半焦距為c.a 3二b2+2c2 .卜2b ca=悩 3,解之得* b = 1,x22二a.橢的方程為 -32=1.當(dāng) AB 與X軸不垂直時(shí)，設(shè)直線 AB的方程為y = kx m,A(Xi,yi),B(X2,y2),由已知帶叮得宀泗 1),把 y二kx - m代入橢圓方程，整理得(3k21)x26kmx 3m2- 3 =0,x1x22-6km3(m -1)3k21, 1 23k212

3、 / 15當(dāng)k = 0 時(shí),| AB |=一3.綜上所述：|AB|max=2,此時(shí)AOB面積取最大值S =1I AB |max2285.85.已知曲線 C C 的方程為x =2y，F(xiàn) F 為焦點(diǎn)。（1 1） 過(guò)曲線上 C C 一點(diǎn)P（Xo, yo）（Xo=0）的切線I與 y y 軸交于 A A，試探究|AF|AF|與|PF|PF|之間 的關(guān)系；（2 2）若在（1 1 ）的條件下 P P 點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0=2，點(diǎn) N N 在 y y 軸上，且|PN|PN|等于點(diǎn) P P 到直線2y T = 0的距離，圓 M M 能覆蓋三角形 APNAPN，當(dāng)圓 M M 的面積最小時(shí)，求圓 M M 的方程。85.8

4、5.| AB|2= (1 k2)(X2X1)2=(1 k2)36k m2(3k21)212(m21片3k2112(1 k2)(3k21 -m2)(3k21)23(k21)(9k21)(3k21)212k29k26k2二 39k212212(k = 0) _34.2 3 662當(dāng)且僅當(dāng)9k2-時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)| AB |= 2.33 / 15( (i)(li)(l) )由士對(duì)他廠* /才*tF F伽仍)4t)4t切線方程汁-n-n =j*=j* = =唧.將“0 0找人得KtKtfY f-頂t t -jfi(y-jfi(y o),o),點(diǎn)尸嗨標(biāo)(o(o扌)，|朋1 1上斗*片.只葉1 1峠 f

5、斗L L 1313陽(yáng)*SJta由易知嗆機(jī)o,o, -m-m的罄怖為(”訂與0 0壬卜例M為三角形阿的 外接囲財(cái)*師面枳駐小，設(shè)此品的方程為:+加+導(dǎo)和=%“用用-4-4/ / 0)0)卻點(diǎn)7V7V的坐標(biāo)為(儀+)時(shí)，則4-2E4F4-2E4F = = 0 0待D D -5,-5, i=i=Y，F(xiàn)*-1-14 4 M M +2P+2F*FaO+2P+2F*FaO此時(shí)所感的圏的方*/-5x+y?-0*/-5x+y?-0+-+- + + F=OF=O42當(dāng)幷的劉初臥4JH04JH0-丄蘭時(shí)所卑的伺前方14+414+4 +2Z+2Z； + + 2i2i： + + r r = = 0 0程為?+/+*-

6、7-7-07-7-0. # #烷上關(guān)的方H H為諾 +/-5#-5# + + y7-ly7-l =0,x=0,x5 5+y+y? ?+ + - -討-7-7 =0=0 .M M分2 2dXV174.74.已知橢圓Ci:22=1(a b 0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，F(xiàn)F2分別為其a b2左右焦點(diǎn)一動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)F2，且與直線x = -1相切.( (I) ) ( (i)求橢圓Ci的方程；(ii)求動(dòng)圓圓心軌跡C的方程；( (H) )在曲線C上有四個(gè)不同的點(diǎn)M,N,P,Q,滿足MF2與NF?共線，PF?與QF?共線，且PF2MF2=0，求四邊形PMQN面積的最小值.2a =4!a = 222274.74.

7、解：(I)(i)由已知可得c1=，nb=ac=3,|e = =LC= 1Ia 22 2則所求橢圓方程C1:V1 .43為x = -1，則動(dòng)圓圓心軌跡方程為C : y2= 4x.(n)由題設(shè)知直線MN , PQ的斜率均存在且不為零設(shè)直線MN的斜率為k(k =0),M (x1,y1),N(x2, y2)，則直線MN的方程為:V = k(x -1)聯(lián)立C : y2= 4x消去y可得k2x2- (2k24)x k2= 0(i)由已知可得動(dòng)圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線C的焦點(diǎn)為(1,0)，準(zhǔn)線方程由拋物線定義可知4 / 15| MN |=| MF2| | NF2x11 x2同理可得|PQ|=4 4k21

8、14221又SpMQN| MN | | PQ |（4 -y）（4 4k2）=8（2 k2訂）一3222 kk（當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取到等號(hào)）所以四邊形PMQN面積的最小值為32.269.69.如圖，已知直線 I I：y二kx-2與拋物線 C C:x =-2py(p 0)交于 A A, B B 兩點(diǎn)，O為坐 標(biāo)原點(diǎn)，OA +O = (/,12)。羅*(I)求直線 I I 和拋物線 C C 的方程；（n）拋物線上一動(dòng)點(diǎn) P P 從 A A 到 B B 運(yùn)動(dòng)時(shí)，求 ABPABP 面積最大值.y=kx 2,269.69.解：（I）由2得,x +2pkx 4p=0,x =-2py設(shè)A x,%, B X2,y

9、2,則為X2-2pk,y1y k捲X2- 4 - -2pk2- 4,因?yàn)镺A OB =為X2,y1y2二-2pk,-2pk2-4=-4,-12 ,所以_2pkf4,I-2pk2-4 = -12.所以直線I的方程為y = 2x -2,拋物線 C 的方程為x2二-2y.(n)方法 1：設(shè)P(x0,y0),依題意，拋物線過(guò) P 的切線與l平行時(shí)，APB面積最大,12y -x，所以-人=2=冷 -2,壯二-x。二-2,所以P(-2,-2).=*_2,得，x24x-4=0,x - -2y,| AB |二1 k2；（為x2）2-4為x2二1 22；（-4）2-4（一4）4怖伍ABP 的面積最大值為匚=8-

10、22y = 2x -2,2（n）方法 2:由2得，x24x-4=0,lx2=-2y,| AB|=1k2、.（為x2）2-4人x2二122；（一4）2-42k24k2解得p=1,k = 2.2（-2）-（-2）-2此時(shí)P到直線I的距離d -_Q22+(T)2_ 44,5.55由.335 / i5（一4）= 4 109 分.336 / i52 2由-得Xi一x22_ y；=0,kEF%一y2= _iXiX2Xi-X23yiy2設(shè)P(t,-ft2),(-2-2：2 t 0)上一點(diǎn)， F 為拋物線的焦點(diǎn)， 準(zhǔn)線I與 x 軸交于點(diǎn) K, 已知丨 AK|=x2| AF 三角形 AFK 的面積等于 8.(1

11、 )求 p 的值；(2)過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線丨1,丨2，與拋物線相交得兩條弦，兩條弦的中點(diǎn)分別為 G H.求| GH|的最小值.50.解：(I)設(shè)A x0, y0,因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)FiP,0 ,準(zhǔn)線|的方程為：x = -,KiP,0 ,作 AM _ I 于 M,12 J2 V 2 .丿則AM 顯=AF ,2又 AK =T2|AF 得IAK =V2|AM|，即占 AKM 為等腰直角三角形，二 KM = AM p +P,二 y0=怡 +P,即 Alx0,x+ Pl而點(diǎn)A在拋物線上，22 I 2 丿2(2)由y =8x，得F(2,0)，顯然直線l1, *的斜率都存在且都不為 0.由題

12、設(shè)可得 A、B 的坐標(biāo)是方程組-2k2，2 k8所以22円-1)2-12k22 2(4 k)1 _1，=8, p=4.故所求拋物線的方程為2y= 8X.6分TKF制冷卩卩=號(hào)當(dāng)直線 AB 的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y = kx 1,9 / 151設(shè)h的方程為y=k(x-2)，則I?的方程為y (x-2).k10 / 1548.48.橢圓的中心為原點(diǎn)O ,焦點(diǎn)在y軸上，離心率e6，過(guò)P(0,1)的直線l與橢圓交于3B兩點(diǎn)，且AP =2PB，求AOB面積的最大值及取得最大值時(shí)橢圓的方程.2 2爲(wèi) 篤=1(a . b . 0),直線l的方程為y = kx 1,a b2 246.已知橢圓G：%二=1(a

13、 b 0)的右焦點(diǎn)為 F,上頂點(diǎn)為 A, P 為 C1上任一點(diǎn)，a b是圓C2：x2 (y -3)2=1的一條直徑，若與 AF 平行且在 y 軸上的截距為3- 2的直線 好與圓C2相切。(1) 已知橢圓C1的離心率；(2) 若PM PN的最大值為 49,求橢圓 C1的方程.46.解：(1)由題意可知直線l的方程為bx cy-(3- -2)c = 0，因?yàn)橹本€與圓223c- 3c亠-2c22C2: x (y-3) =1相切，所以d22=1,既a=2c ,從而b + c2e；248.48.解：設(shè)橢圓的方程為A(xi, yi)B(x2, y2)則橢圓方程可化為3b22篤-1即3x2y2=3b2,b聯(lián)

14、立丿三2223x y得(3 + k2)x2+2kx+13b2=0(*) =kx +12k- -有x1x22,而由已知AP=2PB有x1= -2X2，代入得3 +k22kx2_ 3 k2所以SAQB=1 |OP| |X1-X2hl|x2fJ-3iki當(dāng)且僅當(dāng)二3時(shí)取等號(hào)由x22k2得2九三3 k223|k=.3|k = -.3將x代入(*)式得b2=5所以加B面積的最大值為仝22取得最大值時(shí)橢圓的方程為-52-15MNl恰X二111 / 152 2(2)設(shè)p(x,y),則二 爲(wèi)=1(c 0)2c c_ . _ . _. _ . _ _ _t2 _u2又 PM PN (PC2C2M ) (PC2C

15、2N) = PC2-C2N =x2(3 - y)2一 1 = -(y 3)22c 17(c 乞y c)22f當(dāng)0 2：3時(shí)，（卩皿卩2口&乂 = 一（七3） 17 2 =49,解得c = 5. 2-3但c = 52-3 - 3,故舍去。2 2綜上所述，橢圓的方程為 y13216x2y2頁(yè)頁(yè)25.25.已知橢圓G :右與=1（a b 0）的離心率為3，直線I: :y = x 2與以原點(diǎn)為圓ab3心、以橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切 . .（I I）求橢圓 G G 的方程；（IIII ）設(shè)橢圓G的左焦點(diǎn)為R，右焦點(diǎn)F2，直線l1過(guò)點(diǎn)F,且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l2垂直l1于點(diǎn)P，線段P

16、F2垂直平分線交l2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；（IIIIII ）設(shè)C2與x軸交于點(diǎn)Q，不同的兩點(diǎn)R,S在C2上，且滿足QRRS=0,求QS的取值范圍. .122,.2a2=3b232 = b,; b = 2,b2= 2/ a2= 3，橢2 2圓 C1的方程是y132（） MP=MF2,二動(dòng)點(diǎn) M 到定直線l1：X=-1的距離等于它到定點(diǎn) F1（1, 0）的距 離，動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是 C 為丨1準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線 點(diǎn) M 的軌跡 C2的方程為y2二4x22（川） Q （ 0 ,0 ），設(shè)R（也，yJ,S（里，y2）442 2 2丫1丫2一 丫1當(dāng)c _3寸,(PM PN)max=：1

17、7 2c2=49, 解得 c = 4,此時(shí)橢圓方程為2 2x y32162,2a - b2c25.25.解：（I）l : x - y -2 二 0 與圓 x2y2=b2相切,112 / 15QR=（）,RS=（丄 一，y2-yj44 213 / 152 2 2y1( y . y1)-yi(y2 yi)yg yi) =016QR -RS = 0-0, 化簡(jiǎn)得y2= -少)y22256y2yi2yi32 _ 2、25632 = 64當(dāng)且僅當(dāng) |QS|=rCOyi = , yi =16,y4時(shí)等號(hào)成立yi(y2)2yl =1(y；8)2一 64,又 y；一 64.44當(dāng)y2=64,y2hg|QS|m

18、in=&5,故 |QS|的取值范圍是8一5,：)2222x y8.8. 8.8.已知點(diǎn)P P(4 4,4 4),圓C C:(xm)2+y2=5(mb:0)有ab個(gè)公共點(diǎn)A A( 3 3，1 1)，F(xiàn) FF F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線PFPFi與圓 C C 相切.(I)求 m m的值與橢圓 E E的方程；(H)設(shè) Q Q為橢圓E E 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP AQ的取值范圍.【解】(I)點(diǎn) A 代入圓 C 方程，得(3 -m)21 =5.Tm 3，二 m= 1.圓 C: (x -1)2 y2=5.設(shè)直線 PF1的斜率為 k，則 PF1: y =k(x -4) 4，即 kx -y -4k

19、 4=0 .直線 PF1與圓 C 相切，上羋復(fù)色=2|x| |3y|,186xyW18.14 / 15則(x 3y)x2(3y)26x18 6xy 的取值范圍是0,36. x 3y 的取值范圍是6, 215 / 15a2(1 -b2)a2b22a2a2b2-0a2b2_2a2b2= 06. AP AQ=x3y_6 的取值范圍是12, 0.2 212. 12.已知直線1:x1與曲線C :篤-y2=1 (a 0,b 0)交于不同的兩點(diǎn)A, B,a bO為坐標(biāo)原點(diǎn).(I)若|OA|=|OB|，求證：曲線C是一個(gè)圓；廠 /-(n)若OA一OB，當(dāng)且詩(shī)，譯時(shí)，求曲線C的離心率e的取值范圍.【解】(I)證

20、明：設(shè)直線I與曲線C的交點(diǎn)為A(x1, y1), B(x2, y2)|OA|=|OB|222 2口222X1y1=X2y2即：x1- y1x2- y22 2 2X1-X2y22-Y1*代B在C上2 222X1y1=1,X2y：1a2b22ab222兩式相減得：x122-X2a2(丫22-丫12).2-1即：a - bb2b2曲線C是一個(gè)圓(n)設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1, y1), B(x2, y2), ：a b 0曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 OA _ OB= 1即：y1y2= -x-x2將y = x 1代入b2x2a2y2- a2b2二0整理得:2 2 2 2 2 2 2(b a )x 2a x a -a b =02a2a2b2x-ix22 2a (1 -b )a2b2-代B在丨上5 2二(X11)(X21) = X1X2X1X212x1x2x1x2016 / 1515.15.已知?jiǎng)狱c(diǎn) A A、B B 分別在 x