山東省舜耕中學(xué)2012屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料第五編平面向量、解三角形5.5正弦定理、余弦定理的應(yīng)用(教

1、用心愛心專心B110159高三數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)教案 第五編平面向量、解三角形總第 25 期 5.5正弦定理、余弦定理的應(yīng)用匕基礎(chǔ)自測1. 在某次測量中，在 A 處測得同一半平面方向的B 點的仰角是 60 ,C 點的俯角為 70,則/ BAC=.答案 130 2. 從 A 處望 B 處的仰角為:-，從 B 處望 A 處的俯角為,則、卜的大小關(guān)系為 .答案 :=:3. 在厶 ABC 中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 且 sinC=2sinAcosB,則厶 ABC 是_ 三角形.答案等邊4. 已知 A、B 兩地的距離為 10 km,B、C 兩地的距離為 20 km,現(xiàn)測得/ ABC=1

2、20，貝 U A、C 兩地的距離為 km.答案 10 .75. 線段 AB 外有一點 C,ZABC=60 ,AB=200 km,汽車以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行駛，同時摩托車以50 km/h 的速度由 B 向 C 行駛，則運(yùn)動開始 _ L 后，兩車的距離最小.答案匹43匕例題精講例 1 要測量對岸 A、B 兩點之間的距離，選取相距,3 km 的 C、D 兩點，并測得/ ACB=75 ,/ BCD=45 ，/ ADC=30，/ ADB=45，求 A、B 之間的距離.解 如圖所示，在厶 ACD 中，/ ACD=120，/ CAD=/ ADC=30 ,AB:.AC=CD=3km.在厶

3、 BCD 中，/ BCD=45，/ BDC=75 ,：3sin 75a6 +石-/ CBD=60 .BC=3sin75=_g2. ABC 中，由余弦定理，門得sin602AB=(.3)2+( -)2-2X,3X2xcos75=3+2+3-,3=5,22 AB=.5(km). AB 之間的距離為、.5km.例 2 .沿一條小路前進(jìn)，從 A 到 B,方位角(從正北方向順時針轉(zhuǎn)到AB 方向所成的角)是50,距離是 3 km,從 B 到 C 方位角是 110,距離是 3 km，從 C 到 D,方位角是 140,距離是(9+3 . 3 ) km.試畫出示意圖，并計算出從A 到 D 的方位.匕用心愛心專心

4、B110160!140D用心愛心專心161角和距離(結(jié)果保留根號)解 示意圖如圖所示，連接AC 在厶 ABC 中，/ ABC=50 +(180 -110 )=120 ,又 AB=BC=3/ BAC=/ BCA=30 .由余弦定理可得AC=、AB2BC2-2AB BCCOS120=9 9 _2 3 3(一1)V2=.27=3,3(km)，在 ACD 中，/ ACD=360 -140 -(70 +30 )=120 , CD=3 .3+9.=9(26)(km)2.當(dāng) v-二=,即尸匹時，yma)=2+ 12 .3264所以四邊形 OPDC 面積的最大值為 2+1.4匕鞏固練習(xí)1.某觀測站 C 在 A

5、 城的南偏西 20的方向.由 A 城出發(fā)的一條公路，走向是南偏東在 C 處測得公路上 B 處有一人距 C 為 31 千米正沿公路向 A 城走去，D 處，此時 CD 間的距離為 21 千米，問這人還要走多少千米才能到達(dá)解 設(shè)ZACD=,ZCDB=-.在厶 BCD 中，由余弦定理得cos 上BD2CD2-看=琶 藝 遷=-1,則 sin 亠苗，2BD CD220X2177由余弦定理得AD=.AC2CD2-2AC CDcos120=由正弦定理得sinZCAD=CD sinACDAD9 29.6ZCAD=45 ,于是 AD 的方位角為 50 +30 +45 =125所以，從 A 到 D 的方位角是 1

6、25，距離為 口 ？ km.2例 3 如圖所示，已知半圓的直徑AB=2,點 C 在 AB的延長線上，BC=1,點 P 為半圓上的一個動點，以 DC 為邊作等邊PCD 且點 D 與圓心 O 分別在 PC 的兩側(cè)，求四邊形 OPDC 面積的最大值.解 設(shè)ZPOB-，四邊形面積為 y,則在 POC 中，由余弦定理 得PC=OP+O&2OP OCCOS=5-4COS二.y=Sgp(+SPC=丄丄x1x2sin v+ 24(5-4cos v) =2sin( r-)+ 丄 234走了 20 千米后到達(dá)A 城？2(3 3 9)-22用心愛心專心162而 sin : =sin( |.:-60 )=si

7、n |.，cos60 -cos |.：sin60=4一3x1+_3x1=5_3T2 V 7 14答 這個人再走 15 千米就可到達(dá) A 城.2.如圖所示，測量河對岸的塔高 AB 時，可以選與塔底 B 在同一水平面內(nèi)的兩個測點C 與 D,現(xiàn)測得/ BCD=,ZBDC=：, CD=s 并在點 C 測得塔頂 A 的仰角為二， 求塔高 AB. 解 在 BCD 中， / CBD=二-:-:,由正弦定理得BC=CDsin . BDC sin ZCBD，所以BC=CD sin . BDC=s sin sin ZCBDsin( a +P)在 Rt ABC 中，AB=BCtanZ ACB=stasin：.sin

8、(a+P)3.為了豎一塊廣告牌， 要制造三角形支架三角形支架如圖所示，要求/ ACB=60 , BC 的長度大于 1 米，且 AC 比 AB 長 0.5 米.為了使廣告牌穩(wěn)固，要求 AC 的長度越短越 好，求 AC 最短為多少米？且當(dāng) AC 最短時，BC 長度為多 少米？12 2 2b-c= .c =a +b -2abcos602122 2(b-1)2=a+b -ab,2在厶 ACD 中，由正弦定理得21=ADsin 60 sin： AD=21sin=sin602 321三14氾=15(千米).，將 c=b-彳代入得設(shè) BC=a ( a 1) ,AB=c , AC=b,用心愛心專心163思想

9、匕課后作業(yè) 一、填空題1.海上有A B兩個小島相距 10 海里，從 A 島望 C 島和 B 島成 60的視角，從 B 島望 C 島 和 A 島成75視角，貝 U B、C 的距離是海里.答案 5、.62.為測量某塔 AB 的高度，在一幢與塔AB 相距 20 m 的樓頂處測得塔頂 A 的仰角為 30, 測得塔基 B 的俯角為 45 ，那么塔 AB 的高度是m.答案 20(1+ _)33.如圖所示，已知兩座燈塔 A 和 B 與海洋觀察站 C 的距離都等于 a km, 燈塔 A 在觀察站 C 的北偏東 20,燈塔 B 在觀察站 C的南偏東 40 : 貝 U 燈塔 A 與燈塔 B 的距離為km.答案3a

10、答案 14. 一船自西向10 時到達(dá)一座燈塔P 的南偏西 75距塔 68 海里的 M 處,下午 2 時到達(dá)這座燈塔的東南方向的N 處，則這只船的航行速度為_海里/小時.答案17. 625.如圖所示，在河岸 AC 測量河的寬度 BC,圖中所標(biāo)的數(shù)據(jù) a, b,c,:,是可供測量的數(shù)據(jù).下面給出的四組數(shù)據(jù)中，對測量河寬較 適宜的是_ (填序號).c 和：c 和 bc 和b 和:-答案 6.如圖，一貨輪航行到 M 處，測得燈塔 S 在貨輪的北偏東 15 ,與燈塔S 相距 20 海里，隨后貨輪按北偏西 30的方向航行 30 分鐘后，又測得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為 _ 海里/小時.答案 20

11、(、6-,2)7.在厶 ABC 中，若/ C=60,貝 U旦+旦=b c caX A用心愛心專心1648.(2008 蘇州模擬)在厶 ABC 中，邊 a,b,c 所對角分別為 A,B,C，且sin =cosB=-cosCa b c則/ A=.答案二2二、解答題2 2 2 2 29.在厶 ABC 中，a，b，c 分別為角AB、C 的對邊，設(shè) f(x)=a x -( a-b)x-4c .(1)f( 1)=0 且 B-C=-，求角 C 的大??；(2)若 f(2)=0,求角 C 的取值范圍3解(1)Vf (1) =0,. a2-(a2-b2)-4c2=0 ,Ab2=4c2,. b=2c,. sinB=2sinC ,又 B-C= ./sin(C+ )=2sinC，二 sinC cos +cosC sin =2sinC,33333sinC- cosC=0,.sin(C-)=0，又. -二vC-二v5二 c _ JT C=.2 266 666(2)若 f(2) =0,貝 U 4a2-2(a2-b2)-4c2=0,.2.22- a +b =2c , cosC=a2+b2c2=c22ab2ab2222又 2c =a +b 2ab,. ab 1,知 a-1 0. b= - =4=(a-1)+4a _1a _14(a-1)12.在海岸 A 處，發(fā)現(xiàn)北偏東處有一艘走私船，在 A 處北偏西緝私船奉命