實分析與復(fù)分析1-可測性概念

1、實分析與復(fù)分析Rudin第第一一章章 抽象積分抽象積分可測性概念1.2 1.2 定義定義1.3 1.3 定義定義充分性充分性證明證明10( ).xf fVV 所所以以是是 的的鄰鄰域域，且且必要性0.fx 在在 點點連連續(xù)續(xù)1( )ffV 因因為為 是是連連續(xù)續(xù)映映射射，所所以以是是開開集集，00,()xX Vf x 設(shè)設(shè)為為的的任任意意開開領(lǐng)領(lǐng)域域，10( ),VYxfV 設(shè)設(shè) 為為 中中任任意意開開集集，對對00(),()f xVVf x 因因為為 是是開開集集，所所以以點點 00111()( )xf xUfVfVfV , ,是是開開集集, ,00()()0,f xf xVVVfx 鄰鄰域

2、域使使得得，因因為為 在在 點點連連續(xù)續(xù), , 0000(),xxf xxUf UVV 所所以以點點鄰鄰域域使使得得.f所所以以 是是連連續(xù)續(xù)映映射射證明證明,V Zg設(shè)設(shè) 為為 中中任任意意開開集集，因因為為 是是連連續(xù)續(xù)的的1( )gVY 是是 中中的的開開集集，111( )( ),.hVfgVh 而而所所以以 是是連連續(xù)續(xù)的的11( )fgVX 是是 中中的的開開集集，(a)f因因為為 是是連連續(xù)續(xù)映映射射，所所以以111( )( ),.hVfgVh 而而所所以以 是是可可測測的的11( )fgVX 是是 中中的的可可測測集集，(b)f因因為為 是是可可測測映映射射，所所以以證明證明,V

3、uv設(shè)設(shè) 為為直直線線上上的的任任意意開開集集，由由可可測測11( ),( )uV vVX 都都是是 中中的的可可測測集集，根根據(jù)據(jù)平平面面上上開開集集構(gòu)構(gòu)造造，平平面面上上任任意意開開集集至至多多 ( )=( ), ( ) ,f xu x v xxXhf 令令, , 1.7(b),f 連連續(xù)續(xù)， 由由定定理理只只需需證證明明 可可測測，12.,RRII 設(shè)設(shè) 是是平平面面上上的的一一個個開開矩矩形形則則是是可可列列個個開開矩矩形形的的并并. .所所以以只只需需要要考考慮慮開開矩矩形形就就可可以以了了. . 12,=,I Ifu v是是兩兩個個開開區(qū)區(qū)間間11112( )=( )()fRuIv

4、I 1,kkVVR 設(shè)設(shè) 是是平平面面上上任任意意開開集集，則則 (1,2,)kR k 其其中中，是是平平面面上上的的開開矩矩形形. . 11111( ),kkkkfVfRfR 1112,( ),( )uvuIvIX 可可測測都都是是 中中的的可可測測集集，1( )fRX 是是 中中的的可可測測集集. .1( )fVX 則則是是 中中的的可可測測集集. .證明證明 : ( ) 0 ,Ex X f x 設(shè)設(shè) 1,( ),( ) =,( ),( )xExxxXf xxEf x 令令則則1 1，( )0,( )0,xEf xf x 當(dāng)當(dāng)時時， ( )( )( )0,f xx f xxE ( )( )

5、,( )f xxExf x 當(dāng)當(dāng)時時， ( )( )( ) ,f xxf xxE ( )( )( ) ,.f xxf xxX 1,sup ,1.1,2,= inf13nknnkkkabakb 設(shè)設(shè)令令且且 ， limsup.nnnaa 稱稱 為為的的上上極極限限，記記為為1inf ,1,2,=supknnkkkcakc 類類似似定定義義下下極極限限，令令且且， liminf.nnnaa 稱稱 為為的的下下極極限限，記記為為liminf()limsup,nnnnaa顯顯然然limsup()liminf.nnnnaa引理引理1 是是 an 的上極限的上極限,則存在則存在an的的lim.kknnka

6、a 子子列列，使使得得證明證明sup,1,2,knnkbak 因因為為kb所所以以單單調(diào)調(diào)遞遞減減的的，于于是是1=inflim.kkkkbb 1120,sup,ba a 由由于于1111,.nnab 根根據(jù)據(jù)上上確確界界定定義義，使使得得,1,2,nnbbn 又又因因遞遞減減 故故11.nab所所以以有有，同理同理, , 由于由于 111112sup,nnnbaa 2121111,.nnnnnab 有有，12,knnn使使 照此做下去照此做下去,可求得可求得11,1, 2,.kknnabk kna這這樣樣得得到到的的子子列列，,1, 2,.kknnbaklimlim.kknnkkba所所以以

7、，,k 令令上上不不等等式式中中的的由由極極限限保保號號性性，lim=.knka 由由 的的任任意意性性，引理引理2 ,lim,kknnnkEsaaas 設(shè)設(shè)=sup.EE 則則證明證明由上確界定義由上確界定義 lim= ,nnnsEs 存存在在使使得得( )( ), lim,k iknnnik iiaaas 因因為為對對1111,1,nnnaaas 故故對對2121211,22nn nnaaas 1111,kkknn nnkaaaskk limlimlim.kknnkkkkkaass .E 命題命題1 1 設(shè)設(shè) an 為廣義實數(shù)列為廣義實數(shù)列. 則有則有(i) 是是 an 的上極限的充要條件

8、是的上極限的充要條件是(ii) 是是 an 的下極限的充要條件是的下極限的充要條件是;na 是是所所有有收收斂斂子子列列極極限限值值的的最最大大數(shù)數(shù)na 是是所所有有收收斂斂子子列列極極限限值值的的最最小小數(shù)數(shù). .證證 這里僅證這里僅證 (i). ,lim,kknnnkEsaaas 設(shè)設(shè)=sup.2.EE 記記由由引引理理 ，1,.E 由由引引理理 ，na 是是所所有有收收斂斂子子列列極極限限值值的的最最大大數(shù)數(shù). .limlim.kknnkkab 由由極極限限保保號號性性，有有,1,2,kknnabk 也也有有=sup,1,2,1,2,knnnn kbakab n 因為，因為，knnaa

9、對對的的任任意意收收斂斂子子列列，limlimlim.kknnnkknabb . . 綜綜上上所所述述，類似地可以證明類似地可以證明(ii).limsupliminf.nnnnaa 命題命題2 2 廣義實數(shù)列廣義實數(shù)列an存在極限的充要條件是存在極限的充要條件是:充分性充分性limsupliminf.nnnnAaa ,kknnnaaa 對對如如果果收收斂斂，證明證明limlimsupliminf,knnnknnaAaAa 設(shè)設(shè)，則則limsupliminfnnnnaa 因因為為，充分條件說明充分條件說明lim.1nna 同同一一個個數(shù)數(shù)由由命命題題 ，必要性limsupliminflim.nn

10、nnnnaaa na所所以以對對的的任任意意子子列列都都收收斂斂 lim.nnnaaA 所所以以，收收斂斂，且且 na因因為為收收斂斂， nfX設(shè)設(shè)為為集集上上的的廣廣義義實實值值函函數(shù)數(shù)列列， 1sup( )sup( ) ;nnnfxfx sup:,nfXxX 定定義義: :為為，inf:,nfXxX 同同理理，為為 1inf( )inf( ) .nnnfxfx nfX設(shè)設(shè)為為集集上上的的廣廣義義實實值值函函數(shù)數(shù)序序列列，limsup:,nnfX 定定義義: :為為， , limsup( )limsup( ) ;nnnnxXfxfx , liminf( )liminf( ) .nnnnxXf

11、xfx liminf:,nnfX 同同理理，為為.的的點點點點極極限限:,fX 如如果果存存在在，使使得得 , lim( )( ),nnnxXfxf xff 對對則則稱稱 為為,Ra 設(shè)設(shè)如如果果對對任任意意的的上上的的可可測測函函數(shù)數(shù)。是是則則稱稱Xxf)( 都都是是可可測測集集，axfXxafX )( nfX設(shè)設(shè)為為1 1. .集集上上的的1 14 4定定理理廣廣義義實實值值suplim supnnnff 可可測測函函數(shù)數(shù)列列，則則和和，inflim inf.nnnff 以以及及和和均均可可測測證明：證明：，對任意的實數(shù)對任意的實數(shù)a)1(,1afafnnnXxnXx ，使得，使得supl

12、im supnnngfhf 記記和和，.agXx ,)()(sup)(,00axfxfxgnnnn ,)(axfnn ，使得，使得，于是，于是，1afnagnXX ,nfn因因為為可可測測，所所以以 對對每每一一個個nfaX 可可測測，,1可測可測afnagnXX supngf 從從而而，可可測測。(2)supknnn kgff 記記, ,因因為為每每一一個個可可測測，(1),kg由由證證明明每每一一個個是是可可測測的的，1lim sup=infknkhg 從從而而，是是可可測測的的. .infnf同同理理可可證證，可可測測。liminfnnf 同同理理可可證證，可可測測。X可可測測函函數(shù)數(shù)列列，且且收收斂斂到到 上上的的廣廣義義實實值值( ),2f xxX 函函數(shù)數(shù)，對對由由命命題題 ，證明證明 nfX設(shè)設(shè)為為集集 上上的的廣廣義義實實值值( )lim(sup)( )lim(inf)( ).nnnnf xfxfx limsupliminf,nnnnfff 1.14.f由由定定理理， 是是可可測測的的證明證明1.14.