差分方程(1)-基礎(chǔ)知識

1、差差 分分 方方 程程(1)(1) 基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識 一、差分一、差分二、差分方程的概念二、差分方程的概念三、一階常系數(shù)線性差分方程三、一階常系數(shù)線性差分方程四、二階常系數(shù)線性差分方程四、二階常系數(shù)線性差分方程一、差分一、差分 微分方程是自變量連續(xù)取值的問題微分方程是自變量連續(xù)取值的問題, 但在很多實際問但在很多實際問題中題中, 有些變量不是連續(xù)取值的有些變量不是連續(xù)取值的. 例如例如, 經(jīng)濟變量收入、儲經(jīng)濟變量收入、儲蓄等都是時間序列蓄等都是時間序列, 自變量自變量 t 取值為取值為0, 1, 2, , 數(shù)學上把這數(shù)學上把這種變量稱為離散型變量種變量稱為離散型變量. 通常用差商來描述因變量對

2、自變通常用差商來描述因變量對自變量的變化速度量的變化速度.定義定義1 設函數(shù)設函數(shù) y = f (x), 記為記為 yx, 則差則差 yx+1 yx稱為函數(shù)稱為函數(shù) yx 的一階差分的一階差分, 記為記為 yx, 即即 yx = yx+1 yx. ( yx) = yx+1 yx = (yx+2 yx+1) (yx+1 yx) = yx+2 2 yx+1 + yx為二階差分為二階差分, 記為記為 2 yx, 即即 3yx = ( 2yx), 同樣可定義三階差分同樣可定義三階差分 3yx, 四階差分四階差分 4yx, 即即 4yx = ( 3yx) . 2 yx = ( yx) = yx+2 2

3、yx+1 + yx 例例1 求求 (x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3).解解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1, 2(x3) = (3x2 + 3x + 1)= 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1)= 6x + 6, 3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6)= 6, 4(x3) = (6) 6 = 0.二、差分方程的概念二、差分方程的概念 定義定義2 含有自變量、未知函數(shù)及其差分的方程含有自變量、未知函數(shù)及其差分的方程, 稱稱為差分方程為差分方程.差分方程的一般形式

4、為差分方程的一般形式為 F(x, yx, yx, , n yx) = 0. (1)差分方程中可以不含自變量差分方程中可以不含自變量 x 和未知函數(shù)和未知函數(shù) yx, 但必須含但必須含有差分有差分. 式式(1)中中, 當當 n = 1時時, 稱為一階差分方程；當稱為一階差分方程；當n = 2時時, 稱為二階差分方程稱為二階差分方程. 例例2 將差分方程將差分方程 2yx + 2 yx = 0表示成不含差分的形式表示成不含差分的形式.解解 yx = yx+1 yx , 2yx = yx+2 2yx+1 + yx ,代入得代入得 yx+2 yx = 0. 由此可以看出由此可以看出, 差分方程能化為含

5、有某些不同下標差分方程能化為含有某些不同下標的整標函數(shù)的方程的整標函數(shù)的方程. 定義定義3 含有未知函數(shù)幾個時期值的符號的方程含有未知函數(shù)幾個時期值的符號的方程, 稱稱為差分方程為差分方程. 其一般形式為其一般形式為G(x, yx, yx+1, , yx+n) = 0. (2) 定義定義3中要求中要求yx, yx+1, , yx+n不少于兩個不少于兩個. 例如例如, yx+2 + yx+1 = 0為差分方程為差分方程, yx = x不是差分方不是差分方程程. 差分方程式差分方程式(2)中中, 未知函數(shù)下標的最大差數(shù)為未知函數(shù)下標的最大差數(shù)為 n, 則則稱差分方程為稱差分方程為n 階差分方程階差

6、分方程. 定義定義4 如果一個函數(shù)代入差分后如果一個函數(shù)代入差分后, 方程兩邊恒等方程兩邊恒等, 則則稱此函數(shù)為該差分方程的解稱此函數(shù)為該差分方程的解. 例例3 驗證函數(shù)驗證函數(shù) yx = 2x + 1是差分方程是差分方程 yx+1 yx = 2的的解解.解解 yx+1 = 2(x + 1) + 1 = 2x +3, yx+1 yx = 2x + 3 (2x +1) = 2,所以所以yx = 2x + 1是差分方程是差分方程 yx+1 yx = 2的解的解. 定義定義5 差分方程的解中含有任意常數(shù)差分方程的解中含有任意常數(shù), 且任意常數(shù)且任意常數(shù)的個數(shù)與差分方程的階數(shù)相等的個數(shù)與差分方程的階數(shù)

7、相等, 這樣的解稱為差分方程這樣的解稱為差分方程的通的通解解.三、一階常系數(shù)線性差分三、一階常系數(shù)線性差分方程方程 一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為 yx+1 ayx = f (x). (3)其中其中 a 為不等于零的常數(shù)為不等于零的常數(shù).稱為齊次差分方程稱為齊次差分方程; 當當 f (x) 0時時, 稱為非齊次差分方程稱為非齊次差分方程. 當當 f (x) = 0 時時, 即即 yx+1 ayx = 0 (4)先求齊次差分方程先求齊次差分方程 yx+1 ayx = 0的解的解設設 y0 已知已知, 代入方程可知代入方程可知 y1 = ay0, y2 = a

8、2y0, yx = axy0,令令y0 = C, 則得齊次差分方程的通解為則得齊次差分方程的通解為 yx = Cax. (5) 例例4 求差分方程求差分方程 yx+1 + 2yx = 0的通的通解解. 解解 這里這里 a = 2, 由公式由公式(5)得得, 通解為通解為 yx = C( 2)x . 定理定理 設設 y0*是非齊次差分方程是非齊次差分方程(3)對應的齊次差分方對應的齊次差分方程程(4)的通解的通解, 再討論非齊次差分方程再討論非齊次差分方程 yx+1 ayx = f (x)解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)是是(3)的一個特解的一個特解, 則則程程(3)的通解的通解.是方是方下面用待定系數(shù)法來求兩

9、種類型函數(shù)的特解下面用待定系數(shù)法來求兩種類型函數(shù)的特解. (1) 令令f (x) = b0 + b1x + +bmxm設特解的待定式為設特解的待定式為 xy*xxxyyy01(1)mmxyBB xB xa01()(1)mmxyBB xB xxa或或(6)(7)其中其中B0 , B1 , , Bm為待定系數(shù)為待定系數(shù). 例例5 求差分方程求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一個特的一個特解解. 解解 這里這里 a = 2, 設設代入差分方程代入差分方程, 得得2012,xyBB xB x B0+B1(x+1)+B2(x+1)2 2(B0+B1x+B2x2)=3x2.整理整理, 得得 (

10、B0+B1 +B2)+ ( B1+2B2) x B2x2=3x2.比較系數(shù)比較系數(shù), 得得 B0+B1 +B2=0, B1+2B2 = 0, B2 = 3.解出解出 B0= 9, B1 = 6, B2 = 3,故所求特解為故所求特解為2963.xyxx 例例6 求差分方程求差分方程 yx+1 yx = x +1 的通的通解解. 解解 對應的齊次方程對應的齊次方程 yx+1 yx = 0的通解為的通解為這里這里 a = 1, 設設01(),xyx BB x (x+1)B0+B1(x+1) x(B0+B1x) = x +1.整理整理, 得得 2B1 x + B0 + B1 = x +1.比較系數(shù)比

11、較系數(shù), 得得 2B1 = 1,B0 + B1 = 1,解出解出故所求通解為故所求通解為1(1).2xyCx x代入差分方程代入差分方程, 得得011,2BB*.xyC(2) f (x) = Cbx 設特解的待定式為設特解的待定式為 ()xxykbba()xxykxbba或或(8)(9)其中其中 k 為待定系數(shù)為待定系數(shù). 例例7 求差分方程求差分方程 的通的通解解. 解解 對應的齊次方程對應的齊次方程的通解為的通解為1102xxyy因為因為故可設特解為故可設特解為則則15155,2222xxxkk11522xxxyy*1,2xxyC15,22ab5,2xxyk解出解出1.2k 則所求通解為則

12、所求通解為1 51.2 22xxxy四、二階常系數(shù)線性差分方程四、二階常系數(shù)線性差分方程 形如形如 yx+2 + ayx+1 + byx = f (x). (10)(其中其中 a , b 0, 且均為且均為常數(shù)常數(shù))的方程的方程, 稱為二階常系數(shù)線性稱為二階常系數(shù)線性差分方程差分方程.稱為齊次差分方程稱為齊次差分方程; 當當 f (x) 0時時, 稱為非齊次差分方程稱為非齊次差分方程.當當 f (x) = 0 時時, 即即 yx+2 + ayx+1 + byx = 0 (11) 類似于二階線性常微分方程類似于二階線性常微分方程, 二階線性差分方程與二階線性差分方程與其有相同的解的結(jié)構(gòu)其有相同的

13、解的結(jié)構(gòu). 故先求齊次方程故先求齊次方程(11)的通解的通解. 當當 為常數(shù)時為常數(shù)時, yx = x和它的各階差商有倍數(shù)關(guān)系和它的各階差商有倍數(shù)關(guān)系,所以可設所以可設 yx = x為方程為方程(11)的解的解.代如方程代如方程(11)得得 x+2 + a x+1 + b x = 0,方程方程(12)稱為齊次差分方程稱為齊次差分方程(11)的特征方程的特征方程.特征方程的解特征方程的解兩個不相等的實根兩個不相等的實根 1, 2一對共軛復根一對共軛復根 1,2= i兩個相等實根兩個相等實根 1 = 2 x+2 + a x+1 + b x = 0的通解的通解 2 + a + b = 0, (12)

14、 由特征方程的根的情況可得齊次方程的通解：由特征方程的根的情況可得齊次方程的通解：1122xxxyCC121()xxyCC x 1222(cossin),tanxxyCxCx rr 例例8 求差分方程求差分方程 yx+2 7yx+1 + 6yx = 0的通的通解解. 解解 特征方程為特征方程為 方程的根為方程的根為 1 = 1, 2 = 6. 2 7 + 6 = 0.原方程的通解為原方程的通解為 yx = C1 + C2 6x. 例例9 求差分方程求差分方程 yx+2 4yx+1 + 16yx = 0滿足條件滿足條件y0=0, y1=1的特的特解解. 解解 特征方程為特征方程為 方程的根為方程

15、的根為 2 4 + 16 = 0.原方程的通解為原方程的通解為1,222 3 , i 4,.3r 12cossin4 .33xxyCxCx代入初始條件代入初始條件 y0=0, y1=1得得012112cos0sin0 40,cossin41,33CCCC 解出解出1210,2 3CC故所求特解為故所求特解為14sin.32 3xxyx (1) f (x) = b0 + b1x + +bmxm 根據(jù)非齊次差分方程根據(jù)非齊次差分方程 yx+2 + ayx+1 + byx = f (x)的函數(shù)的函數(shù) f (x)的形式的形式, 用待定系數(shù)法可求出一個特解用待定系數(shù)法可求出一個特解.設特解的待定式為設特

16、解的待定式為 01(10),mmxyBB xB xab01()(1020)mmxyBB xB xxaba且且其中其中B0 , B1 , , Bm為待定系數(shù)為待定系數(shù). 201()(120).mmxyBB xB xxaba 例例10 求差分方程求差分方程 yx+2 + yx+1 2yx = 12x的通的通解解. 解解 對應的齊次方程的特征方程為對應的齊次方程的特征方程為 方程的根為方程的根為 1 = 2, 2 = 1, 2 + 2 = 0.齊次方程的通解為齊次方程的通解為*12( 2) .xxyCC 因為因為 a = 1, b = 2, 1+a+b = 0, 但但 a+2 = 3 0,所以所以, 設設非齊次方程的一個特解為非齊次方程的一個特解為01() ,xyBB x x代入原方程代入原方程, 得得整理整理, 得得 B0+B1(x+2)(x+2)+B0+B1 (x+1)(x+1) (B0+B1x)x=12x.比較系數(shù)比較系數(shù), 得得 6B1 = 12,3B0 + 5B1 = 0,解出解出故所求通解為故所求通解為21210( 2)2.3xxyCCxx 6B1x + 3B0 + 5B1 =12x.0110,2,3BB (2) f (x) = Cqx 設特解的待定式為設特解的待定式為 xxyBqxxyBxq其中其中 B 為待定系數(shù)為待定系數(shù). (q不是特征根不是特征根); (