數(shù)列通項(xiàng)公式求法大全

1、數(shù)列通項(xiàng)公式的十種求法一、公式法_ 、累加法an 1anf(n)例 1已知數(shù)列an滿足an 1an2n 1,印1, 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2ann例 2已知數(shù)列an滿足an 1an2 3n1,313,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(an3nn 1.)三、累乘法an 1f(n)an例 3已知數(shù)列 an滿足an 12(n1)5n1an,63，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(ann(n 1)3 2n 152n!.)評(píng)注:本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系an 12(n 1)Tan轉(zhuǎn)化為旦口2(n1)5n,進(jìn)而求出_anaALa3a2Qi，即得數(shù)列 佝的通項(xiàng)公式。an 1Qn 2a2Q1例4已知數(shù)列an滿足a11,ana2a

2、23a3L (n 1)an1(n 2)，求an的通項(xiàng)公式。(an!.)2評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 1(n 1)an(n 2)轉(zhuǎn)化為 也n 1(n 2)，an進(jìn)而求出L3a2，從而可得當(dāng)n 2時(shí)，an的表達(dá)式，最后再求出數(shù)列 an的an 1an 2a2通項(xiàng)公式。四、待定系數(shù)法an 1panq an 1panf na. 2pa. 1qa.(其中 p，q 均為常數(shù))。例 5 已知數(shù)列 an滿足an 12an3 5n,ai6，求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式。(a.2n 15n)評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 12an35n轉(zhuǎn)化為an 15n 12(an5n),從而可知數(shù)列an5n是等比數(shù)列

3、，進(jìn)而求出數(shù)列an5n的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。例 6 已知數(shù)列an滿足an13an52n4，a“1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(an13 3n 15 2n2)評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an13an5 2n4轉(zhuǎn)化為an 152n123(an52n2)，從而可知數(shù)列an5 2n2是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列an5 2n2的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。例 7 已知數(shù)列an滿足an 12an3n24n 5, & 1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(an2n 43n210n 18)評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 12an3n24n 5轉(zhuǎn)化為2 2an 13(n 1) 10(n

4、 1) 18 2(a*3n 10n 18)，從而可知數(shù)列2 2an3n 10n 18是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列a.3n 10n 18的通項(xiàng)公式，最后再 求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。五、遞推公式為Sn與an的關(guān)系式( (或Snfn) )式an.解法：這種類型一般利用anS1SnSn 1(n 1)(n 2)例 8 已知數(shù)列an前 n 項(xiàng)和Sn4 an求an 1與an的關(guān)系;2)求通項(xiàng)公例 5 已知數(shù)列 an滿足an 12an3 5n,ai6，求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式。an23n3的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。七、對(duì)數(shù)變換法 （當(dāng)通項(xiàng)公式中含幕指數(shù)時(shí)適用）n 5例 10 已知數(shù)列an滿足an 12

5、3an，a17，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。n nn c解：因?yàn)閍n 12 3an,印7，所以an0,an 10。在an 12 3an式兩邊取常用對(duì)數(shù)得lg an 15lg ann lg3 Ig 2設(shè)lgan 1x(n 1) y 5(lg anxn y)將式代入式，得5lgann lg3 lg 2x(n1)y 5(lg anxn y)，兩邊消去5lg an并整理，得(lg3 x)n x y lg 2 5xn 5y，貝U例 9 已知數(shù)列an滿足an 13an3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：an 12 3n1兩邊除以n 1an 13，得TTT3an2(n 1)3n(1 3n 1)12n33n3n評(píng)注：本題

6、解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an3an2 3n1轉(zhuǎn)化為an 1an2進(jìn)而求出譯罷）（罷巽a2a1(2 13231號(hào)，即得數(shù)列an3nlg3 x 5x斗，故x y lg2 5ylg34lg3lg21641所以數(shù)列l(wèi)g an里n 竺是以lg 7 里 為首項(xiàng)，以 5 為公比的等41644164比數(shù)列，則Igan里n空也（lg 7里里也）5“1，因此n41644164lg an(lg 7lg3lg3lg2)5n1lg 3nlg3 lg24164464111n1(lg7lg 34lg36lg24)511lg34lg 316lg21 11n11lg(73431624)5n 1lg(3431624)1 11n1

7、 1lg(7 3431624)5n1lg(3431624)5n1n5n 115n 11lg(75n134316524n 1/)5n 4n 15n 11lg(75n 131624)5n 4n 15n 11則an7513162評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過對(duì)數(shù)變換把遞推關(guān)系式an12 3na；j轉(zhuǎn)化為lg an 1也（門1） 5（lg ann 2），從而可知數(shù)列41644164lg3lg3lg 2lg3lg3lg2lg ann是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列l(wèi)g ann的通項(xiàng)41644164公式，最后再求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。代入式，得lg an 1孚(n 1)4lg376lg245(lg annlg3 ig

8、2)T 16_T)由igQlg314lg316lg24ig7lg34lg3 lg2160及式,得lg anlg316lg24lg an則 -lg376lg24lgann也厲161八、迭代法例 11 已知數(shù)列an滿足an 1an（n 1）2,a15，求數(shù)列務(wù)的通項(xiàng)公式。3(n 1)2n3n 2n 13(n 1) 2n 23n 2n 1解：因?yàn)閍n 1an()，所以anan 1an(21評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前 公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。十、換元法例 13 已知數(shù)列an滿足an 1 (1 4an1 24an), &1612又印5，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an

9、5n(n 1).3n 1n! 22-) 。評(píng)注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。即先將等式an1an(n 1)2n兩邊取常用對(duì)數(shù)得lg an 13(n1) 2nlg an，即lg an 1lg an3(n1)2n，再由累乘法可推知lga”譽(yù)瞥Llg an 1Igan 2lga3lg a2lgalgclgai3n 1n! 2lg5n(n 1)23n 1n!2.，從而an5n(n 1)2。九、數(shù)學(xué)歸納法例 12 已知數(shù)列an滿足an 1an8(n1)2 2?(2n1)2(2 n 3)28，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。9解：由an 1an8(n 1)(2n 1)2(2 n 3)28及a

10、1，得9由此可猜測(cè)an(2nD21，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。(2n 1)2(1)當(dāng)n 1時(shí),(2 1 1)21C2(2 1 1)28，所以等式成立。9(2)假設(shè)當(dāng)n k時(shí)等式成立，即akk 1時(shí),由此可知，當(dāng)n k 1時(shí)等式也成立。根據(jù)(1)，( 2)可知，等式對(duì)任何nN都成立。n 項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：令n ,1 24an，則an刃(bn121i-故an 1(bn 11)，代入an 1(1 4an. 1 24an)得2416即4b：1(b 3)2因?yàn)閎n,240；0，故bn11 24an10ntt13則2bn 1bn3，即bn 1 g2 21可化為bn 13 (bn3),21所以bn3是以b 3 . 1 24a131 24 1 3 2為首