廈門理工學(xué)院高數(shù)答案練習(xí)題第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、高等數(shù)學(xué)練習(xí)題第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用352若f (x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，X1、X2是(a,b)內(nèi)任意兩點，且 為：x?，則至少存在一點，使得C (A)f (b) - f (a)二f ( )(b - a)(a：b);(B)f (b)f (xj二f ( )(bxj( x ： - b);(C) f(X2)- f (xj = f ( )(X2-xj(X1：:X2)；(D)f (x2) - f (a) = f ( )(x2- a) ( a：x2)填空題2_系_ 專業(yè)_ 班 姓名 3.1微分中值定理 一選擇題1.在區(qū)間-1,1 1上，下列函數(shù)滿足羅爾中值定理的是(A)f x二322x211(B)

2、f xtx2(C)f x =3x2_學(xué)號_A 2(D) f x = 1 - 3x 2x3 下列函數(shù)在給定區(qū)間上不滿足拉格朗日定理條件的有B 2x(A)f(x)2，-1,11 +x(B)f(x)二x,-1,232(C)f (x) =4x -5x x -2, 0,1(D)2f(x) =1 n(1 x ),0,34 設(shè)f (X),g(x)是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且f (x)g(x)-f (x)g (x)：0,貝U當(dāng)a x b時，有A (A)f(x)g(b) f(b)g(x)(B)f(x)g(a) f(a)g(x)(C)f(x)g(x) - f(b)g(b)(D)f(x)g(x) f(a)g(a)361

3、 對函數(shù)f(x) = px qx r在區(qū)間a,b上應(yīng)用拉格朗日定理時，所求的拉格朗日定理結(jié)2若f (x)在a,b上連續(xù)， 在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點：(a,b), 使得ef一ef(a)=ef(f (，)(ba)成立3設(shè)f (x) =x(x-1)(x-2)(x-3),則(x)=0有3 個根，它們分別位于區(qū)間 (0,1) 一;(1,2);(2,3)_ 內(nèi).三.證明題b -a , b b -a1當(dāng)0：a：b，試證：Inb a a證：令f (x) = In x,可知f (x)在a,b連續(xù)，在( (a,b)上可導(dǎo)由拉格朗日定理可知，存在(a,b)1b使得f ( )(b-a)(b-a) = In

4、b - In a = Ina111又0：a：: b,所以 ，且( (b - a) 0,b ab -a . b b -a即In。 得證b a aJI2 證明：arcs in x arccosx =2證明：令f (x)二arcsinx arccosx論中的，總是等于高等數(shù)學(xué)練習(xí)題第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用37_系_ 專業(yè)_ 班 姓名_學(xué)號_3.2 洛比達(dá)法則 一填空題二、判斷題：（正確的括號內(nèi)打，錯誤的在括號內(nèi)打“X”）三.計算題limx0 xeesin xx3-x2:x1叫(1 -x)ta n 322x -3x 1-x 1F 列極限能夠使用洛必達(dá)法則的是1 x(A)limxT 1 -sinb

5、x兀(C)lim x( arctanx);XT說24.6.lxmvx -vaIn tan3xlimx- ln tan5xlim xex 0 (B) limx/he-He2x sin-36a(D)limx 1的值，t sinx“imgx廠1 COSX（不存在）x,e cosx2.limx ox2x .e sin x=limx )02xexcosx=limx02cosxxe1.lim -x_01 7n x -cosxc 0右cxo se -xsi rx e=l i mx arcsinx2.lim.3sin xx一arcs in=limx )01 x23x238f14.lim 7 lx ex1丿xt

6、a n x=ximWT；=lxmixln x _(x -1)lim(x -1)ln xx 1xln x x -1ex_1_xex-x-1=limxlimx x(ex-1)xln x 1ln x 22xe-1=limlimx 02xx0i：x5.lim (1一x) tan-x1216.lim(cot.(1X)=limx 1二Xcotp令y = (cotx)lnx，則In1ln cot xln x=limx 12/二x、:limn y limln cot xx9x刃l(wèi)n x=limx 0 tan x(csc2x)2xlim (arctanx)x r：二2x2解:令y = ( arctan x)x,

7、貝U ln y = xln( arctanx)li8（見下一頁）lim ln y =limX )二x )二2ln(arcta nx)n二limX.n1 1arcta nx 1 x21 2x2_xim：七arcta nx2JIx392x3x4xInIn y3-xx x,2Inlim In y = limx 0 x_0YYY2 In 23 In 34 In 48-Xm02x3x4丿J| n24 =1 n3243所以，lim丄n3i+4x匸24n324,= eln324=3.24解：設(shè)y =2x3x4x34x3x2x3x4x高等數(shù)學(xué)練習(xí)題第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用40_系_ 專業(yè)_ 班 姓名_學(xué)

8、號_ 3.4函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性一填空題1 .函數(shù)y=x33x?9x+5在區(qū)間_ （一1,3）_內(nèi)單調(diào)減少,在區(qū)間（亠,一1）和（3,驅(qū)） 內(nèi)單調(diào)增加.1、 _ 、 、 -2.y=x+在區(qū)間（_i 0）和（0,）內(nèi)單潤減少，在區(qū)間|（_oo，一1）禾口（1，旳）.x內(nèi)單調(diào)增加.3 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_ R_。4.函數(shù)y =2x2-1 nx在區(qū)間_（o,* ）內(nèi)單調(diào)減少，在區(qū)間_（1，址L內(nèi)單調(diào)增加.5.曲線y=xe的凸（向上凸）區(qū)間是_（一,2）_，凹（向下凸）區(qū)間是_（2,+）_a=b,且a = 07當(dāng)a#0_,b| = 0. ,c時，點(0,1)為曲線y = ax3+bx2+c的拐點

9、。.選擇題1.曲線y=x3-12x，1在區(qū)間（0,2）內(nèi)B （A）凹且單調(diào)增加（B）凹且單調(diào)減少（C）凸且單調(diào)增加（D）凸且單調(diào)減少2 .若f （x）二階可導(dǎo)，且f（x）二-f（-x），又x （0,：）時，f （x） - 0,f （x） - 0，則在（：,0）內(nèi)曲線y = f（x）C（A）單調(diào)下降，曲線是凸的（B）單調(diào)下降，曲線是凹的（C）單調(diào)上升，曲線是凸的（D）單調(diào)上升，曲線是凹的3 .條件（X。）=0是f（x）的圖形在點x =x處有拐點的（D）條件.（A ）必要條件（B ）充分條件（C）充分必要條件（D）以上都不是4設(shè)函數(shù)f (x)連續(xù)，且f (0) 0,則存在 0，使得C 416.若曲

10、線y=（ax b）在（1,（ab）處有拐點，貝U a與b應(yīng)滿足關(guān)系4設(shè)函數(shù)f (x)連續(xù)，且f (0) 0,則存在 0，使得C 42討論方程x3-3x 0在區(qū)間0,1內(nèi)有幾個根？3解：設(shè)f(x)=x-3x 10,則f (x)在0, 1上連續(xù).又f(0) =1 0, f(1)=1：0,故由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知存在.(0,1)使得f(J=0.即f(x)二0在0,1至少有一個根。又當(dāng)0：x1 時，f (x) =3x2-3：0所以f(x)在(0, 1)單調(diào)減少,即f(x)二0在0,1至多有一個根。綜上所述,f(x)二0在0,1只有一個根。四證明題：13兀1 證明tan x x x ( 0：x )

11、2213證明：令f(x) = tanx-xx3故f (x) =sec x -1- x2二tan2x-x2又i x (0,3)tan x x 0(A)f (x)在(0)內(nèi)單調(diào)增加(C)對任意的x (0,、)有f (x) . f (0)2 25曲線y=(x-1) (x-3)的拐點個數(shù)為(A) 0( B) 1(B)f (x)在(-、，0)內(nèi)單調(diào)減少(D )對任意的X(-、；，0)有f(x) . f (0)C (C) 2(D) 34設(shè)函數(shù)f (x)連續(xù)，且f (0) 0,則存在 0，使得C 43所以，f (x)0,即f (x)在(0, 3)單調(diào)遞增:13_x (0, ) f x ) f (0),即ta

12、n x xx3。得證23442 利用函數(shù)的凹凸性證明證：令f (t)二tin t.xln x y ln y (xy)ln(x . 0 ,y 0 x= y )f (t) =lnt t- t=in t 1,1f (t)0所以f(t)在(0, ： ： )上是向上凹的 故對任意的x, y (0, ：)f(f(x) f(y)2即J,宀y)曲x x額2 2 2所以，xl nx y l y x( y45高等數(shù)學(xué)練習(xí)題第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用_ 系_ 專業(yè)_ 班 姓名_ 學(xué)號 3.5 函數(shù)的極值.填空題31當(dāng)x = 1時，函數(shù)y =x - 3px q有極值，那么p =2 .函數(shù) y =sin(x，)，二

13、，在區(qū)間七，二上的極大值點 x二_ 0時，函數(shù) f(x)=asi nx si n 3x 在處取得極_ 大 值時，其極大值33=ax3bx4cx d在x = 0處取得極值y = 0,(1,1)點是拐點，則a二,c =_ 0二.選擇題3.下列命題為真的是4 .當(dāng)Xx0時,f (x) 0，當(dāng)X :：Xo時,f (x) : 0,則X0必定是函數(shù)f (X)的-11.設(shè)函數(shù)f(x)滿足，f(X。)=0,f (xj不存在，則(A)X=X及X=為都是極值點(B)只有X = X是極值點(C)只有X =X!是極值點(D)X = X0與X =為都有可能不是極值點5 設(shè)函數(shù)f(X)在(：，：)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)的圖形如圖

14、所示，則f(x)有 C 346(A)極大值點；(B)極小值點；(C)駐點；(D)以上都不對(A)若 X。為極值點，則 f(X。)=0(B)若 f仏)=0，則 X0為極值點(C)極值點可以是邊界點(D)若 X0為極值點，且存在導(dǎo)數(shù)，則f (x)=04 .如果f (X)在X0達(dá)到極大值，且f (X0)存在，則f (X0)(A) g(B):：0；(C)(D)04718193(A)2(B)86(C)4(D)3三.求下列函數(shù)極值1.y = x3- 3x2-9x 5解：y =3x2-6x-9 = 3(x -3)(x+1)令y =0可得x= - 1或x=3當(dāng)x：-1時，y 0,當(dāng) 一1 ”：x : 3時，y

15、：0所以y在x = -1處取得極大值y(-1) =10當(dāng) 一1：x：3時y 0當(dāng)x 3時y 0所以y在 3 處 取得極小值y(3) = -22。2.y =(x -5)23(x 1)2-22-解：y” =2(x -5)(x 1)3(x -5) (x 1)3(A)一個極小值點和兩個極大值點(B)兩個極小值點和一個極大值點(C)兩個極小值點和兩個極大值點(D)三個極小值點和一個極大值點26 .函數(shù)f (x) = X -1n(1 - X )在定義域內(nèi)(A)無極值(C)極小值為1-ln 2(B)極大值為1I n 2(D)f (x)為非單調(diào)函數(shù)27.若函數(shù)y = 2 x - x的極大值點是x=丄，則函數(shù)y

16、=圧2 x - X22的極大值是D y-xA 5 設(shè)函數(shù)f(X)在(：，：)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有 C 3486(x 5)(x 1) 2(x5)23(x 1)32(x -5)3(x 1) (x -5)= 13(x 1)3_ 2(x -5)(4x -2)13(x 1)31令y =0可得x=-或X =52當(dāng)x = -1時，y不存在1由X = -1,x ,x=5把(：，：)分成四個部分區(qū)間，并列表討論如下:X(T -1)-17125(5嚴(yán))f (x)不存在+00+f(x)極小值/極大值極小值/181 9所以，函數(shù)的極大值為y()丁24 Y4極小值為y(-1) = 0,y( 5)

17、= 0高等數(shù)學(xué)練習(xí)題第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用49專業(yè)_ 班 姓名函數(shù)的最大值最小值學(xué)號.填空題1.函數(shù)f(x) =x 2cosx在0,亍上的最大值為，最小值為兀62422.y = x -8x2(-1乞x乞3)在x3處取得最大值_11_,在 x =處取得最小值二.選擇題-1421 .Y在_1, 2上沒有(A)極大值(B)極小值(C) 最大值(D)最小值2 函數(shù)二1在(0, 1)內(nèi)的最小值是x(A)0(B)1(C) 任何小于 1 的數(shù)(D)不存在3 .函數(shù) y =x21 在區(qū)間(-1, 1)上的最大值是(B)1(A) 04 設(shè)有一根長為 L 的鐵絲，將其分為兩斷,s方形面積為S2，當(dāng)Si S

18、2最小時，S21(A)4(B)4三、要造一圓柱形油罐,底直徑與高的比是多少體積為解：已知V=：r2h可得h(D)不存在(C)分別構(gòu)成圓形和正方形，若記圓形面積為S1,兀(C)；4(D)nV，問應(yīng)半徑r和高h(yuǎn)等于多少時，才能使表面積最小?這時V2r(方法一)S(r)=2- r22- rh=2二r22二rV二r22 - r22VrS (r) =4二r -2三,令S (r) =0r=r3uVh2=2r兀r2由于駐點唯一，且最小值存在，所以當(dāng)h = 2r時, 表面積最小。=3650（方法二）2 2S(r) =2二r2二rh=2二r二rh二rh1 1_3 (2二3r4h4)3=3 (2二V2)3當(dāng)2二r

19、2-二rh即h =2r時等號成立。1面積取得最小值為3 (2二V2)3。4 2(x2-2x 4)2四某地區(qū)防空洞的截面積擬建成矩形加半圓如下圖才能使截面的周長最小，從而使建造時所用的材料最省.1x212解：由已知5二xy（一）二xy+x2可得,22 81x2，截面的面積為5m2,問底寬為多少時L( x) = x 2 yL(X(41)102x由于駐點唯一，且最小值存在，所以當(dāng)x二，40時，材料最省。:二4=x =40二451yxx 81x)=(1)x高等數(shù)學(xué)練習(xí)題第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用516討二2的圖形x 2x +4解：（1）所給函數(shù)的定義域為 R,-6(2x-2)2 2(x2-2x4)

20、2-12(x -1)(X2-2x 4)2-(x -1)2(X2-2x 4)(2x-2)(x2-2x 4)4(x2-2x 4) -4(x-1)2(x2-2x 4)3（2）y的零點為x =1,y的零點為x = 0,x = 2,這些點把定義域分成四個部分五.作函數(shù)x(x-2)23(x -2x 4)52在各個區(qū)間，y；y得符號，相應(yīng)的曲線的升降性及凹凸性，以及拐點，如下表:x(TO)0(0,1)1(1,2)2(2十)ry+0ft y+00+圖形丿拐點廠極大值拐點(4)lim -60，所以，y二0是函數(shù)的水平漸進(jìn)線。x護x2_2x + 4(5)描點作圖(略)高等數(shù)學(xué)練習(xí)題第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用5

21、3y =2cost在x = 2處的曲率K =，曲率半徑P13寸13告=1 (a b 0)在長軸端點(a ,0)的曲率K二b三、計算題:1 .求曲線y = In x上曲率最大的點及該點處的曲率半徑.x2專業(yè)姓名學(xué)號、填空題拋物線y3.7 曲率=x2x在點(1,0)處的曲率K =_，曲率半徑丫 :v：2_(A)0(B)b2(C)ba2(D)不存在K(x)二K (x)二yi(1 (y)2)22X1(1丄2x(X21)2-X2(x21)22x(x21)3令K (x) =0且可知(x2(x21)2(1-2x2)(x21)3當(dāng)X尋時K(x)取得最大值。K(込宀29曲率半徑-23.3曲線x =4sin t,

22、2 2曲線x xy y=3在點(1,1)的曲率為13 13二、選擇題:542 .汽車連同載重共 5 噸，在拋物線拱橋上行駛，速度為 21.6 （公里/小時）橋的跨度為 10 米,拱的矢高為 0.25 米，求汽車越過橋頂時對橋的壓力。解：取橋頂為原點，豎直向下為y 軸的正方向，則拋物線的方程為y = ax2（a 0）橋端點（5， 0.25）在拋物線上，=a =0.01所以拋物線的方程為y二0.01x2，y =0.02x, y =0.02，所以y (0) = 0,所以在橋頂處拋物線的曲率半徑為_（y）2）2mv25 103(21.6 103)50(60 60)所以汽車越過橋頂時對橋的總壓力為51

23、0009七3 604 514 0 0y (0) =0.02= 3600(N)高等數(shù)學(xué)練習(xí)題第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用55_系_ 專業(yè)_班 姓名_學(xué)號_綜合練習(xí)一填空題1 函數(shù)f(x)二x、3-x在0,3上滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理確定的=_2_2x2 .極限lim(cos ) =1 _。xx3 y=V6Z在區(qū)間|(,0)和(4,+閔)內(nèi)單調(diào)減少在區(qū)間(0,4)|內(nèi)單調(diào)增加。-14._y = x2x在x =匚壬 處取得極小值.In*，+35._ y =x+/ x 在-5, 1的最大值點為x=。4選擇題_ 21 .函數(shù) y =x -In(1 - x )在定義域內(nèi)A (A)無極值(B)極大值為1 -ln2(C)極小值為1 -ln2(D) f (x)為非單調(diào)函數(shù)44丄lnx2 .曲線y = x B x(A)x =1是垂直漸近線(B)y = x為斜漸近線(C)單調(diào)減少(D)有 2 個拐點In x-x, x13 設(shè)函數(shù)f(x)2，則C x -