向量組的線性相關(guān)性

1、Henan Agricultural University 一、解的判定定理 二、方程組的求解 結(jié)束回回 顧顧Henan Agricultural University 一、一、n 維向量的定義及線性運算維向量的定義及線性運算 二、向量組的線性相關(guān)性的定義二、向量組的線性相關(guān)性的定義 三、向量組的線性相關(guān)性的判定三、向量組的線性相關(guān)性的判定 四、向量組的線性相關(guān)性的系列性質(zhì)四、向量組的線性相關(guān)性的系列性質(zhì)第二節(jié) 向量組的線性相關(guān)性Henan Agricultural University一、一、n 維向量的定義及線性運算維向量的定義及線性運算1. 一維、二維、三維向量，推廣到一維、二維、三維向

2、量，推廣到 n 維向量維向量v n維向量維向量 n個有次序的數(shù)a1 a2 an所組成的數(shù)組 (a1 a2 an ) 或 (a1 a2 an )T分別稱為n維行向量行向量或或列向量列向量。向量通常用黑體小寫希臘字母 、 等表示。顯然，行向量即為行矩陣，列向量為列矩陣。 這n個數(shù)稱為向量的n個分量 第i個數(shù)ai稱為第i個分量 分量全為實數(shù)的向量稱為實向量分量全為實數(shù)的向量稱為實向量 分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量 Henan Agricultural University 行向量與列向量都按矩陣的運算規(guī)則進(jìn)行運算 特別地，向量的加法，向量的數(shù)乘，稱為向量的特別地，向量的加法，

3、向量的數(shù)乘，稱為向量的線性運算線性運算。向量的線性運算滿足向量的線性運算滿足8 8個規(guī)則個規(guī)則： 全體的n維向量的集合關(guān)于線性運算是封閉的，我們將該集合稱為n維向量空間（或線性空間）。 例如，全體3維向量的集合；閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的集合；一元n次多項式的集合；實數(shù)域上可導(dǎo)函數(shù)的集合等，皆為向量空間。2.2.向量的線性運算向量的線性運算Henan Agricultural University 一個mn矩陣對應(yīng)一個m維列向量組 也對應(yīng)一個n維行向量組 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 12111maaa 22212maaa mnnnaaa21 )( )()(21222211

4、1211mnmmnnaaaaaaaaa 線性方程AmnX0的全體解當(dāng)R(A)n時是一個含無限多個n維列向量的向量組 v向量組 若干個同維數(shù)的列向量若干個同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量或同維數(shù)的行向量)所組成的集所組成的集合叫做向量組合叫做向量組 Henan Agricultural University 1. 線性組合與線性表示線性組合與線性表示 設(shè) A a1 a2 am是一向量組 表達(dá)式 k1a1k2a2 kmam稱為向量組A的一個線性組合線性組合 其中k1 k2 km是一組實數(shù) 稱為這個線性組合的系數(shù) 如果向量b是向量組A的線性組合b 1a12a2 mam則稱向量向量b能由向量組能由向量

5、組A線性表示線性表示 二、向量組的線性相關(guān)性的定義二、向量組的線性相關(guān)性的定義例如，任一n維向量，都可以由n維基向量線性表示。Henan Agricultural University 例例1 判斷向量b1(4 3 1 11)T是否為向量組a1(1 2 1 5)T a2(2 1 1 1)T的線性組合 若是 寫出表示式 考慮x1a1x2a2b1 解解 所以R(a1 a2 b1)R(a1 2) 從而方程組有解 即b1可由a1 a2線性表示 且存在x12 x21 使2a1a2b1 1113111312421) , ,(121TTTbaa000000110201 000000110421 990330

6、550421 rrr因為1113111312421) , ,(121TTTbaa000000110201 000000110421 990330550421 rrr1113111312421) , ,(121TTTbaa000000110201 000000110421 990330550421 rrr1113111312421) , ,(121TTTbaa000000110201 000000110421 990330550421 rrr v定理定理1 向量b能由向量組A a1 a2 am線性表示的充分必要條件是矩陣A(a1 a2 am)與矩陣B(a1 a2 am b)的秩相等 即R(A)R

7、(B) 此為非齊次線性方程組，Henan Agricultural University2.2.向量組線性相關(guān)的定義向量組線性相關(guān)的定義 定義定義1 1 向量組A a1 a2 am(m2)線性相關(guān)在向量組A中至少有一個向量能由其余m1個向量線性表示 定義定義2 2 給定向量組A a1 a2 am k個數(shù)k1 k2 km 構(gòu)造 k1a1 k2a2 kmam 0 （* *） 如果存在不全為零的數(shù)k1 k2 km 使（*）式成立，稱向量組A是線性相關(guān)的 否則稱它線性無關(guān) 這兩個定義是等價的：Henan Agricultural University 如果向量組A中有某個向量(不妨設(shè)am)能由其余m1

8、個向量線性表示 即有1 2 m1 使am1a12a2 m1am1于是 1a12a2 m1am1(1)am0因為1 2 m1 1不全為0 所以向量組A線性相關(guān) 如果向量組A線性相關(guān) 則有k1a1k2a2 kmam0其中k1 k2 km不全為0 不妨設(shè)k10 于是 a1(1/k1)(k2a2 kmam)即a1能由a2 am線性表示 Henan Agricultural University 例2 設(shè)a1(1 2 3)T a2(0 2 5)T a3(2 0 4)T 討論向量組a1 a2 a3的線性相關(guān)性 解 000402520321321 因為 000210201 1050420201 453022

9、201 rr000210201 1050420201 453022201 rr000210201 1050420201 453022201 rr 考察線性方程組1a12a23a3 0 即 即方程組有非零解 所以向量組a1 a2 a2線性相關(guān) 即R(A)n nHenan Agricultural University研究這個例子：因為 000210201 1050420201 453022201 rr(a1 a2 a3)R(A)n n方程組有非零解 向量組a1 a2 a2線性相關(guān) R(A)n n方程組有唯一解 向量組a1 a2 a2線性無關(guān) Henan Agricultural Universi

10、tyv定理2 向量組a1 a2 am線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣A(a1 a2 am)的秩小于向量個數(shù)m 向量組線性無關(guān)的充分必要條件是R(A)m 這是因為 向量組A a1 a2 am線性相關(guān) x1a1x2a2 xmam0即Ax0有非零解 R(A)m 判定具體向量組的相關(guān)性可以用定義判定具體向量組的相關(guān)性可以用定義2 2和定理和定理2 2；判定抽象向量組的相關(guān)性用定義判定抽象向量組的相關(guān)性用定義2.2.Henan Agricultural University n維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成的矩陣為E(e1 e2 en) 是n階單位矩陣 由|E|10 知R(E)n 即R(E)等于向量組中向量

11、個數(shù) 所以此向量組是線性無關(guān)的 例3 試討論n維單位坐標(biāo)向量組的線性相關(guān)性 解 向量組a1 a2 am線性無關(guān)R(a1 a2 am)m Henan Agricultural University 例4 已知a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T試討論向量組a1 a2 a3及向量組a1 a2的線性相關(guān)性 解 n維單位坐標(biāo)向量組e1 e2 en是線性無關(guān)的 對矩陣(a1 a2 a3)施行初等行變換變成行階梯形矩陣000220201 550220201 751421201) , ,(321rraaa000220201 550220201 751421201) , ,(321

12、rraaa000220201 550220201 751421201) , ,(321rraaa 向量組a1 a2 am線性無關(guān)R(a1 a2 am)m 可見R(a1 a2 a3)2 R(a1 a2)2 故向量組a1 a2 a3線性相關(guān) 向量組a1 a2線性無關(guān) Henan Agricultural University 設(shè)有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30即 x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0亦即(x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30 因為a1 a2 a3線性無關(guān) 故有 例5 已知向量組a1 a2 a3線性無關(guān) b1a1a2 b2a2a3 b3a3a

13、1 試證向量組b1 b2 b3線性無關(guān) 證法一 000322131xxxxxx 由于此方程組的系數(shù)行列式02110011101 故方程組只有零解x1x2x30 所以向量組b1 b2 b3線性無關(guān)Henan Agricultural University 把已知的三個向量等式寫成一個矩陣等式 例5 已知向量組a1 a2 a3線性無關(guān) b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 試證向量組b1 b2 b3線性無關(guān) 證法二 110011101) , ,() , ,(321321aaabbb 因為矩陣A的列向量組線性無關(guān) 所以可推知Kx0 又因|K|20 知方程Kx0只有零解x0 所以矩陣B的列向量組b

14、1 b2 b3線性無關(guān) 記作BAK 設(shè)Bx0 以BAK代入得A(Kx)0 Henan Agricultural University 例5 已知向量組a1 a2 a3線性無關(guān) b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 試證向量組b1 b2 b3線性無關(guān) 證法三 因為A的列向量組線性無關(guān) 所以R(A)3 從而R(B)3 因此b1 b2 b3線性無關(guān)因為|K|20 知K可逆 所以R(B)R(A) 把已知的三個向量等式寫成一個矩陣等式 110011101) , ,() , ,(321321aaabbb 記作BAK Henan Agricultural University (1)含零向量的向量組必線

15、性相關(guān) (2)一個向量a線性相關(guān) a0 (3)兩個非零向量a1 a2線性相關(guān) a1ka2三、向量組的線性相關(guān)性的系列性質(zhì)三、向量組的線性相關(guān)性的系列性質(zhì)(4)若向量組A a1 a2 am線性相關(guān) 則向量組B a1 a2 am am1也線性相關(guān) 反之 若向量組B線性無關(guān) 則向量組A也線性無關(guān) 這個結(jié)論可敘述為這個結(jié)論可敘述為 一個向量組若有線性相關(guān)的部分組一個向量組若有線性相關(guān)的部分組 則該則該向量組線性相關(guān)向量組線性相關(guān) 一個向量組若線性無關(guān)一個向量組若線性無關(guān) 則它的任何部分組都則它的任何部分組都線性無關(guān)線性無關(guān) 特別地 含零向量的向量組必線性相關(guān)Henan Agricultural Uni

16、versity 這是因為 記A(a1 a2 am) B( a1 a2 am am1) 有R(B)R(A)1 若向量組A線性相關(guān) 則有R(A)m 從而 R(B)R(A)1m1 因此向量組B線性相關(guān) (4)若向量組A a1 a2 am線性相關(guān) 則向量組B a1 a2 am am1也線性相關(guān) 反之 若向量組B線性無關(guān) 則向量組A也線性無關(guān) Henan Agricultural University (5)m個n維向量組成的向量組 當(dāng)維數(shù)n小于向量個數(shù)m時一定線性相關(guān) 特別地 n1個n維向量一定線性相關(guān) 這是因為 m個n維向量a1 a2 am構(gòu)成矩陣Anm(a1 a2 am) 有R(A)n 若nm 則R(A)nm 故m個向量a1 a2 am線性相關(guān)Henan Agricultural University (6)設(shè)向量組A a1 a2 am線性無關(guān) 而向量組B a1 a2 am b線性相關(guān) 則向量b必能由向量組A線性表示 且表示式是唯一的 這是因為 記A(a1 a2 am) B( a1 a2 am b) 有即向量b能由向量組A線性表示 且表示式唯一有唯一解(a1 a2 am)xb因此方程組 即有R(B)R(A)m mR(A)R(B)m1 Henan Agricultural University (2) 用反證法 假設(shè)