空間幾何體的表面積與體積

1、投影投影視圖視圖中心投影中心投影平行投影平行投影投影線交于一點投影線交于一點投影線平行投影線平行正投影正投影斜投影斜投影直觀強、接近實物直觀強、接近實物不改變原不改變原物形狀物形狀三視圖三視圖直觀圖直觀圖 正視圖正視圖側(cè)視圖側(cè)視圖俯視圖俯視圖斜二測畫法斜二測畫法長對正、高平齊、寬相等長對正、高平齊、寬相等根據(jù)三視圖，我們可以得根據(jù)三視圖，我們可以得到一個精確的空間幾何體到一個精確的空間幾何體可以根可以根據(jù)直觀據(jù)直觀圖的結(jié)圖的結(jié)構(gòu)想象構(gòu)想象實物的實物的形象形象1.了解柱體、錐體、臺體的了解柱體、錐體、臺體的表面積計算公式表面積計算公式，掌握其掌握其推導過程推導過程，并會計算簡單組合體的表面積，并

2、會計算簡單組合體的表面積2.了解柱體、錐體、臺體的了解柱體、錐體、臺體的體積公式以及三種幾何體體積公式以及三種幾何體的體積之間的關(guān)系的體積之間的關(guān)系，并能解決實際問題，并能解決實際問題3.了解了解球體的體積與表面積公式球體的體積與表面積公式，會用球體的體積與，會用球體的體積與表面積公式處理一些實際問題表面積公式處理一些實際問題 前兩節(jié)我們已經(jīng)了解了前兩節(jié)我們已經(jīng)了解了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征和視圖征和視圖，本節(jié)我們將，本節(jié)我們將從度量的角度從度量的角度認識空間幾認識空間幾何體具體有兩個方面：一是根據(jù)柱、錐、臺的何體具體有兩個方面：一是根據(jù)柱、錐、臺的結(jié)構(gòu)特征并結(jié)合它們的展開圖，推

3、導它們的結(jié)構(gòu)特征并結(jié)合它們的展開圖，推導它們的表面表面積的計算公式積的計算公式；二是在初中學習幾何體體積的基；二是在初中學習幾何體體積的基礎(chǔ)上進一步學習礎(chǔ)上進一步學習幾何體的體積幾何體的體積ahS21bahbhaSAabsin面積面積: :平面圖形所占平面的大小平面圖形所占平面的大小 S=ababABacsin21ahBChbaS)(21abh2rSrlS212360rnabArl圓心角為n0rc 在初中已經(jīng)學過了正方體和長方體的表面積，您在初中已經(jīng)學過了正方體和長方體的表面積，您知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？幾何體表面積幾何體表面

4、積展開圖展開圖平面圖形面積平面圖形面積空間問題空間問題平面問題平面問題 棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？如何計算它們的表面積？棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？h正棱柱的側(cè)面展開圖正棱柱的側(cè)面展開圖棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？/h/h正棱錐的側(cè)面展開圖正棱錐的側(cè)面展開圖側(cè)面展開正棱錐的側(cè)面展開圖正棱錐的側(cè)面展開圖D D分析：分析：四面體的展開圖是由四個全等的

5、正三角形組成四面體的展開圖是由四個全等的正三角形組成交交BCBC于點于點D D解：解：過點過點S S作作 ，SDBC B BC CA AS S22223,( )22aBCa SDSBBDaa例例1 1已知棱長為已知棱長為 ，各面均為等邊三角形的四面體，各面均為等邊三角形的四面體S-ABCS-ABC，求它的表面積，求它的表面積 a 211332224SBCSBC SDaaa 因此，四面體因此，四面體S-ABCS-ABC的表面積為的表面積為23432Saa側(cè)面展開hh正棱臺的側(cè)面展開圖正棱臺的側(cè)面展開圖棱臺的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？棱臺的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？ 棱柱、

6、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計的幾何體，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計算它們的算它們的表面積就是計算它的各個側(cè)面面積和底表面積就是計算它的各個側(cè)面面積和底面面積之和面面積之和h圓柱的側(cè)面展開圖是矩形圓柱的側(cè)面展開圖是矩形2222()Srrlr rlOOrl2 r 圓錐的側(cè)面展開圖是扇形圓錐的側(cè)面展開圖是扇形r2lOr2()Srrlr rl 參照圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓臺的參照圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓臺的側(cè)面展開圖是什么側(cè)面展開圖是什么 r2lOrO r2 r圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)圓臺的側(cè)面展開圖

7、是扇環(huán)22()Srrr lrl r2lOrO r2 r22()Srrr lrl xrxrxl rxr xr lS側(cè)側(cè)()()r lxr xrlrxr x()r lrl lOrO r圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？lOOrrr上底擴大上底擴大lOrr0上底縮小上底縮小2222()Srrlr r l 2()Srrlr rl22()Srrr lrl 例例2 2如圖，一個圓臺形花盆盆口直徑如圖，一個圓臺形花盆盆口直徑20cm20cm，盆底直，盆底直徑為徑為15cm15cm，底部滲水圓孔直徑為，底部滲水圓孔直徑為1.5cm1.5cm，盆壁長

8、，盆壁長15cm15cm為為了美化花盆的外觀，需要涂油漆已知每平方米用了美化花盆的外觀，需要涂油漆已知每平方米用100100毫毫升油漆升油漆, ,涂涂100100個這樣的花盆需要多少油漆（取個這樣的花盆需要多少油漆（取 3.14,3.14,結(jié)果精確到結(jié)果精確到1 1毫升，可用計算器）？毫升，可用計算器）？ cm15cm20cm15解：解：花盆外壁的表面積：花盆外壁的表面積：答：答：涂涂100100個這樣的花盆約需要個這樣的花盆約需要10001000毫升油漆毫升油漆221515201.5()1515()2222S221000()0.1()cmm涂涂100個花盆需油漆：個花盆需油漆：0.1 100

9、 1001000(毫升毫升)圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積lOrO rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS錐)(22rllrrrS臺rr0r 探究取一疊裁切相同的紙張堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改變其形狀啟發(fā)思考：1) 1) 推斜以后體積變化了嗎？（幾何體所占空間的大小不變）2) 2) 推斜前后的兩個幾何體（前為長方體，后為平行六面體）還有什么共同之處？（高度沒有改變，每頁紙張的順序和面積也沒有改變）冪勢既同，則積不容異冪勢既同，則積不容異 夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果

10、截得的兩個截面的面積兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等總相等，那么這兩個幾何體的體積相等 問題：問題：兩個底面積相等、高也相等的棱柱（圓柱）兩個底面積相等、高也相等的棱柱（圓柱）的體積如何？的體積如何？ShSS 棱柱（圓柱）可由多邊形（圓）沿某一方向得棱柱（圓柱）可由多邊形（圓）沿某一方向得到，因此，兩個底面積相等、高也相等的棱柱（圓到，因此，兩個底面積相等、高也相等的棱柱（圓柱）應(yīng)該具有相等的體積柱）應(yīng)該具有相等的體積hV V柱體柱體= sh= sh 將一個三棱柱按如圖所示分解成三個三棱錐，那么這三個三棱錐的體積有什么關(guān)系？它們與三棱柱的體積有

11、什么關(guān)系？ 1 12 23 31 12 23 3CABCABCABCBCBAAABC思考：ABCAV CBACV（1）與關(guān)系：CBACVCCBAV（3）與關(guān)系：（2）與關(guān)系：ABB CVCCBAVABCAV CBACVABB CVCCBAVCBACVCCBAV 經(jīng)探究得知，棱錐經(jīng)探究得知，棱錐(圓錐圓錐)是同底等高的棱柱是同底等高的棱柱(圓柱圓柱)的的 ，即棱錐，即棱錐(圓錐圓錐)的體積：的體積：31（其中（其中S S為底面面積，為底面面積，h h為高）為高）13VSh 由此可知，由此可知，棱柱與圓柱的體積公式類似棱柱與圓柱的體積公式類似，都是，都是底面面積乘高；底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積

12、公式類似棱錐與圓錐的體積公式類似，都是，都是等于底面面積乘高的等于底面面積乘高的 13圓臺圓臺( (棱臺棱臺) )是由圓錐是由圓錐( (棱錐棱錐) )截成的截成的根據(jù)臺體的特征，如何求臺體的體積？根據(jù)臺體的特征，如何求臺體的體積？ABABCDCDPSSh1()3VSS SS h11()331() 3VVVS hxS xShSS x小小大大22()SxShx SxS hxhxSSS 1()3SVh ShSSSS 13SSSS h柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關(guān)系？柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關(guān)系？上底擴大上底擴大VSh 0S 1()3VSS SS h上底縮小上底縮小SS 13VSh

13、 解：解：六角螺帽的體積是六棱柱的體積與六角螺帽的體積是六棱柱的體積與圓柱體積之差，即圓柱體積之差，即: :10)210(14. 3106124322V)(29563mm)(956. 23cm所以螺帽的個數(shù)為所以螺帽的個數(shù)為252)956. 28 . 7(10008 . 5（個）（個）答：答：這堆螺帽大約有這堆螺帽大約有252252個個例例3 3有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是 ) )六六角螺帽共重角螺帽共重5.8kg5.8kg，已知底面是正六邊形，邊長為，已知底面是正六邊形，邊長為12mm,12mm,內(nèi)孔直徑為內(nèi)孔直徑為10mm10mm，高為，高為10mm10

14、mm，問這堆螺帽大約有多少個，問這堆螺帽大約有多少個（ 取取3.143.14，可用計算器）？，可用計算器）？37.8 /g cm 柱體、錐體、臺體的表面積柱體、錐體、臺體的表面積各面面積之和各面面積之和展開圖展開圖rr0 r)(22rllrrrS)(2lrrS圓柱圓柱)(lrrS圓臺圓臺圓錐圓錐柱體、錐體、臺體的體積柱體、錐體、臺體的體積ShV31錐體錐體hSSSSV)(31臺體臺體柱體柱體ShV SS 0S 將立方體紙盒沿某些棱剪將立方體紙盒沿某些棱剪開，并使六個面連在一起，然開，并使六個面連在一起，然后鋪平你能畫出鋪平后的圖后鋪平你能畫出鋪平后的圖形嗎？形嗎？人類的家地球人類的家地球未來的

15、家火星未來的家火星探索火星的航天飛船探索火星的航天飛船怎樣求球的體積和表面積？怎樣求球的體積和表面積？ 球既沒有底面，也無法象柱、錐、臺體一樣展成球既沒有底面，也無法象柱、錐、臺體一樣展成平面圖形，怎樣求球的表面積和體積呢？平面圖形，怎樣求球的表面積和體積呢？hH冪勢既同，則積不容異冪勢既同，則積不容異 夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等總相等，那么這兩個幾何體的體積相等利用此原理如何得到球的體積公式利用此原理如

16、何得到球的體積公式? ?R RR RRrlll222()SrRl12V球球2213RRRR343VR球球RS131234111133333RVRSRSRSRS球球球球面面24SR球球面面如圖，圓柱的底面直經(jīng)與高都等于球的直經(jīng)如圖，圓柱的底面直經(jīng)與高都等于球的直經(jīng)2R求證：求證：(1) 球的體積等于圓柱體積的球的體積等于圓柱體積的2/3；(2) 球的表面積等于圓柱的側(cè)面積球的表面積等于圓柱的側(cè)面積解：解：3234,223VR VRRR球球柱柱23VV球球柱柱224, =224SRSRRR球球圓柱側(cè)SS球球圓柱側(cè)1.長方體的長、寬、對角線長分別為 5、3、7則它的體積為_;2.正方體的一條面對角線

17、長為72,那么 它的體積為_;3.正方體的體積為8,那么它的表面積 為_;4.長方體的共一頂點的三個面的面積 分別為6,8,12.它的體積為_.應(yīng)用：1.把邊長為4和8的矩形繞其一邊卷成一個圓柱的側(cè)面,則圓柱的體積為_2.一個底面為菱形的直四棱柱的兩條對角線長分別為9和15,高是5,則它的體積為_1、求棱長為a的正四面體的體積？3122aV 2、若正四棱錐的底面積是S，側(cè)面積是Q，則它的體積為多少？)(6122SQSV 1.一圓臺的上下兩底的半徑為2和3.高為2,那么它的體積為_2、正四棱臺的斜高與上、下底面邊長之比為5:2:8,體積為14cm,棱臺的高為_四、球的體積R1.一球的表面積為36

18、 .那么它的體積為_343VR 2、球內(nèi)有相距1cm的兩個平行截面的面積分別是5 cm2,8 cm2,求球的體積OO2O1A 在初中已經(jīng)學過了正方體和長方體的表面積，您在初中已經(jīng)學過了正方體和長方體的表面積，您知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？幾何體表面積幾何體表面積展開圖展開圖平面圖形面積平面圖形面積空間問題空間問題平面問題平面問題棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？/h/h正棱錐的側(cè)面展開圖正棱錐的側(cè)面展開圖圓錐的側(cè)面展開圖是扇形圓錐的側(cè)面展開圖是扇形r2lOr2()Srrlr rl 例例2 2如圖，一個圓臺形花盆盆口直徑如圖，一個圓臺形花盆盆口直徑20cm20cm，盆底直，盆底直徑為徑為15cm15cm，底部滲水圓孔直徑為，底部滲水圓孔直徑為1.5cm1.5cm，盆壁長，盆壁長15cm15cm為為了美化花盆的外觀，需要涂油漆已知每平方米用了美化花盆的外觀，需要涂油漆已知每平方米用100100毫毫升油漆升油漆, ,涂涂100100個這樣的花盆需要多少油漆（取個這樣的花盆需要多少油漆（取 3.14,3.14,結(jié)果精確到結(jié)果精確到1 1毫升，可