算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理

1、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大小。與、比較abba2122的大小。與求證、如果abbaba2, 0, 02 兩個(gè)重要不等式兩個(gè)重要不等式時(shí)取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)則、若baabbaRba2,122時(shí)取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)則、若baabbaRba2,21、定理可敘述為：兩個(gè)、定理可敘述為：兩個(gè)正數(shù)正數(shù)的的算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù) 不小于不小于它們的幾何平均數(shù)它們的幾何平均數(shù)2、如果把、如果把 看作兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)，看作兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)， 看作兩個(gè)正數(shù)的等比中項(xiàng)，則看作兩個(gè)正數(shù)的等比中項(xiàng)，則ab2ba 稱(chēng)為稱(chēng)為a與與b算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)2ba 稱(chēng)為稱(chēng)為a與與b幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)若若a0 b0 則稱(chēng)則稱(chēng)：ababba

2、Rba2,則若均值不等式均值不等式:(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào))22,12222baababbaRba則、若222,2baababbaRba，則、若3、均值定理的幾何解釋、均值定理的幾何解釋?zhuān)篴bABCDMab半弦CM不大于半徑2ba abcdbdaccdabdcba41 求求證證均均為為正正數(shù)數(shù)，、已已知知例例 abcdbdaccdabbdaccdabbdaccdabbdacbdaccdabcdabdcba4220202即都為正數(shù)，得、證明應(yīng)用一應(yīng)用一已知已知a0 b0 c0 求證：求證：4111baba、例已知例已知0,0,1abab求證求證:114ab證證(一一)0,0,1abab20abab 11120abab111() ()220abababab即即114ab證證(二二)11abababab2baab22baab4證證(三三)2()2abab1414ab4abab114ab已知已知a0 b0 c0 求證：求證：abcaccbba8例例2 已知已知2221abc求證求證:1abbcac證證:222abab222bccb222acac2222()2()abcabbcac1abbcac練習(xí)練習(xí): 已知已知a,b 都是正數(shù)都是正數(shù)求證求證:2221122abababab小結(jié)小結(jié)：(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)時(shí)取